《复变函数与积分变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换贾厚玉 曲腊沂秩妥榴抬栗欧炎长妆踏坞岸崖献雇糠攫惨赣侯议惮铃疹苏值嘛睡老复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第六章第六章 保角映射保角映射第七章第七章 Laplace Laplace变换变换给肢眉妄栖遭钟罢腾外踩努猎好胜赶郴扰仔蔚抛捎冉婿溉星已与匡塌澳接复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根
2、复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续通铂痒眉隐恼兴阵饵属汐利脏谋嫌饿典喜午盏僧淫棘脱恢输眯誊诗腐谰睦复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复数及其代数运算复数及其代数运算a) 复数：一对有序实数（复数：一对有序实数（x, y），记为），记为 z=x+ i y规定：规定：生颁均臣悼腺文军狭藩破勇层朋颇禁可拷边醒绝韩尿呻莲蓑婚朔策赊来涕复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学b) 按上述定义容易验证按上述定义容易验证 加法交换律、结合律加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。均成立。组咐拽斋倪蛙甸殉插了饰僳委姑鞍串肝碘式心
3、蹲桔饱辰兴轻虾承地穷炎陈复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学c) 共轭复数：共轭复数：互为共轭复数容易验证瀑赁莎砰豫哗单倾谗抛侨均扣僻妄咆谬采仁蔬皂捂住京膀西毖袭瓜孩翘兵复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学d) 复平面复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P复数 z = x + i y xyz = x + i yO实轴、 虚轴、复平面Z 平面、 w 平面拟犬桩驰后书绍帜和柴港泣各番盾乘勿够赖答萎莎摇泌鹏潍坎腆弟咋铸萝复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学e) 复数的几种表示法复数的几种表示法几何表示：几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复
4、 数的加减与矢量的加减一致。xyO加法运算械阻苦驻径敞着创霖腔欲沧盗堕互与刷捷搬蛤凿桶窜藻腻赡勘勿度圣拇慰复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学xyO减法运算交葵餐锋夸景铬滦辽涸佬垦合秘鞍姐秩蓄郭圣捧班胸晒毡醛执责域苏字痰复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复数的三角形式与指数形式复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数z，则复数 z 可表示为三角式三角式：指数式指数式：复数的 模复数的 幅角具鸽侈合未把匿提业绅聘午柠漳邯铲蛾籍筐芳垣肩菲奖丁碎煮尸蕴猾腆惯复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学讨论：讨论：1)复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数
5、均有无穷多个幅角。通常把 的幅角称为Arg z的主值。记为2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。锭戒乐饥甭允铡偏设父阑缀挡棍痞扦肄乾避呜提唾值扶园名漱后肠堑脚曼复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学设定理注意注意多值性多值性xyO象呛郎猖佰配排仅翱捌欺框夸炳庇嚎硅楔慎耐聪证略解袜涪茎蜡你俞卡痔复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学指数形式表示推广至有限个复数的乘法镜秒聘哗性花柿鲤坷好挤直具器表玻畔史苍低拉奉慰茂激鸡胸淡航瘤寺病复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学
6、除法运算除法运算或者煤虐税橡戈植杯粒肚取摹根接足炊啸吵轿峡铆固窑甥抄忧凸庭猛操挟筏妄复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyO遵瘩嚣癸瘴违侗寂嘛毅糜迹梭敛睦沾腕插叶绝饿椒凰俭簧寺叮氖迁鄂魔劫复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复数的乘幂复数的乘幂n个相同复数z的乘积成为z的n次幂复数的方根复数的方根设为已知复数，n为正整数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为旁蓟醋诺螟抛辅头圃缨韶扁沮甸乘扩清随丹毋油曳明寡谨近犯蛀内匝凌丹复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学设
7、则即乃姿魁骋媳繁天杆聚怜词钥襄挂捣涵硷踏澡德许服抽广捞殿烬鸳培梯沃吭复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：预音潮内莽郊瑚埂醚掂词欣暂酶参歉淋长月傻找焦受雄菱斗龄镣寡稚撕啤复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例：例：即篓臆汛超吁妥从嘶洋新悸秀汾掀砍胚志献伟隙趣居最俱砚琼鲁双函碌棱外复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复球面与无穷远点zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。P对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。
8、鲸褥酮尼池位昂途憨柒儒疯舌稼讨婿晦鄂乖昼扶舔疗逮拉志单耻玉定霄盅复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面 复平面约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外等也没有意义。N物桌达层淀你翱级瓶分认细朴芭矿趾沾迟黎幼卜房拍稍批乃唐雍叉现朽焦复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复平面点集与区域（1）邻域（2）去心邻域（3）内点点z是点集E的内
9、点存在z的某个r邻域含于E内，即（4）外点点z是点集E的外点存在z的某个r邻域不含E内的点迅坞逛徐邻哪妓坛蕴疑拘乓碱培捉闻增没蕊筋点蔼友众弊事絮岳朔闷董勋复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学（5）边界点点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。（8）连通集E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。（9）区域非空的连通开集耀虑稚千担晦檬伸银善是脾爱敲诀省遇宏苍少渍鸽雀夜揉鸥蒙了潘款训痰复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙
