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1、第四讲、间接效用函数与支出最第四讲、间接效用函数与支出最小化小化西南财经大学经济学院西南财经大学经济学院袁正袁正这是直接效用函数这是直接效用函数代入初始的直接效用函数：代入初始的直接效用函数：这就是间接效用函数这就是间接效用函数请验证罗伊恒等式请验证罗伊恒等式马歇尔需求函数消费者最优的两种思路消费者最优的两种思路o相同支出下，追求效用最大化。相同支出下，追求效用最大化。o相同效用下，追求支出最小化。相同效用下，追求支出最小化。o这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经济这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经济学称为对偶性。学称为对偶性。支出最小化支出最小化oMin E(P,U)oS.
2、t. U(x1,x1)=u0等边际原则等边际原则预算线与无差异曲线相切预算线与无差异曲线相切希克斯需求希克斯需求o价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。s.t.举例：举例：求希克斯需求函数，支出函数求希克斯需求函数，支出函数构建拉格朗日函数：构建拉格朗日函数：这就是希克斯需求函数这就是希克斯需求函数xh(P,U)代入支出函数：代入支出函数：这就是支出函数这就是支出函数马歇尔需求函数与希克斯需求函数的区别马歇尔需求函数与希克斯需求函数的区别希克斯需求函数 xh(P,U)马歇尔
3、需求函数谢泼德引理谢泼德引理(shephards lemma) 请验证谢泼德引理请验证谢泼德引理xquantity of xdemanded rises.马歇尔马歇尔Demand CurveQuantity of yQuantity of xQuantity of xpxxpxU2x2I = px + pyxpxU1x1I = px + pyxpxx3U3I = px + pyAs the price of x falls.效用比较效用比较xcquantity demandedrises.希克斯希克斯Demand CurvesQuantity of yQuantity of xQuantity
4、 of xpxU2xpxxxpxxxpxxHolding utility constant, as price falls.xh(P,U)效用最大化和支出最小化是对偶问题效用最大化和支出最小化是对偶问题支出最小化支出最小化效用最大化和支出最小化效用最大化和支出最小化o一个侧重于相同的支出，获得最大的效用一个侧重于相同的支出，获得最大的效用o一个侧重于相同的效用，获得最小的支出一个侧重于相同的效用，获得最小的支出o是等价的两个问题是等价的两个问题Quantity of x1Quantity of X2U(X*)=V(P,y)BX1*X2*y=e(P,U(X*)o消费者收入为消费者收入为y, x*
5、=(x1*,x2*)为效用最大化的解，为效用最大化的解，o那么当效用水平为那么当效用水平为U(x*)时，时，x*也是支出最小化的解，也是支出最小化的解，o而且最小支出正好为而且最小支出正好为y下列几个等式成立下列几个等式成立Quantity of x1Quantity of X2U=V(P, p1x1*+p2x2*)BX1*X2*e(P,U)= p1x1*+p2x2*= yo当效用为当效用为U时，时，X*=(x1*,x2*)是支出最小化的解，是支出最小化的解，o当收入为当收入为p1x1*+p2x2*时，时，X*也是效用最大化的解，也是效用最大化的解，o而且，此时的效用水平正好为而且，此时的效用
6、水平正好为U下列等式成立下列等式成立价格变化的总效应价格变化的总效应Quantity of xQuantity of yU1ASuppose the consumer is maximizing utility at point A.U2BIf the price of good x falls, the consumer will maximize utility at point B.Total increase in x马歇尔需求曲马歇尔需求曲线上的两个点线上的两个点替代效应和收入效应替代效应和收入效应o一种商品价格的变化会引起该商品需求量变化一种商品价格的变化会引起该商品需求量变化,这
