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1、第十章第十章 群与环群与环主要内容主要内容l群的定义与性质群的定义与性质l子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解l循环群与置换群循环群与置换群l环与域环与域1l半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义l半群、独异点、群的实例半群、独异点、群的实例l群中的术语群中的术语l群的基本性质群的基本性质10.1群的定义与性质群的定义与性质2半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义定义定义10.1(1)设设V=是代数系统，是代数系统， 为二元运算，如果为二元运算，如果 运算是可运算是可结合的，则称结合的，则称V为为半群半群.(2)设设V=是半群，若是半群，若eS是关于是关于 运算的单位元，则称运算的
2、单位元，则称V 是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点.有时也将独异点有时也将独异点V 记作记作V=.(3)设设V=是独异点，是独异点，e S关于关于 运算的单位元，若运算的单位元，若 a S，a 1 S，则称，则称V是是群群.通常将群记作通常将群记作G.3实例实例例例1(1),都是半群，都是半群，+是普通是普通加加法法.这些半群中除这些半群中除外都是独异点外都是独异点(2)设设n是大于是大于1的正整数，的正整数，和和都是半都是半群，也都是独异点，其中群，也都是独异点，其中+和和分别表示矩阵加法和矩阵分别表示矩阵加法和矩阵乘法乘法(3)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中
3、 为集合对称差运为集合对称差运算算(4)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n 1， 为模为模n加法加法(5)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中为函数的复合运算为函数的复合运算(6)为半群，其中为半群，其中R*为非零实数集合，为非零实数集合，运算定义如运算定义如下：下： x,y R*,xy=y4例例2设设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为上的运算由下表给出，称为Klein四元群四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 实例实例特征：特征：1.满足交换律满足交换律2.每个元素都是自己的逆元每
4、个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素果都等于剩下的第三个元素5有关群的术语有关群的术语定义定义10.2(1)若群若群G是有穷集，则称是有穷集，则称G是是有限群有限群，否则称为无，否则称为无限群限群.群群G 的基数称为群的基数称为群G 的的阶阶，有限群，有限群G的阶记作的阶记作|G|.(2)只含单位元的群称为只含单位元的群称为平凡群平凡群.(3)若群若群G中的二元运算是可交换的，则称中的二元运算是可交换的，则称G为为交换群交换群或或阿贝阿贝尔尔(Abel)群群.实例：实例：和和是无限群，是无限群，是有限群，也是是有限群，也是n 阶群阶
5、群.Klein四元群是四元群是4阶群阶群.是平凡群是平凡群.上述群都是交换群，上述群都是交换群，n阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群构成的群是非交换群.6定义定义10.3设设G是群，是群，aG，nZ，则，则a 的的n次幂次幂.群中元素的幂群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂群中元素可以定义负整数次幂.在在中有中有2 3=(2 1)3=13=1 1 1=0在在中有中有( 2) 3=23=2+2+2=67元素的阶元素的阶定义定义10.4设设G是群，是群，aG，使得等式，使得等式ak=e 成立的最小正整数成立的最小正整数k 称为称为a 的阶，记作的阶
6、，记作|a|=k，称，称a 为为k 阶元阶元.若不存在这样的正若不存在这样的正整数整数k，则称，则称a 为为无限阶元无限阶元.例如，在例如，在中，中，2和和4是是3阶元，阶元，3是是2阶元，阶元，1和和5是是6阶元，阶元，0是是1阶元阶元.在在中，中，0是是1阶元，其它整数的阶都不存在阶元，其它整数的阶都不存在.8群的性质：幂运算规则群的性质：幂运算规则定理定理10.1设设G 为群，则为群，则G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1) aG，(a 1) 1=a(2) a,bG，(ab) 1=b 1a 1(3) aG，anam =an+m，n,mZ(4) aG，(an)m =anm，n,mZ(5)
7、若若G为交换群，则为交换群，则(ab)n =anbn.证证(1)(a 1) 1是是a 1的逆元，的逆元，a也是也是a 1的逆元的逆元.根据逆元唯一根据逆元唯一性，等式得证性，等式得证.(2)(b 1a 1)(ab)=b 1(a 1a)b=b 1b=e,同理同理(ab)( b 1a 1)=e，故故b 1a 1是是ab的逆元的逆元.根据逆元的唯一性等式得证根据逆元的唯一性等式得证.9群的性质：方程存在惟一解群的性质：方程存在惟一解定理定理10.2G为群，为群， a,bG，方程，方程ax=b和和ya=b在在G中有解且中有解且仅有惟一解仅有惟一解.例例3设群设群G=，其中，其中 为对称差为对称差.解下
8、列群方程：解下列群方程：a X=，Y a,b=b解解X=a 1=a=a， Y=b a,b 1=b a,b=a证证a 1b 代入方程左边的代入方程左边的x 得得a(a 1b)=(aa 1)b =eb =b所以所以a 1b 是该方程的解是该方程的解.下面证明惟一性下面证明惟一性.假设假设c是方程是方程ax=b的解，必有的解，必有ac=b，从而有，从而有 c =ec =(a 1a)c =a 1(ac)=a 1b同理可证同理可证ba 1是方程是方程ya=b的惟一解的惟一解.10群的性质：消去律群的性质：消去律定理定理10.3G为群，则为群，则G中适合消去律，即对任意中适合消去律，即对任意a,b,cG有
