《高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法五在立体几何中综合应用ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法五在立体几何中综合应用ppt课件（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间向量空间向量在立体几何中的运用在立体几何中的运用5 5 前段前段时间我我们研研讨了用空了用空间向量求向量求角角(包括包括线线角、角、线面角和面面角面角和面面角)、求、求间隔隔(包括包括线线间隔、点面隔、点面间隔、隔、线面面间隔和面面隔和面面间隔隔) 今天我来研今天我来研讨如何利用空如何利用空间向量来向量来处理立体几何中的有关理立体几何中的有关证明及明及计算算问题。 一、一、 用空用空间向量向量处置置“平行平行问题 RDBCAA1QPNMD1C1B1例例1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分分别是是A1B1和和BC上的上的动点，点，且且A1P=BQ，M是是AB1的中点
2、，的中点，N是是PQ的中点的中点. 求求证： MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法法作作PP1AB于于P1，作，作MM1 AB于于M1，连结QP1， 作作NN1 QP1于于N1，连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四是平行四边形，故形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如下明：建立如下图的空的空间直角坐直角坐标系系o-xyz设正方形正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x那么那么P(2，2x
3、，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量向量为 (0, 0, 1)， 又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACDCBAD1C1B1A1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求证： 平面平面A1BD平面平面CB1D1(1)平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)证明：建立如下明：建立如下图的的空空间直角坐直
4、角坐标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，那么向量那么向量设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为那么那么有有x+z=0x+y=0令令x=1,那么得方程组的解那么得方程组的解为为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量的法向量为为同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量的法向量为为 那么显然那么显然有有即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分分别是是A1B1、B1C1、C
5、1D1、D1A1的中点的中点. 求求证： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四平行四边形形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略略证：建立如下：建立如下图的空的空间直角坐直角坐标系系o-xyz那么求得平面那么求得平面AEF的法的法向量为向量为求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为显然有显然有故故 平面平面AEH平面平面BDGF 二、二、 用空用空间向量向量处置置“垂直垂直问题 二、二、 用空用空间向量向量处置置“垂直垂直问题 FEXYZ例4练习1证明证明: 分别以分别
6、以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 例例6 6：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中，中，AB=AA1/3=aAB=AA1/3=a，E E、F F分别是分别是BB1BB1、CC1CC1上的上的点，且点，且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。 求证求证: : 面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy不防设不防设 a =2 a =2，那么，那么A A0 0，0 0，0 0，B B 3 3 ，1 1，0 0C C0 0，2 2，0 0，E E 3 3，1 1，2 2 F F0 0，2 2，4 4，AE=
7、AE= 3 3，1 1，2 2AF=AF=0 0，2 2，4 4，由于，由于，x x轴轴 面面ACF ACF 所以所以 可可取面取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=1 1，0 0，0 0，设，设n=n=x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法向的法向量，那么量，那么AFEC1B1A1CBzyxnAE=nAE= 3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=0 0，-2-2，1 1显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明
8、：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz ，ADCB求求证：平面：平面MNC平面平面PBC；知知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分分别是是AD、PB的中点。的中点。PMN练习练习2小小结： 利用向量的有关知识处理一些立体几何的问题，是近年来很“热的话题，其缘由是它把有关的“证明转化为“程序化的计算 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求间隔等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路。 利用向量解利用向量解题 的关的关键是建立适当的空是建立适当的空间直角坐直角坐标系系及写出有关点的坐及写出有关点的坐标。 用代数的方法用代数的方法处理立体几何理立体几何问题是立体几何的开展是立体几何的开展趋势，而向量是用代数的方法，而向量是用代数的方法处理立体几何理立体几何问题的主的主要工具，故学会用向量法解立体几何要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体是学好立体几何的根底。几何的根底。