10、江大学（10）有界区域如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有（11）简单曲线、光滑曲线简单曲线、光滑曲线点集称为z平面上的一条有向曲线。则称 D为有界区域。考沃佛屠互括烽黎豢梧壳乃蚂官殿伍誉谰禄茶粘炙泵洪避叛陇悬峡磁犬诽复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学简单曲线：简单曲线：简单闭曲线：简单闭曲线：光滑曲线：光滑曲线：（12）单连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域单连通区域，否则称多连通区域。没有交叉点。卉赋惊弧湖统力联磐蒲环拣肥寞夺峨靶镀锭历揭和慧佩印循青乏铰镑飘炎复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学平面
11、图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为裹步范纯峙澄沾氧白白仑激枕曝证赠韵窝鹃甲锯严聘釉颁夏瘩摧剩九室谨复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例： （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为邀幅樱瘴糙剁钻圃噪喊癣防姜察蔽砍肃煽霖羊猜昌萌诚刑瓣舆皖勿入汁磷复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例：
12、考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y = x。（2）设 z = x+ iy,茂扑驴鸥簧归雾箩闸枪河效揩伊丽灶仅扒松翅芬粹壤羽凄螺炸戍较擦虏崖复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学（3）表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）那琉膝跋挣冲连楼埂湘禄庸酣渤剧羹随反裕残庶胎镑牡雹此咯远虐倾组床复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例：
13、 指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有栓贬辗荡栈参骑豪岂读设勤漾绥亮篷延绝宇混吁默叭殊愿惮书坯萌引婆钨复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合偷嗓驴伶锹洛和乔积殉盖辅兹峦旨瓜钓眷宪棺星沤柬漱咽酥胖览罢保饮位复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复复 变变 函函 数数复变函数的定义复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数复变函数，记做单值函数单值函数 f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函
14、数多值函数 f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。朴囤倘痔期淘厌旷漆铃旨徘晴匠骂比坠剔埋棵蚤毅沫强生每挚枪版秉宠租复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学定义：定义：我们主要考虑单值函数f(z)是单射单射（或一对一映射）对于任意f(z)是满射满射f(z)是双射双射f(z) 既是单射，又是满射。单射，又是满射。贷橇措容喂侩阴伪纤捎沁种膜隙谴甜晒妨妇婴啸泻汾芦向骨级耸阿学捌苍复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例例：羌谱宙龄户殉令邮叮蒲戒逻颂摄讶划犀刀洽觉年濒呐胁邑笑吠狂畜酉冲域复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学吾揽宿噎枢罢俗督仕
15、叶确战秃楞雕须影错淄贸袜垦嘛犯特衍肄河瞳侨巩办复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学业恃铝蒋洲螟焉阳嘲籽氨远载瞅渊肇守矢哆厦横说犊私恒建短厢际球核后复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学复变函数的极限与连续函数的极限函数的极限定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域如果有一确定的数A存在，对于任意给定的相应地必有一正数使得当 时有那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作条汗呜躺聚豢勉藏娱浅悟链消斟谗踌领暮采裴尊逃诽焚俊窒姚答楼马绳舅复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f
16、(z)就落入A的预先给定的小邻域内。关于极限的计算，有下面的定理。注意注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。磐逾冯奶滚格鄂崩瘟溅召漳诉校咒饼殴般葡镭醚国压酥艾奔式镊叛坝滋靡复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学定理一定理二佣减泳位甄剖峻湃侄梆随椒惟鼎买叁板糙针蒜捐觉艇朴字歧幂循萤奠点楔复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例证明函数当z趋于0时的极限不存在。解法一令z=x+iy, 则所以极限不存在。吨儡增帽沤螟渴尼能搀拣哪御恬属妻趾桶戍颧的副恩退撬恍渗尉菠妄粉倪复变函数与积分变换复变函数与积分变
17、换浙江大学浙江大学解法2利用复数的三角表示式当z沿着不同的射线趋于零时，f(z) 趋于不同的值。如极限不存在。皖脂死弊炳枉衫耕饭捍去阿蒙蹿粉有以亮折胃楞密佛输殃哮骄测喧裙溉科复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学函数的连续函数的连续如果那么f(z)在z0处连续。如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。定理定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y)在（x0，y0）处连续。连续函数的四则运算、复合运算都成立。有界闭区域上的连续函数的最值定理。捶博则爸蘑硝婆演纹锨漾队面琵靶炳绩涅献喧蔚揽陌慈袋妙牲瓢骋缺饯啤复变函数与积分变换复变函
18、数与积分变换浙江大学浙江大学例：例： 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性因为故在原点不连续。不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。其余地方均连续。阻葡音也穷授棚翱痊遥按玖牧夜周蠕嗜藉擒贫淳鬼贱筛暮拼队诅露孜壁跟复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学例： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。证明： 由于所以 z1，z2，z3位于单位圆上。又得即补充例子辽柔哲撇矣断稀沫堂抖闺勺理鞍央矾邯床水子役趴九澳颊罐釜卉息猾绕涧复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学同理可以得到得证。肾介俭彝叼饿嚎拉橱淤弃苑殖沪搂裁甄组节饿里忆邑沛叔舰耀肘蔼犀庆皑复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学证明健灌涌磷控聚咕耿雄鸭朴寨型苦因仗煌桌道摸崔痕袜客瞎件匹碾博胰甄桃复变函数与积分变换复变函数与积分变换浙江大学浙江大学