9、有(1)若若ab =ac，则，则b =c.(2)若若ba =ca，则，则b =c.证明略证明略例例4设设G =a1,a2,an是是n阶群，令阶群，令aiG =aiaj |j=1,2,n证明证明aiG =G.证证由群中运算的封闭性有由群中运算的封闭性有aiG G.假设假设aiG G，即，即|aiG|n.必有必有aj,akG使得使得 aiaj =aiak（j k）由消去律得由消去律得aj =ak,与与|G|=n矛盾矛盾.11群的性质：元素的阶群的性质：元素的阶证证(1)充分性充分性.由于由于r|k，必存在整数，必存在整数m使得使得k =mr，所以有，所以有ak =amr =(ar)m =em =e
10、.必要性必要性.根据除法，存在整数根据除法，存在整数m 和和i 使得使得k =mr+i,0ir 1从而有从而有e =ak =amr+i =(ar)mai =eai =ai 因为因为|a|=r，必有，必有i =0.这就证明了这就证明了r |k.(2)由由(a 1)r =(ar) 1=e 1=e 可知可知a 1的阶存在的阶存在.令令|a 1|=t，根据上面的证明有，根据上面的证明有t |r.a又是又是a 1的逆元，所以的逆元，所以r |t.从而证明了从而证明了r =t，即，即|a 1|=|a|定理定理10.4G为群，为群，aG且且|a|=r.设设k是整数，则是整数，则(1)ak =e当且仅当当且仅
11、当r |k(2)|a 1|=|a|12实例实例例例5设设G是群，是群，a,bG是有限阶元是有限阶元.证明证明(1)|b 1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|证证(1)设设|a|=r，|b 1ab|=t，则有，则有从而有从而有t |r.另一方面，由另一方面，由a =(b 1) 1(b 1ab)b 1可知可知 r |t.从而从而有有|b 1ab|=|a|.13实例实例(2)设设|ab|=r，|ba|=t，则有，则有由消去律得由消去律得(ab)t =e，从而可知，从而可知，r |t.同理可证同理可证t |r.因此因此|ab|=|ba|.1410.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解定义定义1
12、0.5设设G是群，是群，H是是G的非空子集，的非空子集，(1)如果如果H关于关于G中的运算构成群，则称中的运算构成群，则称H是是G的的子群子群,记作记作HG.(2)若若H是是G的子群，且的子群，且H G，则称，则称H是是G的的真子群真子群，记作，记作HG.例如例如nZ(n是自然数是自然数)是整数加群是整数加群的子群的子群.当当n1时时,nZ是是Z的真子群的真子群.对任何群对任何群G都存在子群都存在子群.G和和e都是都是G的子群，称为的子群，称为G的的平凡平凡子群子群.15子群判定定理子群判定定理1定理定理10.5（判定定理一）（判定定理一）设设G为群，为群，H是是G的非空子集，则的非空子集，则
13、H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当(1) a,bH有有abH(2) aH有有a 1H.证证必要性是显然的必要性是显然的.为证明充分性，只需证明为证明充分性，只需证明eH.因为因为H非空，存在非空，存在aH.由条件由条件(2)知知a 1H，根据条件，根据条件(1)aa 1H，即，即eH.16子群判定定理子群判定定理2定理定理10.6（判定定理二）（判定定理二）设设G为群，为群，H是是G的非空子集的非空子集.H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,bH有有ab 1H.证证必要性显然必要性显然.只证充分性只证充分性.因为因为H非空，必存在非空，必存在aH.根据给定条件得根据给定条件得aa 1H，
14、即，即eH.任取任取aH,由由e,aH得得ea 1H，即，即a 1H.任取任取a,bH，知，知b 1H.再利用给定条件得再利用给定条件得a(b 1) 1H，即，即abH.综合上述，可知综合上述，可知H是是G的子群的子群.17子群判定定理子群判定定理3定理定理10.7（判定定理三）（判定定理三）设设G为群，为群，H是是G的非空有穷子集，则的非空有穷子集，则H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,bH有有abH.证证必要性显然必要性显然.为证充分性，只需证明为证充分性，只需证明aH有有a 1H.任取任取aH,若若a =e,则则a 1= eH.若若ae，令，令S=a,a2,，则，则S H.由于由于
15、H是有穷集，必有是有穷集，必有ai =aj（i1，由此得，由此得a j i 1a =e和和a a j i 1=e 从而证明了从而证明了a 1= a j i 1H.18典型子群的实例典型子群的实例:生成子群生成子群定义定义10.6设设G为群，为群，aG，令，令H=ak|kZ，则则H是是G的子群，称为由的子群，称为由a 生成的子群生成的子群，记作，记作.证证首先由首先由a知道知道.任取任取am,al，则，则am(al) 1=ama l =am l根据判定定理二可知根据判定定理二可知G.实例：实例：例如整数加群，由例如整数加群，由2生成的子群是生成的子群是=2k |kZ=2Z中，由中，由2生成的子群
16、生成的子群=0,2,4Klein四元群四元群G =e,a,b,c的所有生成子群是：的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.19典型子群的实例典型子群的实例:中心中心C定义定义10.7设设G为群为群,令令 C=a|aG xG(ax=xa)，则则C是是G的子群，称为的子群，称为G的的中心中心.证证eC.C是是G的非空子集的非空子集.任取任取a,bC，只需证明，只需证明ab 1与与G中所有的元素都可交换中所有的元素都可交换. xG，有，有(ab 1)x =ab 1x =ab 1(x 1) 1=a(x 1b) 1=a(bx 1) 1=a(xb 1)=(ax 1)b 1=(xa)b 1=x
