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1、10.3 10.3 10.3 10.3 平面平面平面平面图图形上各点的加速度形上各点的加速度形上各点的加速度形上各点的加速度 如已知某瞬时平面图形如已知某瞬时平面图形S内点内点A的加速度，以及图形的的加速度，以及图形的角速度角速度w和角加速度和角加速度a，则可以，则可以A为基点建立平动坐标系为基点建立平动坐标系Axy，而将图形的运动分解为：，而将图形的运动分解为：跟随基点跟随基点A的平动的平动( (牵连运动）牵连运动）和绕基点和绕基点A的转动（相对运动）。的转动（相对运动）。平面图形上各点的加速度理论力学根据牵连运动为平动时的加速度合成定理可知，根据牵连运动为平动时的加速度合成定理可知，图形图
2、形S S内任一点内任一点B的加速度的加速度 由于点由于点B相对于基点相对于基点A作圆周作圆周运动，相对加速度可分解为沿运动，相对加速度可分解为沿相相对对轨轨迹迹切切线线和和法法线线的的两两部部分分，即即1 1、牵连加速度、牵连加速度：2 2、相对加速度相对加速度：平面图形上各点的加速度理论力学相对切向加速度相对切向加速度 aBAt为点为点B 绕基点绕基点A转动的切向加速度，转动的切向加速度，方向与方向与AB垂直，大小为垂直，大小为 aBAt= =ABa a 相对法向加速度相对法向加速度 aBAn为点为点B 绕基点绕基点A转动转动的法向加速度，指向基点的法向加速度，指向基点A，大小为，大小为 a
3、BAn= =ABw2 2平面图形上各点的加速度理论力学3 3、绝对加速度、绝对加速度 即：平面图形内任一点的即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的切向加速度和法向加速度的矢量和。矢量和。平面图形上各点的加速度理论力学 例例5 5：如图所示，半径为：如图所示，半径为r的行星齿轮的行星齿轮由曲柄由曲柄OA带动，带动，沿半径为沿半径为R的固定齿轮的固定齿轮作无滑动的滚动。设已知曲柄作无滑动的滚动。设已知曲柄OA以以匀角速度匀角速度w0 0转动，求轮转动，求轮上上M点的速度和加速度，设点的速度和加速度，
4、设AMOA 解：解：M为轮为轮上的点，轮上的点，轮作平面运动，作平面运动，又轮又轮中心点中心点A的的速度速度 vA A（R+r）w0 0= =常量常量方向垂直于曲柄方向垂直于曲柄OAA点的加速度点的加速度aA A恒指向曲柄恒指向曲柄并由并由A指向指向O，其大小为，其大小为 aA A（R+r）w0 02 2平面图形上各点的加速度理论力学选选A为基点，建立平动坐标系为基点，建立平动坐标系AxyAxy。M点点的的绝绝对对轨轨迹迹是是在在轮轮外外缘缘上上的的外外摆摆线线，其其运运动动较较为为复复杂杂，但但可可分分解解为为跟跟随随基基点点的的运运动动和和相相对对于于基基点点的的圆圆周周运运动动（轮轮上任
5、一点均如此）。上任一点均如此）。再由速度合成定理知再由速度合成定理知 vMve evr vAvMA (1)(1)式中式中M点的相对速度点的相对速度vMA沿沿M点点的相对轨迹（即轮的相对轨迹（即轮外缘的外缘的圆周）的切线，如图所示圆周）的切线，如图所示。 平面图形上各点的加速度理论力学 为为求求M点点的的绝绝对对速速度度vM，还还须须先先求求出出M点点的的相相对对速速度度vMA的的大大小小。考考虑虑到到两两轮轮上上在在它它们们节节圆圆相相切切处处之之C点点的的速速度度彼彼此此相相同同而而均均为为零零，故故C点点即即为为轮轮的的速速度度瞬瞬心心。从从而而，轮轮的的角速度角速度w为为于是于是再根据再
6、根据M点的速度平行四边形，点的速度平行四边形，即可求出即可求出M点速度的大小和方向：点速度的大小和方向：平面图形上各点的加速度理论力学aMA=aMAnaMA沿沿轮轮上上通通过过M点点的的半半径径并由并由M指向指向A，由牵连运动为平动时的加速度合成定理可求出点由牵连运动为平动时的加速度合成定理可求出点M的加速度。的加速度。因因 aA沿曲柄由沿曲柄由A指向指向O，其大小为，其大小为aA =(R+r)w02；w常量，故常量，故M点的点的aMAn= rw2=(R+r) 2w02/r；aMAt=0平面图形上各点的加速度理论力学aMA=aMAnaMA沿轮沿轮上通过上通过M点的半径并由点的半径并由M指向指向
7、A，由于由于aA aMA，故，故aA =(R+r)w02 M点点aMAn=(R+r) 2w02/r； aMAt=0平面图形上各点的加速度理论力学又又aM的方向可表示如下的方向可表示如下: =（aM，aA） =arctan(R+r)/r由图可看出，轮由图可看出，轮上速度瞬心上速度瞬心C的加速度的加速度aC的大小应为的大小应为可见，速度瞬心的速度为零，但加速度却不为零。可见，速度瞬心的速度为零，但加速度却不为零。aCaCAaeaMAaA (R+r)w02(R+r)/ /r1 R(R+r)w02/ /r0aA =(R+r)w02 aMAn=(R+r) 2w02/r平面图形上各点的加速度理论力学 例例
