《1711变量与函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1711变量与函数（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、17.1.1变量与函数变量与函数 大大千千世世界界处处在在不不停停的的运运动动变变化化之之中中,如如何何来研究这些运动变化并寻找规律呢来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用数学上常用变量变量与与函数函数来刻画各种运动变化来刻画各种运动变化.(1)你坐过摩你坐过摩天轮吗？你天轮吗？你坐在摩天轮坐在摩天轮上时上时,随着随着时时间间t的变化的变化,你离开地面你离开地面的的高度高度h是如是如何变化的？何变化的？先看什么叫先看什么叫变量量?创设情境：创设情境：O1234567891011123h（米）（米）t（分）（分）O123456789101112311h（米）（米）t（分）（分）O123456
2、78910111231137h（米）（米）t（分）（分）O1234567891011123113745h（米）（米）t（分）（分）O1234567891011123113745h（米）（米）t（分）（分）O1234567891011123113745h（米）（米）t（分）（分）O1234567891011123113745h（米）（米）t（分）（分）下图反映了旋转时间下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的（分）与摩天轮上一点的高度高度h（米）之间的关系。（米）之间的关系。 t/分012345 h/米31137453711根据上根据上图填表图填表汽汽车行行驶的的路程路程会随着行会随着行驶时间
3、的的变化而化而变化化 (3) 一辆汽车以一辆汽车以60千米千米/时的速度匀速行驶，行使时的速度匀速行驶，行使的路程的路程S(千米千米)与行驶的时间与行驶的时间t(时时)之间之间有怎样的关系有怎样的关系?S = 60tt（时间）（时间） 1 2 3 4 5 6s（路程）（路程）60120180240300360像这样像这样像这样像这样在某一变化过程中在某一变化过程中在某一变化过程中在某一变化过程中, ,可以可以可以可以取不同数值的量取不同数值的量取不同数值的量取不同数值的量, ,叫做叫做叫做叫做变量变量变量变量. .刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程刻
4、画汽车运动变化的量是路程S S和时间和时间和时间和时间t t, ,路程路程路程路程S S随着随着随着随着时间时间时间时间t t的变化而变化的变化而变化的变化而变化的变化而变化, ,它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值以上各个以上各个问题中都出中都出现了可以取不同数了可以取不同数值的量的量.刻画刻画刻画刻画摩天轮摩天轮转动过程的量是时间转动过程的量是时间转动过程的量是时间转动过程的量是时间t t和高度和高度和高度和高度h h, ,高度高度高度高度h h随着时间随着时间随着时间随着时间t t的变化而变化的变化而变化的变化而变化的变化而变化, ,它们都会取
5、不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值这天的这天的这天的这天的2 2时时时时3030分、分、分、分、9 9时和时和时和时和1414时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ 这一天中，什么时段
6、的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？ 时时间间t(时时)8102461214 16 182022240温温度度T( C)2468-2-40问题问题1 1 下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图, ,看图回答：看图回答：看图回答：看图回答： 什么叫什么叫函数函数呢呢?在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量t和和T,对于于时间
7、t每每取一个取一个值,温度温度T都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说t是是自自变量量,T是是因因变量量.也称也称T是是t的的函数函数.这张图是怎样这张图是怎样来展示这天各时刻来展示这天各时刻的温度和刻画这天的温度和刻画这天的气温变化规律的的气温变化规律的?这张图这张图这张图这张图告诉我们告诉我们告诉我们告诉我们哪些信息哪些信息哪些信息哪些信息? ?问题问题2 2 小蕾在过小蕾在过14岁生日的时候，看见了爸岁生日的时候，看见了爸爸为她记录的各周岁爸为她记录的各周岁时的体重，如下表时的体重，如下表：观察上表察上表,说说随着随着年龄年龄x的增的增长,相相应的的体重体重y是是如何如何变化的