17、(ab 1)由判定定理二可知由判定定理二可知CG.对于阿贝尔群对于阿贝尔群G，因为，因为G中所有的元素互相都可交换，中所有的元素互相都可交换，G的中的中心就等于心就等于G.但是对某些非交换群但是对某些非交换群G，它的中心是，它的中心是e.20典型子群的实例典型子群的实例:子群的交子群的交例例6设设G是群，是群，H,K是是G的子群的子群.证明证明(1)HK也是也是G的子群的子群(2)HK是是G的子群当且仅当的子群当且仅当H K 或或K H证证(1)由由eHK知知HK 非空非空.任取任取a,bHK，则，则aH,aK,bH,bK.必有必有ab 1H 和和ab 1K，从而，从而ab 1HK.因此因此H
18、K G.(2)充分性显然，只证必要性充分性显然，只证必要性.用反证法用反证法.假设假设HK 且且KH，那么存在，那么存在h 和和k 使得使得hHh K,kKk H 推出推出hk H.否则由否则由h 1H 得得k=h 1(hk)H，与假设矛盾，与假设矛盾.同理可证同理可证hk K.从而得到从而得到hk HK.与与HK是子群矛盾是子群矛盾.21图1定义定义10.8设设G为群为群,令令 L(G)=H|H是是G的子群的子群则偏序集则偏序集称为称为G的的子群格子群格子群格子群格实例：实例：Klein四元群的子群格如下：四元群的子群格如下： 22陪集定义与实例陪集定义与实例定义定义10.9设设H是是G的子
19、群，的子群，aG.令令Ha=ha |hH称称Ha是子群是子群H在在G中的中的右陪集右陪集.称称a为为Ha的的代表元素代表元素.例例7(1)设设G=e,a,b,c是是Klein四元群，四元群，H=是是G的子群的子群.H所有的右陪集是：所有的右陪集是：He=e,a=H,Ha=a,e=H,Hb=b,c,Hc=c,b不同的右陪集只有两个，即不同的右陪集只有两个，即H和和b,c.23实例实例(2)设设A=1,2,3，f1,f2,f6是是A上的双射函数上的双射函数.其中其中f1=,，f2=,f3=,，f4=,f5=,，f6=,令令G =f1,f2,f6，则，则G 关于函数的复合运算构成群关于函数的复合运算
20、构成群.考考虑虑G 的子群的子群H=f1,f2.做出做出H 的全体右陪集如下：的全体右陪集如下：Hf1=f1 f1,f2 f1=H , Hf2=f1 f2,f2 f2=HHf3=f1 f3,f2 f3=f3,f5,Hf5=f1 f5,f2 f5=f5,f3Hf4=f1 f4,f2 f4=f4,f6,Hf6=f1 f6,f2 f6=f6,f4结论：结论：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.24陪集的基本性质陪集的基本性质定理定理10.8设设H是群是群G的子群，则的子群，则(1)He =H(2) aG 有有aHa证证(1)He =he |hH =h |hH =H(2)任取任取aG，由，
21、由a =ea 和和eaHa 得得aHa25定理定理10.9设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG有有aHb ab 1H Ha=Hb陪集的基本性质陪集的基本性质证证先证先证aHb ab 1HaHb h(hHa=hb) h(hHab 1=h) ab 1H再证再证aHb Ha=Hb. 充分性充分性.若若Ha=Hb，由，由aHa 可知必有可知必有aHb.必要性必要性.由由aHb 可知存在可知存在hH 使得使得a =hb，即，即b =h 1a任取任取h1aHa，则有，则有h1a =h1(hb)=(h1h)bHb从而得到从而得到Ha Hb.反之，任取反之，任取h1bHb，则有，则有h1b =h1(
22、h 1a)=(h1h 1)aHa 从而得到从而得到Hb Ha.综合上述，综合上述，Ha=Hb得证得证.26定理定理10.10设设H是群是群G的子群，在的子群，在G上定义二元关系上定义二元关系R： a,bG,R ab 1H则则R是是G上的等价关系，且上的等价关系，且aR =Ha.陪集的基本性质陪集的基本性质证证先证明先证明R为为G上的等价关系上的等价关系.自反性自反性.任取任取aG，aa 1=eH R 对称性对称性.任取任取a,bG，则，则Rab 1H(ab 1) 1Hba 1HR传递性传递性.任取任取a,b,cG，则，则RR ab 1Hbc 1H ac 1H R 下面证明：下面证明： aG，a
23、R =Ha.任取任取bG，baR R ab 1H Ha=Hb bHa 27推论推论推论推论设设H是群是群G的子群的子群,则则(1) a,bG，Ha =Hb或或HaHb =(2)Ha |aG=G证明：由等价类性质可得证明：由等价类性质可得.定理定理10.11设设H是群是群G的子群，则的子群，则 aG，H Ha证明证明略略28左陪集的定义与性质左陪集的定义与性质设设G是群，是群，H是是G的子群，的子群，H 的的左陪集左陪集，即，即aH =ah |hH，aG关于左陪集有下述性质：关于左陪集有下述性质：(1)eH =H(2) aG，aaH(3) a,bG，abH b 1aH aH=bH(4)若在若在G
24、上定义二元关系上定义二元关系R， a,bG，R b 1aH 则则R是是G上的等价关系，且上的等价关系，且aR =aH.(5) aG，H aH 29Lagrange定理定理定理定理10.12（Lagrange）设）设G是有限群，是有限群，H是是G的子群，则的子群，则|G|=|H|G:H其中其中G:H是是H在在G中的不同右陪集中的不同右陪集(或左陪集或左陪集)数，称为数，称为H在在G 中的中的指数指数.证证设设G:H=r，a1,a2,ar分别是分别是H 的的r个右陪集的代表元素，个右陪集的代表元素，G =Ha1Ha2Har|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|由由|Hai|=|H|，i =1,
25、2,r,得得|G|=|H|r =|H|G:H30Lagrange定理的推论定理的推论推论推论1设设G是是n阶群，则阶群，则 aG，|a|是是n的因子，且有的因子，且有an =e.证证任取任取aG，是是G的子群，的子群，的阶是的阶是n的因子的因子.是由是由a生成的子群，若生成的子群，若|a|=r，则，则=a0=e,a1,a2,ar 1即即的阶与的阶与|a|相等相等,所以所以|a|是是n的因子的因子.从而从而an =e.推论推论2对阶为素数的群对阶为素数的群G，必存在，必存在aG使得使得G =.证证设设|G|=p，p是素数是素数.由由p2知知G中必存在非单位元中必存在非单位元.任取任取aG，a e
