二次型及其矩阵表示

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1、第一节第一节 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示请看下列例子请看下列例子( (其中其中a aijij=a=aji ji i=1,2,3 j=1,2,3)i=1,2,3 j=1,2,3)对称阵1、二次型定义、二次型定义: 定义定义1含有n个变量x1 1, , x2 2, , xn的二次齐次多项式（函数） 称称为为x1 1, , x2 2, , xn 的的n n元元二二次次型型，简简称称为为二次型二次型第一节第一节 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示实实二次型二次型2、二次型定义的矩阵、二次型定义的矩阵: 的二次齐次多项式（函数） 含有n个变量 ( (其中其中a aijij=a=aji ji

2、i=1,2,.n, j=1,2,n)i=1,2,.n, j=1,2,n)对称阵称为二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式(1)实对称矩阵A称为二次型二次型f的矩阵的矩阵, ,(2)矩阵A的秩也称为二次型二次型f的秩的秩(3)由于二次型f和它的矩阵是相互唯一确定的，所以也把二次型f称为对称矩矩阵矩阵A的二次型的二次型例例1 1 把二次型 写成矩阵形式. 解解例例2 2 把二次型 写成矩阵形式. 解解例例3 3 写出二次型 的矩阵A解解不是对称阵因为二次型的一般形式为所以二次型的矩阵为3、可逆的线性变换: 若记 即: X = C YC可逆（I） 因为 所以矩阵B是对称矩阵定理1说明经过非退化线性变换 X=CY，二次型f的矩阵A与B有如下关系,且二次型的秩不变 定理1 对于二次型式 进行非退化线性变换 X=CY (C可逆) 可得新二次型(其中 )证明且二次型的秩不变4、矩阵、矩阵A与与B合同关系合同关系： 定义定义2 设A，B是两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C 使 成立则称矩阵A合同于合同于B（矩阵A与与B同合）同合）合同关系性质合同关系性质 (1) 反身性: 即 A A(2) 对称性: 即 A B , 则 B A(3) 传递性: 即 A B , B C 则 A C记为A B例例1 设矩阵设矩阵容易验证容易验证可逆可逆所以 A B