8、化的在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量x和和y,对于于x每每取一个取一个值,y都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说x是是自自变量量,y是是因因变量量.也称也称y是是x的的函数函数.周岁周岁x123456789101112体重体重y(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.2收音机上的刻度收音机上的刻度盘的波的波长和和频率分率分别是用米是用米(m)和和千赫千赫兹(kHz)为单位位标刻的刻的下面是一些下面是一些对应的数：的数：细心的同学可能会心的同学可能会发现： 与与 f的乘的乘积是一个定是一个定值，即，即
9、f300000，或者或者说f 在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量 和和f,对于于 每取一个每取一个值,f都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说 是是自自变量量,f是是因因变量量.也称也称f是是 的的函数函数.300000300000 波长波长 (m)30050060010001500频率频率f(kHz)1000600500300200 问题问题4 4圆的面积随着半径的增大而增大如果用圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的表示圆的半径，半径，S表示圆的面积则表示圆的面积则S与与r之间满足下列关系：之间满足下列关系： S_利用这个关系式利用这个关系式,试求出半径
10、为试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积时圆的面积,并将结果填入下表并将结果填入下表:( 3.14) r在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量r和和S,对于于r每取一个每取一个值,S都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说r是是自自变量量,S是是因因变量量.也称也称S是是r的的函数函数.半径半径l(cm)11.522.63.2圆面积圆面积S(cm)3.143.147.077.0712.5712.5721.2421.2432.1732.17 在某一变化过程中，可以在某一变化过程中，可以取不同数值的量取不同数值的量，叫做叫做变量变量(var
11、iable)。 而而取值始终保持不变取值始终保持不变的的量量，我们称之为，我们称之为常量常量（constant）。）。概概 括括 一、选择题：一、选择题：1 1、正、正n n边形的内角和公式是边形的内角和公式是 ， 其中变量是其中变量是( )( )2 2、在圆的周长公式、在圆的周长公式 C= 2 R C= 2 R 中，下列说法正确的是中，下列说法正确的是( )( )A A、 C C、 、R R 是变量，是变量，2 2 是常量是常量B B、 R R 是变量，是变量，C C、2 2、 是常量是常量C C、 C C 是变量，是变量，2 2、 、R R 是常量是常量D D、 C C、R R 是变量，是
12、变量，2 2、 是常量是常量在一个变化过程中在一个变化过程中有两个变量有两个变量，例如，例如 x x 和和 y.y.如果对于如果对于x x的每一个值的每一个值 y y 都都有唯一值有唯一值与之对应，与之对应，我们说我们说x x是自变量，是自变量， y y是因变量是因变量，也称，也称y y是是 x x 的函数的函数. . 【对于函数的定义的理解对于函数的定义的理解】 在某个变化过程中有变量在某个变化过程中有变量且应为两个；且应为两个； 对于对于x x的每一个值是指的每一个值是指在在 x x 允许的取值范围内允许的取值范围内取值；取值； y y要通过与要通过与x x之间的关系求之间的关系求 得，并
13、且得，并且有唯一的值与有唯一的值与x x相相对应对应; ;如如 y2 x例如：例如：Sr正正n边形的内角和公式边形的内角和公式 在一个变化过在一个变化过程中程中有两个变量有两个变量，例如例如 x x 和和 y.y.如如果对于果对于x x的每一的每一个值个值 y y 都有唯都有唯一值一值与之对应，与之对应，我们说我们说x x是自变是自变量，量， y y是因变量是因变量，也称也称y y是是 x x 的函数的函数. .【对于函数的定义的理解对于函数的定义的理解】 取值的变量取值的变量叫自变量，通叫自变量，通过一定的关系随自变量变化过一定的关系随自变量变化而变化的变量叫因变量（或而变化的变量叫因变量（
14、或自变量的函数）自变量的函数）. .自变量与函数是可以互相转自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般情化的，是相对的，但一般情况下约定况下约定y y是函数，是函数，x x是自变是自变量量. .例如：例如：Sr自变量自变量: 是指在它的是指在它的取值范围内取值范围内可以随心所欲可以随心所欲的，自由自在的取它想取的值，看这概念够的，自由自在的取它想取的值，看这概念够贴切了吧贴切了吧. 因变量因变量: 这个这个“因因”字是指字是指因因x的变化的变化，通过通过一定的关系一定的关系而得到的而得到的.表示函数关系的方法通常有三种：表示函数关系的方法通常有三种： （1） 解析法解析法，如问题，如问题3
