《高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课件 新人教B版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课件 新人教B版必修4（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3平面向量的数量积平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.知道平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.12341.两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a,b(如图所示),作 =b,则AOB称作向量a与向量b的夹角,记作.(2)范围:0,并且=.(3)当=时,称向量a和向量b互相垂直,记作ab.在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.(4)当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向.【做一做1】在等腰直角三角形ABC中,C=90,则答案:9013512342.向
2、量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如图所示),作 =a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则有al=|a|cos .(2)当为锐角时,al0;当为钝角时,al0;当=0时,al=|a|;当=时,al=-|a|.1234名师点拨名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量;向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量a与轴l所成的角有关,与具体位置无关.【做一做2】已知|p|=2,|q|=3,且p与
3、q的夹角为120,则向量p在q方向上的正射影的数量为;向量q在p方向上的正射影的数量为.解析:向量p在q方向上的正射影的数量为|p|cos =2cos 120=-1.同理,q在p方向上的正射影的数量为|q|cos =3cos 120=.12343.向量的数量积(内积)(1)定义:|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos.(2)理解两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.【做一做3】若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135,则ab等于()答案:B12344.向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是单位向量.(1)ae=ea=|a|c
4、os;(2)ab ab=0,且ab=0ab;(3)aa=|a|2或|a|=;(5)|ab| |a|b|.1234【做一做4-1】若mn0,则m与n的夹角的取值范围是()答案:C【做一做4-2】若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则aa+ab等于()答案:B向量的数量积与实数的乘法的区别剖析(1)若两个实数满足ab=0,则a与b中至少有一个为0.而若向量a,b满足ab=0则可推导出以下四种可能:a=0,b=0;a=0,b0;a0,b=0;a0,b0,但ab.(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混
5、淆.(4)向量线性运算的结果是一个向量,而数量积运算的结果是实数.知识拓展知识拓展1.两个向量a,b的数量积ab是一个数量,当a,b均为非零向量时,这个数量的符号与其夹角的大小有关.当00;当=90时,ab=0;当90180时,ab0;当a,b中至少有一个为0时,ab=0.2.数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量,这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.题型一题型二题型三【例1】已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab;(2)ab
6、;(3)a与b的夹角为60时,分别求a与b的数量积.分析解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算.解:(1)设a,b的夹角为,ab,若a与b同向,则=0,ab=|a|b|cos 0=45=20;若a与b反向,则=180,ab=|a|b|cos 180=45(-1)=-20.(2)设a,b的夹角为,当ab时,=90,故ab=|a|b|cos 90=0.(3)当a与b的夹角为60时,题型一题型二题型三反思反思1.求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角,0180;(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab=|a|b|cos .要特别注意,书写时a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用
7、“”连接,也不能省去.2.非零向量a和b,abab=0.3.非零向量a与b共线ab=|a|b|.题型一题型二题型三【变式训练1】(1)已知向量a和向量b的夹角为30,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积ab=.(2)若|a|=5,|b|=2|a|,且a与b反向共线,则ab=.解析:(1)ab=|a|b|cos=2cos 30=(2)由已知可得|a|=5,|b|=10,=180,于是ab=|a|b|cos=510cos 180=-50.答案:(1)3(2)-50题型一题型二题型三【例2】已知a,b是两个非零向量.(1)若|a|=3,|b|=4,|ab|=6,求a与b的夹角;(2)若|a
8、|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.分析(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思求向量的夹角可应用数量积的变形公式 ,一般要求两个整体ab,|a|b|,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出答案.题型一题型二题型三题型一题型二题型三答案:(1)120(2)45 题型一题型二题型三易错点1:不理解正射影的定义致错【例3】已知|a|=3,|b|=4,且=60,试求a在b方向上正射影的数量.错解:根据正射影的定义可知所求数量为ab,即ab=|a|b|cos 60=6.错因分析把a
9、b错误地理解成了a在b方向上正射影的数量,实际上要使用内积形式必须为ae才表示a在e方向上正射影的数量.题型一题型二题型三【变式训练3】已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a方向上的射影是.解析:b在a方向上的射影是|b|cos=2cos 60=2=1.答案:1题型一题型二题型三题型一题型二题型三答案:-9 1234561.若|a|=3,|b|=2,=30,则ab=()答案:B123456答案:A 123456A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形解析: cos A0,cos A0.角A是钝角.ABC是钝角三角形.答案:C1234564.已知a,b都是单位向量,则下列结论中正确的是()A.ab=1B.a2=b2C.aba=bD.ab=0解析:单位向量是指模长为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A,C,D不正确,而根据数量积的定义知选项B正确.答案:B123456答案:120 123456
