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1、1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数1 1（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数: （3）.三角函数三角函数 ： （1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式2 2函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是增函数；上是增函数；2）
2、都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是减函数；上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为单调区间称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:3 3oyxyox1oyx1在（在（ ，0）和（）和（0, ）上分别是减函数。但在定义上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。域上不是减函数。在（在（ ，1）上是减函）上是减函数，在（数，在（1, ）上是增）上是增函数。函数。在在( ,)上是上是增函数增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图
3、像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间4 4(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我
4、们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提下的前提下,比较比较f(x1)f(x2)与的大小与的大小,在函数在函数y=f(x)比较复杂的情况下比较复杂的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用导数来判如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单断函数的单调性就比较简单.如何利用导数研究函数的单如何利用导数研究函数的单调性呢调性呢?5 5观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象, 图图(2)表示高台跳水运动员的速度表示高台跳水运动员的速度 v 随时间随时间
5、 t 变化的函数变化的函数 的图的图象象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, ,离离水面的高度水面的高度h随时间随时间t 的增加而增的增加而增加加, ,即即h(t)h(t)是增函数是增函数. .相应地相应地, , 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的增加而减少的增加而减少, ,即即h(t)h(t)是减函是减函数数. .相应地相应地, ,(1)(1)(2)(2)6 6x
6、yOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减. .如果恒有如果恒有 ，则，则 是是?。常数常数7 7例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）3.证明可导函数证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方内的单调性的方法：法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论2222作业作业:P13: 19 选做选做10再见再见再见再见! !2323