15、中的中的f=，问题，问题4中的中的Sr2，用用表表达达式式来来表表示示两两个个变变量量之之间间的的关关系系，它们又称称它们又称称函数关系式函数关系式 （2） 列表法列表法，如问题，如问题2中的体重表，问题中的体重表，问题3中中的波长与频率关系表的波长与频率关系表 （3） 图象法图象法，问题，问题1中的气温曲线中的气温曲线 注意自变量的取值范围注意自变量的取值范围.实际问题中，自变实际问题中，自变量的取值必须符合量的取值必须符合实际意义。实际意义。s60t；S= 解析法解析法 图象法图象法列表法列表法21 1、在下列关系中，、在下列关系中，y y不是不是x x的函数的是（的函数的是（ ）练练一一
16、练练函数的关系式是函数的关系式是等式。等式。通常等式的通常等式的右边右边是含有自变量的代数式，是含有自变量的代数式，左边左边的一个字母表示函数。的一个字母表示函数。如何书写函数关系式呢？如何书写函数关系式呢？即用含即用含x的代数式表示的代数式表示y.那么函数解析式的书写有没有要求呢？那么函数解析式的书写有没有要求呢？练练一一练练2 2、已知、已知 ，把它写成，把它写成y y是是x x的函数的形式。的函数的形式。3 3、已知、已知 ，把它写成，把它写成y y是是x x的函数的形式。的函数的形式。即用含即用含x的代数式表示的代数式表示y.(1)圆的周长圆的周长C与半径与半径r的关系式的关系式;(2
17、)火火车车以以60千千米米/时时的的速速度度行行驶驶,它它驶驶过过的的路路程程s (千米千米)和所用时间和所用时间t (时时)的关系式的关系式;(3)n边形的内角和边形的内角和S与边数与边数n的关系式的关系式. 3写出下列各问题中的函数关系式写出下列各问题中的函数关系式,并指出其并指出其中的常量，变量和自变量的取值范围。中的常量，变量和自变量的取值范围。课本课本P30练习练习教你一招：教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系，写出含有两个变量的等式、按相等关系，写出含有两个变量的等式3、将等式变形为用含有自变量的代数式、将等式变形为用含有自
18、变量的代数式表示函数的式子表示函数的式子 1、y 比比 x的的 少少22、y是是x的的倒数的倒数的4倍倍根据所给的根据所给的条件写出关系式，写成条件写出关系式，写成y是是x的函数的形式：的函数的形式：3、矩形的周长是、矩形的周长是18cm,它的长是它的长是y，宽是宽是xcm；交流反思交流反思: 1.函数概念包含：函数概念包含：(1)两个变量；两个变量；(2)两个变量之间的对应关系两个变量之间的对应关系2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变变量量；数值始终保持不变的量，叫做；数值始终保持不变的量，叫做常量常量例如例如x和和y，对于，对于x的每一
19、个值，的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我都有惟一的值与之对应，我们就说们就说x是自变量，是自变量，y是是因变量因变量3.函数关系三种表示方法：函数关系三种表示方法：(1)解析法；解析法；(2)列表法；列表法；(3)图象法图象法 汽车由洪泽驶往相距汽车由洪泽驶往相距500公里外的公里外的上海，它的平均速度是上海，它的平均速度是100公里公里/小时，则汽车距上海的的距离小时，则汽车距上海的的距离s（公里）与行驶时间（公里）与行驶时间t（小时）的（小时）的函数关系式函数关系式?你你能仿照此题编一道题目吗？能仿照此题编一道题目吗？认真审题：你会有意外的收获认真审题：你会有意外的收获课堂检测：课堂检
20、测：1、在、在y=3x+1中，如果中，如果x 是自变量，是自变量， 是是x的函数的函数2、下列说法中，不正确的是、下列说法中，不正确的是（）A、函数不是数，而是、函数不是数，而是一种关系一种关系B、多边形的内角和是边数的函数、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数、一天中温度是时间的函数3、正方形的边长为、正方形的边长为5 cm,当边长当边长减少减少x cm时，周长为时，周长为y cm，求，求y与与x的函数关系式。的函数关系式。拓展迁移：拓展迁移：n某汽车的油箱内装有某汽车的油箱内装有30 公升的公升的油，行驶时每百公里耗油油，行
21、驶时每百公里耗油2.5公公升，设行使的里程为升，设行使的里程为X（百公里）（百公里），求油箱中所剩下的油，求油箱中所剩下的油 y (公升）公升）与与x之间的函数关系式？之间的函数关系式？当当x=10时，时，y=?当当x=12.1时，时，y=?当当x=12时，时，y=?；(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角(度)与间的关系式是90 ；(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：yax检测反馈 1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是课堂小结课堂小结：n本节课我们学习主要内容是什么？本节课我们学习主要内容是什么？n你有什么收获？你有什么收获？