26、，则，则是是G的子群的子群.根据拉格朗日定理，根据拉格朗日定理，的阶是的阶是p的因子，即的因子，即的阶是的阶是p或或1.显然显然的阶不是的阶不是1，这就推出这就推出G =.31Lagrange定理的应用定理的应用命题命题：如果群：如果群G 只含只含1阶和阶和2阶元，则阶元，则G 是是Abel群群.例例8证明证明6阶群中必含有阶群中必含有3阶元阶元.证证设设a为为G中任意元素，有中任意元素，有a 1=a.任取任取x,yG，则，则xy =(xy) 1=y 1x 1=yx，因此因此G是是Abel群群.证证设设G是是6阶群，则阶群，则G中元素只能是中元素只能是1阶、阶、2阶、阶、3阶或阶或6阶阶.若若
27、G中含有中含有6阶元，设为阶元，设为a，则，则a2是是3阶元阶元.若若G中不含中不含6阶元，下面证明阶元，下面证明G中必含有中必含有3阶元阶元.如若不然，如若不然，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，即阶元，即 aG，有，有a2=e，由命题知，由命题知G是是Abel群群.取取G中中2阶元阶元a 和和b，a b，令，令H =e,a,b,ab，则，则H 是是 G的子群，但的子群，但|H|=4，|G|=6，与拉格朗日定理矛盾，与拉格朗日定理矛盾.32例例9证明阶小于证明阶小于6的群都是的群都是Abel群群.Lagrange定理的应用定理的应用证证1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群阶群是平凡的，显然是阿贝尔群
28、.2,3和和5都是素数，由推论都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群，都是它们都是单元素生成的群，都是Abel群群.设设G是是4阶群阶群.若若G中含有中含有4阶元，比如说阶元，比如说a，则，则G=，由上，由上述分析可知述分析可知G是是Abel群群.若若G中不含中不含4阶元，阶元，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，由命题可知阶元，由命题可知G也是也是Abel群群.3310.3 循环群与置换群循环群与置换群定义定义10.10设设G是群，若存在是群，若存在aG使得使得G=ak|kZ则称则称G是是循环群循环群，记作，记作G=，称，称a 为为G 的生成元的生成元.循环群的分类：循环群的分类：n 阶循环群
29、阶循环群和和无限循环群无限循环群.设设G=是循环群，若是循环群，若a是是n 阶元，则阶元，则G =a0=e,a1,a2,an 1那么那么|G|=n，称，称G 为为n 阶循环群阶循环群.若若a 是无限阶元，则是无限阶元，则G =a0=e,a1,a2,称称G 为无限循环群为无限循环群.34循环群的生成元循环群的生成元定理定理10.13设设G=是循环群是循环群.(1)若若G是无限循环群，则是无限循环群，则G只有两个生成元，即只有两个生成元，即a和和a 1.(2)若若G是是n 阶循环群，则阶循环群，则G含有含有 (n)个生成元个生成元.对于任何小对于任何小于于n且与且与n 互质的数互质的数r0,1,n
30、-1,ar是是G的生成元的生成元. (n)成为欧拉函数，例如成为欧拉函数，例如n=12，小于或等于，小于或等于12且与且与12互素的互素的正整数有正整数有4个：个：1,5,7,11，所以所以 (12)=4.35证明证明证证(1)显然显然 G. akG， ak=(a 1) k ，因此因此G ，a 1是是G的生成元的生成元.再证明再证明G只有只有a和和a 1这两个生成元这两个生成元.假设假设b 也是也是G 的生成元，的生成元，则则 G=.由由aG 可知存在整数可知存在整数t 使得使得a =bt.由由bG =知存在整数知存在整数m 使得使得b =am.从而得到从而得到a =bt =(am)t =am
31、t 由由G中的消去律得中的消去律得amt 1=e因为因为G是无限群，必有是无限群，必有mt 1=0.从而证明了从而证明了m =t =1或或m =t = 1，即，即b =a 或或b =a 136(2)只须证明：对任何正整数只须证明：对任何正整数r (rn)， ar是是G的生成元的生成元n与与r互质互质.充分性充分性.设设r与与n互质，且互质，且rn，那么存在整数，那么存在整数u 和和v 使得使得ur +vn =1从而从而a =aur+vn =(ar)u(an)v =(ar)u这就推出这就推出 akG，ak =(ar)uk，即，即G .另一方面，显然有另一方面，显然有 G.从而从而G =.必要性必
32、要性.设设ar是是G的生成元，则的生成元，则|ar|=n.令令r与与n的最大公约数的最大公约数为为d，则存在正整数，则存在正整数t 使得使得r =dt.因此因此,|ar|是是n/d的因子，的因子，即即n整除整除n/d.从而证明了从而证明了d =1.证明证明37实例实例例例10(1)设设G=e,a,a11是是12阶循环群，则阶循环群，则 (12)=4.小于小于12且且与与12互素的数是互素的数是1,5,7,11,由定理由定理10.13可知可知a, a5,a7和和a11是是G的生成元的生成元.(2)设设G=是模是模9的整数加群，则的整数加群，则 (9)=6.小于小于9且与且与9互互素的数是素的数是
33、1,2,4,5,7,8.根据定理根据定理10.13，G的生成元是的生成元是1,2,4,5,7和和8.(3)设设G=3Z=3z |zZ,G上的运算是普通加法上的运算是普通加法.那么那么G只有只有两个生成元：两个生成元：3和和 3.38循环群的子群循环群的子群定理定理10.14设设G=是循环群是循环群.(1)设设G=是循环群，则是循环群，则G的子群仍是循环群的子群仍是循环群.(2)若若G=是无限循环群，则是无限循环群，则G的子群除的子群除e以外都是无限以外都是无限循环群循环群.(3)若若G=是是n阶循环群，则对阶循环群，则对n的每个正因子的每个正因子d，G恰好含恰好含有一个有一个d 阶子群阶子群.
