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1、台州职业技术学院数学教研室（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分第第3讲讲 导数与微分导数与微分一、复习要求一、复习要求台州职业技术学院数学教研室和某个邻域内有定义，当自变量在在点(1) 定义：设函数取得相
2、应的改变量处取得改变量时，函数时，如果当的极限存在，即存在，则称此极限为函数在点处的导数，并称函数在点处可导，或二、内容提要二、内容提要1导数概念导数概念记作台州职业技术学院数学教研室（2）左导数和右导数处的左导数，记作处的右导数，记作，称之为函数若存在在点在点函数在点处可导的充分必要条件是处的左、右数都存在且相等 存在 ，称之为函数在点若台州职业技术学院数学教研室（3）导数与导函数在一点函数处的导数是导函数在该点处的函数值，记作内可导，则对于该区间内每一点在区间如果函数，都有对应的导数值，故是的函数，称这个函数为的导函数台州职业技术学院数学教研室（4）导数的几何意义在点处切线的斜率，即过曲线
3、上点处的切线方程为处的导数在点表示曲线函数台州职业技术学院数学教研室（5）利用导数的定义求导数（导函数）的步骤b作比值c取极限分段函数在分段点的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定 a求增量（6）可导与连续的关系在点处可导，则它在点若函数处必连续；若函数在点处连续，但在该点未必可导即函数连续是可导的必要条件 台州职业技术学院数学教研室2.导数的基本公式与运算法数的基本公式与运算法则（c为常数）（为任意实数）特例：特例：（1）基本导数公式台州职业技术学院数学教研室（2）导数的四则运算法则bcd在某区域内的导数均存在，则有：和若a台州职业技术学院数学教研室（3）复合函数求导法则 即
4、复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 法则适用于有限次复合的函数确定的可导函数，则其导数可由方程是由方程求得（4）隐函数的求导法则及均可导，则若函数复合函数在x处可导，且台州职业技术学院数学教研室若分别可导，则幂指函数可两边取对数化成隐函数求导数则它有连续的反函数，其导数为（5）对数求导法则（6）反函数求导法则在若函数内的导数存在且不等于零，台州职业技术学院数学教研室函数的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为，或即或一般地，函数n-1阶导（函）数的导数称为n阶导数，即（7）高阶导数台州职业技术学院数学教研室在点处的微分，记为，即（1）定义：对
5、于自变量在点处的改变量，如果的相应改变量可表示为，其中A为不依赖于的常数，则称函数在点处可微称为函数自变量的微分就是它的改变量：3.函数的微分函数的微分台州职业技术学院数学教研室处可导，且，即因此求微分，只要求出导数，再乘以（3）微分形式的不变性函数微分的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性 （2）函数可微的充要条件函数在点处可微的充分必要条件是它在该点来说，不论对函数是自变量还是中间变量，台州职业技术学院数学教研室函数的微分，在几何上就是过点的切线的纵坐标的改变量 （4）微分的几何意义a求函数增量的近似公式b求函数在某点附近的函数值的近似公式（5）微分在近似计算中的应用台州职业技术学院数
6、学教研室在点处的导数例例1 用定义求函数时导数值解解 先求出导函数，再计算指定点所以 则三、例三、例题及及说明明1.导数概念数概念台州职业技术学院数学教研室解解 切线斜率，切线方程为，即法线斜率为，法线方程为，即例例2 已知曲线上一点，求：P点的切线方程和法线方程台州职业技术学院数学教研室例例3 判定下列说法哪些是正确的？处可导在点（2）如果函数处连续，则它在点在点（3）设是可导函数，且，则 处可导在点 处有导数，则称函数（1）如果函数在点台州职业技术学院数学教研室（3）错的导数解解 （1）是正确的，函数可导即表明函数在点处可导，如果在开区间内每一点都可导，则称在区间内可导在点（2）错的定理成
7、立的条件是：函数处可导，结论是处连续，逆定理不一定成立台州职业技术学院数学教研室例例4 证明函数在点，则 证 设在自变量有一个改变量因为 因为所以，函数在处不可导 处连续但不可导在所以，函数处连续，当时，极限不存在台州职业技术学院数学教研室2.求求导法法则的的应用用（2）解解 （1），求，求（2）例例1 （1）台州职业技术学院数学教研室例例1 求下列函数的导数（2）设，求，求（4）设（3），求（5）设，求3.复合函数求复合函数求导法法则的的应用用，求（1）已知台州职业技术学院数学教研室解解 （1）因为所以 （2） （3） 台州职业技术学院数学教研室（4）因为所以(5) 所以台州职业技术学院数学
8、教研室4.隐函数求函数求导、取、取对数求数求导求导，注意到解解 隐函数不必化成显函数，只要从方程两端对的函数（符合复合函数求导法则），因此可得：是解方程，得例例1 求由方程所确定的隐函数的导数台州职业技术学院数学教研室解解 两边对求导，得例例2 设，求，移项，得所以，由原式当时，所以台州职业技术学院数学教研室例例3 求函数的导数对 求导，得移项，整理得所以解解 两边取对数得台州职业技术学院数学教研室例例4 设，求两边求导数 整理得 解解两边取对数 台州职业技术学院数学教研室5.参数方程求参数方程求导方法方法，则求导）（注意：分子分母都是对例例1 若，求解解台州职业技术学院数学教研室 6高高阶导数数例例1 证明：函数满足关系式证 将求导，得 于是台州职业技术学院数学教研室例例2 求对数函数的n阶导数 一般地，可得即通常规定，所以这个公式当时也成立 解解 台州职业技术学院数学教研室7.微分及其微分及其应用用，求解解 例例1 台州职业技术学院数学教研室例例2 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立 (2) 解解 （1）因为可见即一般地，有 （C为任意常数） (1) 台州职业技术学院数学教研室（2）因为可见即一般地，有