7、这种变化可以分解为替代效应和收入效应种变化可以分解为替代效应和收入效应o一种商品价格的变化，对消费者会产生两种影响：一种商品价格的变化，对消费者会产生两种影响：o使商品的相对价格发生变化，进而影响消费者的商使商品的相对价格发生变化，进而影响消费者的商品消费量品消费量(替代效应）。替代效应）。o使消费者的实际收入发生变化，进而影响商品的消使消费者的实际收入发生变化，进而影响商品的消费量（收入效应）。费量（收入效应）。CU1Quantity of xQuantity of yAOn the same utility curve替代效应替代效应Substitution effect（在效用保持不变，
8、相对价格的变化对需求量的影响。）（在效用保持不变，相对价格的变化对需求量的影响。）CU1Quantity of xQuantity of yA收入效应收入效应Income effect（实际收入改变，对需求量（实际收入改变，对需求量的影响）的影响）CU1Quantity of xQuantity of yADACD总效应：马歇尔需求曲线总效应：马歇尔需求曲线替代效应：希克斯需求曲线替代效应：希克斯需求曲线收入效应收入效应价格变化对需求量变化的影响价格变化对需求量变化的影响x1h (p1,p2,U) = x1 p1,p2,e(p1,p2,U)这就是斯勒茨基方程这就是斯勒茨基方程o替代效应总是反向
9、替代效应总是反向o希克斯需求曲线的斜率总是为负。希克斯需求曲线的斜率总是为负。o正常物品正常物品 ， x/ y 0o收入效应为反向收入效应为反向n低档物品，低档物品， x/ y 0o收入效应为同向收入效应为同向正常物品正常物品o替代效应替代效应 收入效应收入效应 总效应总效应o 反向反向 反向反向 反向反向oP下降，需求量上升下降，需求量上升oP上升，需求量下降上升，需求量下降低档物品低档物品o替代效应替代效应 收入效应收入效应 总效应总效应o 反向反向 同向同向 反向反向o替代效应大于收入效应，总效应为反向替代效应大于收入效应，总效应为反向oP下降，需求量上升下降，需求量上升oP上升，需求量
10、下降上升，需求量下降吉芬物品吉芬物品o替代效应替代效应 收入效应收入效应 总效应总效应o 反向反向 同向同向 同向同向o收入效应大于替代效应，总效应为同向收入效应大于替代效应，总效应为同向oP下降，需求量下降下降，需求量下降oP上升，需求量上升上升，需求量上升吉芬物品吉芬物品o违背需求定理的物品，即随着价格的上升，需要量违背需求定理的物品，即随着价格的上升，需要量反而增加，随着价格的下降，需求量减少。反而增加，随着价格的下降，需求量减少。斯勒茨基替代效应斯勒茨基替代效应o希克斯替代效应：假设效用不变希克斯替代效应：假设效用不变o斯勒茨基替代效应：假设购买力不变。斯勒茨基替代效应：假设购买力不变
11、。o研究的方法：把价格变化的效应分成两个部研究的方法：把价格变化的效应分成两个部分，分两步走分，分两步走o第一步：购买力不变，相对价格发生变化，第一步：购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动，得到单纯的替代效应表现为预算线转动，得到单纯的替代效应o第二步：相对价格不变，购买力变动，表现第二步：相对价格不变，购买力变动，表现为预算线平移，得到单纯的收入效应为预算线平移，得到单纯的收入效应价格变化导致需求量的变化价格变化导致需求量的变化X1价格降低，预算线外转价格降低，预算线外转x2x1x2x1x1Pure Substitution Effect x2x1x2x1x1怎么看出购买力没有发生