34、39证明证明证证(1)设设H是是G=的子群，若的子群，若H=e，显然，显然H是循环群，否是循环群，否则取则取H中的最小正方幂元中的最小正方幂元am，下面证明，下面证明H=.易见易见 H.下面证明下面证明H .为此，只需证明为此，只需证明H中任何元素都可表中任何元素都可表成成am的整数次幂的整数次幂.任取任取alH，由除法可知存在整数，由除法可知存在整数q 和和r，使得，使得l =qm+r，其中其中0rm 1ar =al qm =al(am) q 由由al,amH 且且H 是是G 的子群可知的子群可知arH.因为因为am是是H中最小正方幂元，必有中最小正方幂元，必有r =0.这就推出这就推出al
35、 =(am)q40证明证明(2)设设G=是无限循环群，是无限循环群，H是是G 的子群的子群.若若He可知可知H =，其中，其中am为为H中最小正方幂元中最小正方幂元.假若假若|H|=t，则，则|am|=t，从而得到从而得到amt =e.这与这与a为无限阶元矛盾为无限阶元矛盾.(3)设设G=是是n 阶循环群，则阶循环群，则G =a0=e,a1,an 1下面证明对于下面证明对于n的每个正因子的每个正因子d都存在一个都存在一个d阶子群阶子群.易见易见是是G的的d 阶子群阶子群.假设假设H1=也是也是G的的d 阶子阶子群，其中群，其中am 为为H1中的最小正方幂元中的最小正方幂元.则由则由(am)d
36、=e可知可知n 整整除除md，即，即n/d 整除整除m.令令m =(n/d)l，l是整数，则有是整数，则有这就推出这就推出H1 H.又由于又由于|H1|=|H|=d，得，得H1=H.41实例实例例例11(1)G=是无限循环群，其生成元为是无限循环群，其生成元为1和和 1.对于自然数对于自然数 mN，1的的m次幂是次幂是m，m生成的子群是生成的子群是mZ，mN.即即=0=0Z=mz |zZ=mZ，m0(2)G=Z12是是12阶循环群阶循环群.12正因子是正因子是1,2,3,4,6和和12，G 的子的子群群:1阶子群阶子群=02阶子群阶子群=0,63阶子群阶子群=0,4,84阶子群阶子群=0,3,
37、6,96阶子群阶子群=0,2,4,6,8,1012阶子群阶子群=Z1242n 元置换及乘法元置换及乘法定义定义10.11设设S =1,2,n,S上的任何双射函数上的任何双射函数:SS 称为称为S上的上的n元置换元置换.例如例如S=1,2,3,4,5,下述为下述为5元置换元置换定义定义10.12设设,是是n元置换元置换,和和的复合的复合 也是也是n元置换元置换,称为称为与与 的乘积的乘积,记作记作 .例如例如43n元置换的轮换表示元置换的轮换表示设设S =1,2,n，对于任何，对于任何S上的上的n 元置换元置换 , 存在着一个存在着一个有限序列有限序列i1,i2,ik,k1,(可以取可以取i1=
38、1)使得使得 (i1)=i2, (i2)=i3, (ik 1)=ik, (ik)=i1令令 1=(i1i2ik),是是 分解的第一个轮换分解的第一个轮换.将将 写作写作 1,继续对继续对 分解分解.由于由于S 只有只有n 个元素个元素,经过有限步得到经过有限步得到 = 1 2 t轮换分解式的特征轮换分解式的特征l轮换的不交性轮换的不交性l分解的惟一性分解的惟一性:若若 = 1 2 t和和 = 1 2 s 是是 的两个轮换表示式，则有的两个轮换表示式，则有 1, 2, t = 1, 2, s 44例例12设设S =1,2,8, 则轮换分解式分解式为： =(15236)(4)(78)=(15236
39、)(78) =(18342)(567)实例实例45置换的对换分解置换的对换分解设设S =1,2,n， =(i1i2ik)是是S上的上的k 阶轮换，阶轮换， 可以可以进一步表成对换之积，即进一步表成对换之积，即(i1i2ik)=(i1i2)(i1i3)(i1ik)任何任何n元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积.例如例如8元置换元置换 =(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78) =(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)46对换分解的特征对换分解的特征l对换分解式中对换之间可以有交，分
40、解式也不惟一对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一. 例如例如4元置换元置换 可以有下面不同的对换表示：可以有下面不同的对换表示： =(12)(13)， =(14)(24)(34)(14)l表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的.如果如果n元置换元置换 可以表示成奇数个对换之积，则称可以表示成奇数个对换之积，则称 为为奇置奇置换换，否则称为，否则称为偶置换偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有，不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个个.47n元置换群元置换群所有的所有的n元置换构成的集合元置换构成的集合Sn关于置换乘法构成群，关于置换乘法构成群， 称为称为n元
41、对称群元对称群.n元对称群的子群称为元对称群的子群称为n元置换群元置换群.例例13设设S =1,2,3，3元对称群元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)48Sn的子
42、群的子群n元交错群元交错群An是是Sn的子群，的子群，An是所有的是所有的n元偶置换的集合元偶置换的集合.证证恒等置换恒等置换(1)是偶置换，所以是偶置换，所以An非空非空.根据判定定理三，只需证明封闭性：根据判定定理三，只需证明封闭性：任取任取 , An， , 都可以表成偶数个对换之积，那么都可以表成偶数个对换之积，那么 也可以表成偶数个对换之积，所以也可以表成偶数个对换之积，所以 An.实例：实例：S3的子群格的子群格S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),A3=(1),(123),(132),(1),(1),(12),(1),(13),(1),(23).49P