8、例例7 7 图图所示机构中，所示机构中，所示机构中，所示机构中， OA OA12cm12cm，ABAB30cm30cm，ABAB杆的杆的杆的杆的B B端以速度端以速度端以速度端以速度v vB B2 m/s2 m/s，a aB B1 m/s1 m/s2 2 向左沿固定平面运向左沿固定平面运向左沿固定平面运向左沿固定平面运动动。求。求。求。求图图示瞬示瞬示瞬示瞬时时ABAB杆的角速度杆的角速度杆的角速度杆的角速度w w w wABAB和角加速度和角加速度和角加速度和角加速度a a a aABAB 。 解：解：AB杆作平面运杆作平面运动，由由A、B两点的速度方向两点的速度方向可知，在可知，在图示瞬示
9、瞬时AB杆作杆作瞬瞬时平平动。如。如图所示。所示。则有有 vAvB， w wAB0 0 ，w w0vA/ /OA平面图形上各点的加速度理论力学方向假方向假设如如图所示；所示；以以以以A A为为基点，求点基点，求点基点，求点基点，求点B B的加速度。的加速度。的加速度。的加速度。作出加速度作出加速度作出加速度作出加速度图图如如如如图图所示，且所示，且所示，且所示，且方向由方向由A指向指向O轴， 式中：式中：aB的大小和方向已知；的大小和方向已知； 的大小的大小为：OA12cm，AB30cm，vB2 m/s，aB1 m/s2 ，求求w wAB和和a aAB平面图形上各点的加速度理论力学 的方位垂直
10、于的方位垂直于AB，指向假指向假设如如图，大小未知；，大小未知；OA1212cm，AB3030cm，vB2 m/ /s，aB1 m/ /s2 ，求求wAB和和aAB平面图形上各点的加速度理论力学将（将（将（将（1 1 1 1）式在）式在）式在）式在y y y y轴轴上投影上投影上投影上投影AB杆的角加速度杆的角加速度OA12cm，AB30cm，vB2 m/ /s，aB1 m/ /s2 ，求求wAB和和aAB平面图形上各点的加速度理论力学习题：曲柄习题：曲柄OA以恒定的角速度以恒定的角速度=2rad/s绕轴绕轴O转动，转动，并借助连杆并借助连杆AB驱动半径为驱动半径为r的轮子在半径为的轮子在半径
11、为R的圆弧槽中的圆弧槽中作无滑动的滚动。设作无滑动的滚动。设OA=AB=R=2r=1m，求图示瞬时点，求图示瞬时点B和和C的速度和加速度。的速度和加速度。平面图形上各点的加速度理论力学解：如图所示解：如图所示AB杆做瞬时平动杆做瞬时平动=2rad/s，OA=AB=R=2r=1m，求图示瞬时点求图示瞬时点B和和C的速度和加速度。的速度和加速度。平面图形上各点的加速度理论力学轮心B以圆心O1，半径为 r 作圆周运动B点绝对加速度：以A点为基点， B 点加速度如图所示：平面图形上各点的加速度理论力学以B点为基点，C点加速度如图所示：平面图形上各点的加速度理论力学 例例6 图示平面机构，滑块图示平面机
12、构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆滑动。杆BE与与BD分别分别 与滑块与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块杆可沿水平导轨运动。滑块E以以匀速匀速v沿铅直导轨沿铅直导轨向上运动。图示瞬时杆向上运动。图示瞬时杆OA 铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为4545。求该瞬时。求该瞬时杆杆OA的的wOA和和aOA。 解：解：BE杆作平面运动，可先杆作平面运动，可先求出点求出点B的速度和加速度。点的速度和加速度。点B连同连同滑块在滑块在OA杆上滑动，并带动杆杆上滑动，并带动杆OA转动，可按合成运动方法求解杆转动，可按合成运动方法求解杆OA的的wOA和和aOA平面图形上各点的加速度理论力学式
13、中各矢量方向如图所示。式中各矢量方向如图所示。因点因点E作匀速直线运动，作匀速直线运动， aE=0。aBEn的大小为的大小为BE杆作平面运动，在图中，由杆作平面运动，在图中，由vE v及及vB方向方向可知此瞬时可知此瞬时O点为点为BE杆的速度瞬心，因此杆的速度瞬心，因此以以E为基点，点为基点，点B的加速度为的加速度为wBE平面图形上各点的加速度理论力学由于滑块由于滑块B可以沿杆可以沿杆OA滑动，因此滑动，因此可利用点的合成运动方法求杆可利用点的合成运动方法求杆OA的的wOA和和aOA。选：动点选：动点滑块滑块B，动系，动系杆杆OA点点B的绝对速度的绝对速度 将式（将式（a）投影到沿）投影到沿B
14、E方向的轴上，得方向的轴上，得 aBcos45aBEn平面图形上各点的加速度理论力学其转向如图所示。其转向如图所示。显然显然 va=ve ； vr=0 0 即即 ve= vB v于是得杆于是得杆OA的角速度。的角速度。式中：绝对速度式中：绝对速度 va=vB ； 牵连速度牵连速度ve?，方向垂直于方向垂直于OA，因此与，因此与va同向；同向； 相对速度相对速度vr沿沿OA杆，垂直于杆，垂直于va。平面图形上各点的加速度理论力学滑块滑块B的相对加速度的相对加速度ar也也OA方向。方向。此瞬时此瞬时vr=0 ，故，故ak=0由由aaaet aenar ak滑块滑块B的绝对加速度的绝对加速度 aaaB其牵连切向加速度其牵连切向加速度aet沿杆沿杆BD，假设与，假设与aB同向同向牵连法向加速度沿牵连法向加速度沿AO方向方向投影得投影得 aa=aet平面图形上各点的加速度理论力学