12、变化？怎么看出购买力没有发生变化？原需求束（原需求束（x1,x2)仍然处在仍然处在转动后的预算线上转动后的预算线上思考：转动后的预算线所代表的思考：转动后的预算线所代表的收入相对于最初的收入有何变化收入相对于最初的收入有何变化？替代效应替代效应购买力不变，相对价格发生变化，表现为购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动预算线转动,围绕初始选择点转动围绕初始选择点转动om=p1x1+p2x2om=p1x1+p2x2om-m=(p1-p1)x1om= p1x1oP1下降，收入也下降下降，收入也下降o商品价格下降时，消费者的购买力就会提高，要商品价格下降时，消费者的购买力就会提高，要保持购买力
13、不变，就必须减少消费者的收入保持购买力不变，就必须减少消费者的收入And Now The Income Effect(x1,x2)x2x1x2x2x1x1 x1(p1,p2)保持不变保持不变,收入从收入从m增加到增加到m需求的总变动（需求的总变动（The Overall Change in Demand）o总效应替代效应收入效应总效应替代效应收入效应显示偏好（显示偏好（Revealed Preference）o由预算约束和消费者偏好得出消费者需求由预算约束和消费者偏好得出消费者需求o反过来反过来,利用消费者需求信息得出消费者的偏好利用消费者需求信息得出消费者的偏好o偏好不容易观察到偏好不容易观
14、察到o人们的购买行为容易观察到人们的购买行为容易观察到o观察人们的行为来得出他们的偏好观察人们的行为来得出他们的偏好,要假设其购买要假设其购买时偏好没变时偏好没变显示偏好的概念显示偏好的概念o严格凸的无差异曲线，对应每条预算线，有严格凸的无差异曲线，对应每条预算线，有且只有一个需求束（且只有一个需求束（x1,x2)(X1,X2)(Y1,Y2)o消费者选择了消费者选择了(X1,X2)o消费者能够选择消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之，但没有选择之op1x1+p2x2p1y1+p2y2o(X1,X2)被直接显示偏好于被直接显示偏好于(Y1,Y2)o预算足以选择预算足以选择(Y1,Y2)，结
15、果选择了，结果选择了(X1,X2)直接显示偏好直接显示偏好显示偏好原理显示偏好原理o人们总是选择满足预算的最好的东西人们总是选择满足预算的最好的东西o消费者选择了消费者选择了(X1,X2)o在同样的预算下，消费者能够选择在同样的预算下，消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之，即但没有选择之，即p1x1+p2x2p1y1+p2y2o则则(X1,X2) (Y1,Y2)o图形上，另一个消费束在所选择的点的预算线图形上，另一个消费束在所选择的点的预算线的下边。的下边。pp间接显示偏好间接显示偏好X直接显示偏好于直接显示偏好于YY直接显示偏好于直接显示偏好于ZX间接显示偏好于间接显示偏好于Zx2x1
16、xyzx2x1xyzX直接显示偏好于直接显示偏好于ZX间接显示偏好于间接显示偏好于Zo消费者选择的是他能够购买的最好的东西消费者选择的是他能够购买的最好的东西o他有能力购买却没有购买的东西比被购买的东西要差他有能力购买却没有购买的东西比被购买的东西要差显示偏好弱公理显示偏好弱公理o如果如果(X1,X2)被直接显示偏好于被直接显示偏好于(Y1,Y2),且且(X1,X2)与与(Y1,Y2)不同不同,那么那么(Y1,Y2)就不可能直接显示偏就不可能直接显示偏好于好于(X1,X2)o以以(p1,p2)购买购买(X1,X2),以以(q1,q2)购买购买(Y1,Y2)o只要只要p1X1+p2X2p1Y1+
17、p2Y2o就不可能有就不可能有q1Y1+q2Y2q1X1+q2x2o如果选择消费束如果选择消费束X时时,有能力购买有能力购买Y,那么在选择那么在选择Y时时,就无力购买就无力购买Xx2x1xy同时选择了同时选择了X,Y,则违反显示偏好弱公理则违反显示偏好弱公理作业作业o推导斯勒茨基方程，并分解价格变化对需求推导斯勒茨基方程，并分解价格变化对需求量变化的影响量变化的影响o效用函数为效用函数为U=LNX1+LNX2,，求希克斯，求希克斯需求函数，支出函数，验证谢泼德引理。需求函数，支出函数，验证谢泼德引理。o比较希克斯替代效应和斯勒茨基替代效应的比较希克斯替代效应和斯勒茨基替代效应的区别，图示之区别，图示之