43、olya定理定理定理定理10.15设设N=1,2,n是被着色物体的集合是被着色物体的集合,G= 1, 2, g是是N上的置换群上的置换群.用用m种颜色对种颜色对N中的元素进行着色，中的元素进行着色，则在则在G的作用下不同的着色方案数是的作用下不同的着色方案数是其中其中c( k)是置换是置换 k的轮换表示中包含的轮换表示中包含1-轮换在内的轮换个数轮换在内的轮换个数.Polya定理主要用于等价类的计数定理主要用于等价类的计数.50Polya定理在组合计数中的应用定理在组合计数中的应用例例14 用两种颜色着色方格图形，允许方用两种颜色着色方格图形，允许方格绕中心转动格绕中心转动. 求不同的方案数求
44、不同的方案数.群群G中的所有置换是：中的所有置换是： 1=(1)， 2=(1234)， 3=(13)(24)， 4=(1432)代入代入Polya定理得定理得5110.4环与域环与域 定义定义10.12设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果满如果满足足以下条件以下条件:(1)构成交换群构成交换群(2)构成半群构成半群(3)运算关于运算关于+运算适合分配律运算适合分配律则称则称是一个是一个环环.通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作，乘法单位元（如果存在）记作1.对
45、任何元素对任何元素x，称，称x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x.若若x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.52环的实例环的实例例例15(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R 和和复数环复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构关于矩阵的加法和乘法构成环，称为成环，称为n 阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的
46、对称差运算和交运算构成环关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设设Zn0,1,.,n1， 和和 分别表示模分别表示模n的加法和的加法和乘乘法，则法，则构成环，称为构成环，称为模模n的整数环的整数环.53定理定理10.16设是是环，则(1) aR，a0=0a=0(2) a,bR，( a)b=a( b)= ab(3) a,b,cR，a(b c)=ab ac，(b c)a=ba ca(4) a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR (n,m2)环的运算性质环的运算性质 证证(1) aR有有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得由环中加法的消去律得a0=0.同理可证同理可证0a=0
47、.(2) a,bR，有，有( a)b+ab=( a+a)b=0b=0ab+( a)b=(a+( a)b=0b=0( a)b是是ab的负元的负元.由负元惟一性由负元惟一性( a)b= ab，同理，同理a( b)= ab54同理可证同理可证, b1,b2,.,bm有有(4)证明思路：用归纳法证明证明思路：用归纳法证明 a1,a2,.,an 有有于是于是证明证明(4)55实例实例例例16在环中计算在环中计算(a+b)3,(a b)2解解 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(a b)2=(a b
48、)(a b)=a2 ba ab+b256特殊的环特殊的环定义定义10.13设设是环是环(1)若环中乘法若环中乘法适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环(2)若环中乘法若环中乘法存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环(3)若若 a,bR，ab=0a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环(4)若若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是是整环整环(5)设设R是整环，且是整环，且R中至少含有两个元素中至少含有两个元素.若若 aR*，其中，其中R*=R 0，都有，都有a1R，则称，则称R是是域域.57例例17(1)整数环整数环Z、
49、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换都是交换环环,含幺环含幺环,无零因子环和整环无零因子环和整环.除了整数环以外都是域除了整数环以外都是域.(2)令令2Z=2z |zZ，则，则构成交换环和无零因子环构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和关于矩阵加法和乘乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环也不是整环.(4)构成环，它是交换环构成环，它是交换环,含幺环含幺环,但不是无零因但不是无零因子子环和整
50、环环和整环.2 3=3 2=0，2和和3是零因子是零因子.l注意：对于一般的注意：对于一般的n,Zn是整环当且仅当是整环当且仅当n是素数是素数.实例实例58实例实例例例18设设p为素数，证明为素数，证明Zp是域是域.证证p为素数，所以为素数，所以|Zp|2.易见易见Zp可交换，单位元是可交换，单位元是1对于任意的对于任意的i,jZp,i 0有有i j =0p 整除整除ij p|j j =0所以所以Zp 中无零因子，中无零因子，Zp为整环为整环.下面证明每个非零元素都有逆元下面证明每个非零元素都有逆元.任取任取iZp，i 0，令，令i Zp =i j |jZp则则i Zp =Zp，否则，否则 j
51、,kZp，使得，使得i j =i k，由消去律，由消去律得得j =k.由由1Zp，存在，存在jZp，使得，使得i j =1.由于交换性可知由于交换性可知j 就是就是i 的逆元的逆元.59第十章第十章 习题课习题课主要内容主要内容l半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义l群的基本性质群的基本性质l子群的判别定理子群的判别定理l陪集的定义及其性质陪集的定义及其性质l拉格朗日定理及其应用拉格朗日定理及其应用l循环群的生成元和子群循环群的生成元和子群l置换群与置换群与Polya定理定理l环的定义与性质环的定义与性质l特殊的环特殊的环60基本要求基本要求l判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异
52、点和群判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群l熟悉群的基本性质熟悉群的基本性质l能够证明能够证明G的子集构成的子集构成G的子群的子群l熟悉陪集的定义和性质熟悉陪集的定义和性质l熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用l会用会用Polya定理进行计数定理进行计数l会求循环群的生成元及其子群会求循环群的生成元及其子群l熟悉熟悉n元元置换的表示方法、乘法以及置换的表示方法、乘法以及n元元置换群置换群l能判断给定代数系统是否为环和域能判断给定代数系统是否为环和域 61练习练习11.判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群判断下列集合和运算是否构成半群、独
53、异点和群.(1)a是正整数，是正整数，G=an|n Z,运算是普通乘法运算是普通乘法.(2)Q+是正有理数集，运算为普通加法是正有理数集，运算为普通加法.(3)一元实系数多项式的集合关于多项式加法一元实系数多项式的集合关于多项式加法.解解(1)是半群、独异点和群是半群、独异点和群(2)是半群但不是独异点和群是半群但不是独异点和群(3)是半群、独异点和群是半群、独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性方法：根据定义验证，注意运算的封闭性622.设设V1=,V2=,其中其中Z为整数集合为整数集合,+和和 分别分别代表普通加法和乘法代表普通加法和乘法.判断下述集合判断下述集合S是否构成是否构成
54、V1和和V2的子的子半群和子独异点半群和子独异点.(1)S=2k|k Z(2)S=2k+1|k Z(3)S= 1,0,1解解(1)S关于关于V1构成子半群和子独异点，但是关于构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子仅构成子半群半群(2)S关于关于V1不构成子半群也不构成子独异点，不构成子半群也不构成子独异点，S关于关于V2构构成子半群和子独异点成子半群和子独异点(3)S关于关于V1不构成子半群和子独异点，关于不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群构成子半群和子独异点和子独异点练习练习2633.设设Z18为模为模18整数加群整数加群,求所有元素的阶求所有元素的阶.解：解：|0|=1,|9|
55、=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,练习练习3说明：说明：l群中元素的阶可能存在，也可能不存在群中元素的阶可能存在，也可能不存在. l对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子.l对于无限群，单位元的阶存在，是对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）是群还是无限群）.
56、644 4证明偶数阶群必含证明偶数阶群必含2 2阶元阶元. . 由由x2=e|x|=1或或2.换句话说换句话说,对于对于G中元素中元素x，如果，如果|x|2,必有必有x 1 x.由于由于|x|=|x 1|，阶大于，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个的元素成对出现，共有偶数个.那么剩下的那么剩下的1阶和阶和2阶元总共应该是偶数个阶元总共应该是偶数个.1阶元只有阶元只有1个，就是单位元，从而证明了个，就是单位元，从而证明了G中必有中必有2阶元阶元.练习练习465有关群性质的证明方法有关群性质的证明方法有关群的简单证明题的主要类型有关群的简单证明题的主要类型l证明群中的元素某些运算结果相等证明群中的
57、元素某些运算结果相等l证明群中的子集相等证明群中的子集相等l证明与元素的阶相关的命题证明与元素的阶相关的命题.l证明群的其它性质，如交换性等证明群的其它性质，如交换性等.常用的证明手段或工具是常用的证明手段或工具是l算律：结合律、消去律算律：结合律、消去律l和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等l幂运算规则幂运算规则l和元素的阶相关的性质和元素的阶相关的性质.特别地，特别地，a为为1阶或阶或2阶元的充分必阶元的充分必要条件是要条件是a 1=a.66证明方法证明方法l证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消
58、去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简和化简.l证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含l证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等.证明两个元素的阶证明两个元素的阶r 和和s 相等或证明某个元素的阶等于相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除基本方法是证明相互整除.在证明中可以使用结合律、消在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质.特别地，
59、可特别地，可能用到能用到a为为1阶或阶或2阶元的充分必要条件是阶元的充分必要条件是a 1=a.67练习练习55设设G为群，为群，a是是G中的中的2阶元，证明阶元，证明G中与中与a可交换的元素构可交换的元素构成成G的子群的子群.证证令令H=x|x G xa=ax,下面证明下面证明H是是G的子群的子群.首先首先e属于属于H，H是是G的非空子集的非空子集.任取任取x,y H，有，有(xy 1)a=x(y 1a)=x(a 1y) 1=x(ay) 1=x(ya) 1=xa 1y 1=xay 1=axy 1=a(xy 1)因此因此xy 1属于属于H.由判定定理命题得证由判定定理命题得证.分析：分析：证明子
60、群可以用判定定理，特别是判定定理二证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二.证明的步骤是：证明的步骤是：l验证验证H 非空非空l任取任取x,y H，证明，证明xy 1 H686.(1)设设G为模为模12加群加群,求求在在G中所有的左陪集中所有的左陪集(2)设设X=x|x R,x 0,1,在在X上如下定义上如下定义6个函数：个函数： f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1 x, f4(x)=1/(1 x),f5(x)=(x 1)/x,f6(x)=x/(x 1),则则G =f1,f2,f3,f4,f5,f6关于函数合成运算构成群关于函数合成运算构成群.求子求子群群H=f1,f2的所有的
61、右陪集的所有的右陪集.练习练习6解解(1)=0,3,6,9,的不同左陪集有的不同左陪集有3个，即个，即0+=,1+=4+=7+=10+=1,4,7,10,2+=5+=8+=11+=2,5,8,11.(2)f1,f2有有3个不同的陪集，它们是：个不同的陪集，它们是：H，Hf3=f3,f5,Hf4=f4,f6.697设设H1,H2分别是群分别是群G 的的r,s阶子群，若阶子群，若(r,s)=1，证明，证明H1 H2=e.练习练习7证证H1 H2H1，H1 H2H2.由由Lagrange定理，定理，|H1 H2|整除整除r，也整除，也整除s. 从而从而|H1 H2|整除整除r与与s 的最大公因子的最
62、大公因子.因因为为(r,s)=1,从而从而|H1 H2|=1.即即H1 H2=e.某些有用的数量结果：设某些有用的数量结果：设a是群是群G元素，元素，C为为G的中心的中心N(a)=x|x G,xa=ax ，l|C|是是|N(a)|和和|G|的因子，的因子，|a|是是|N(a)|和和|G|的因子的因子l|H|=| xHx 1|l|an|是是|a|的因子的因子la2=e a=a 1|a|=1,2708设i 为虚数虚数单位，即位，即i 2= 1,令令则则G关于矩阵乘法构成群关于矩阵乘法构成群.找出找出G的所有子群的所有子群.,练习练习8解解令令A,B,C,D分分别为G的子群有的子群有6个，即个，即平
63、凡子群：平凡子群：=A,G2阶子群：阶子群：=A,-A,4阶子群：阶子群：=A,B,-A,-B, =A,C,-A,-C,=A,D,-A,-D,719设群群G的运算表如表所示，的运算表如表所示，问问G是否为循环群？如果是，是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群求出它所有的生成元和子群.练习练习9解解易见易见a 为单位元为单位元.由于由于|G|=6,|b|=6,所以所以b 为生为生成元成元.G=为循环群为循环群.|f |=6, 因而因而 f 也是生成元也是生成元|c|=3,|d|=2,|e|=3,因此因此c,d,e不不是生成元是生成元.子群：子群：=a,=c,e,a,=d,a,G.7210
64、. 证明证明Fermat小定理小定理：设：设p为素数，则为素数，则p|(np n)练习练习10证：考虑一个圆环上等距离穿有证：考虑一个圆环上等距离穿有p个珠子，用个珠子，用n 种颜色对珠种颜色对珠子着色子着色.考虑围绕中心旋转，则群是考虑围绕中心旋转，则群是 G= 1, 2, p 1=( )( )( ) 2=( ) p=( )根据根据Polya定理，不同的着色方案数是定理，不同的着色方案数是于是于是p|(np n)73证证 a,bZ有有a b,abZ,两个运算封闭两个运算封闭.任取任取a,b,cZ(a b) c=(a+b 1) c=(a+b 1)+c 1=a+b+c 2a (b c)=a (b
65、+c 1)=a+(b+c 1) 1=a+b+c 2(ab)c=(a+b ab)c=a+b+c (ab+ac+bc)+abca(bc)=a(b+c bc)=a+b+c (ab+ac+bc)+abc 与可结合，可结合，1为为 的单位元的单位元.2 a为为a关于关于 的逆元的逆元.Z关关于于 构成交换群构成交换群,关于关于构成半群构成半群.关于关于 满足分配律满足分配律.a(b c)=a(b+c 1)=2a+b+c ab ac 1(ab) (ac)=2a+b+c ab ac 1构成构成环环练习练习1111.在整数环中定义在整数环中定义 和和两个运算两个运算, a,bZ有有 a b=a+b 1,ab=
66、a+b ab.证明证明构成环构成环7412.判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果如果不构成不构成,说明理由说明理由.(1)A=a+bi|a,bQ,其中其中i2= 1,运算为复数加法和乘运算为复数加法和乘法法.(2)A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法(3)A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法(4)A=x|x0xZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.(5),运算为实数加法和乘法解解(1)是环是环,是整环是整环,也是域也是域.(2)不是环不是环,因为关于加法不封闭因为关于加法不封闭.(3)是环是环,不是整环和域不是整环和域,因为乘法没有么元因为乘法没有么元.(4)不是环不是环,因为正整数关于加法的负元不存在因为正整数关于加法的负元不存在.(5)不是环不是环,因为关于乘法不封闭因为关于乘法不封闭.练习练习1275
