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1、2 2超几何分布超几何分布一般地,设有N件产品,其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定,那么称X服从参数为N,M,n的超几何分布.名名师点点拨1.超几何分布列给出了求解这类问题的方法,可以通过公式直接运用求解,但不能机械地去记忆公式,要在理解的前提下记忆.2.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不同m值时的概率P(X=m),从而列出X的分布列.3.当我们从某个有限集合中,按照不放回抽样的方法等可能地抽取若干个元素时,某类特定的元素(如次品、黑球、正奇数等)被抽到的
2、个数便服从超几何分布,可利用这个结论来判断一个随机变量是否服从超几何分布.4.不服从超几何分布的不放回抽样的概率问题一般转化为古典概型求解.并非所有的不放回抽样都可视作超几何分布. 【做一做】在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为()A.N=15,M=7,n=10B.N=15,M=10,n=7C.N=22,M=10,n=7D.N=22,M=7,n=10解析根据超几何分布概率模型知A正确.答案A判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样. ()(
3、2)只要所研究的事物是由较明显的两部分组成就可以研究合格品的超几何分布.()(3)超几何分布在本质上是事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比.()答案(1)(2)(3)探究一探究二探究三思维辨析【例1】从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试.试求选出的3名同学中,至少有1名女同学的概率.分析由题目可知选出的女同学人数服从参数N=10,M=4,n=3的超几何分布,根据超几何分布概率公式直接求,也可用间接法求解.解设选出的女同学人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=4,n=3的超几何分布,于是选出的3名同学中,至少有1名女同学的概率为探究一探究
4、二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 若随机变量X服从超几何分布,则随机试验和随机变量X必须同时满足以下两个条件:(1)试验是不放回地抽取n次;(2)随机变量X表示抽取到的“次品”件数.探究一探究二探究三思维辨析 变式训练110件产品中有2件次品,任取2件进行检验,求下列事件的概率:(1)至少有1件次品;(2)至多有1件次品.解(1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”.探究一探究二探究三思维辨析【例2】 在一次购物活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张中任取2张,求:(1)该顾客中奖的概率
5、;(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;(3)用表格的形式列出分布列.探究一探究二探究三思维辨析变式式训练 2一个袋中装有3个白球和2个黑球,它们大小、形状、质地都相同,采用无放回的方式从袋中任取3个球,取到黑球的数目用表示,求随机变量的分布列.解可能取的值为0,1,2.由题意知服从超几何分布,探究一探究二探究三思维辨析 【例3】盒中共有9个球,其中有4个红球,
6、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率相关的实际问题,其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型.在套用超几何分布的模型时,将实际背景与超几何分布的模型比较,认清实质,可将问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析,必要时需对题目涉及的内容进行转化.探究一探究二探究三思维辨析变式式训练
7、310件工艺品中,有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,求抽得二等品件数X的分布列.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析因混淆了随机变量的分布类型而致误【典例】 布袋中有除颜色外都相同的5个红球,4个黑球,设从袋中取出一个红球得1分,取出一个黑球得0分,现从袋中随机取出4个球,求所得分数X的分布列.易错分析几何概率模型有很明显的特点,在求解过程中,多注意与其他分布的区别.探究一探究二探究三思维辨析解由题意可知从袋中随意取4个球可能出现的结果分别为:0红4黑,1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红0黑,这五种情况分别得0分,1分,2分,3分,4分,故X可能的取值为0,1,2,3,
8、4,探究一探究二探究三思维辨析纠错心得心得 1.X不服从超几何分布,而取到的红球个数Y服从超几何分布,虽然X,Y可能的取值相同,但意义不同.2.弄清超几何分布的条件与特点,避免弄错随机变量X的分布类型,将不服从超几何分布的随机变量误认为服从超几何分布.探究一探究二探究三思维辨析 变式训练在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.探究一探究二探究三思维辨析12341.下列随机事件的随机变量X服从超几何分布的是()A.将一枚均匀的硬币连抛3次,正面向上的次数XB.从7名男生,3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为XC.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为XD.盒中有除颜色外都相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数答案B51234512345123454.10张奖券中3张有奖,5个人每人购买1张,至少有1人中奖的概率是.12345.一笼子中装有2只白猫,3只黑猫,笼门打开一次只出来1只猫,每次每只猫都有可能出来.(1)求第三次出来的是白猫的概率;(2)记白猫全部出来后笼中所剩黑猫数为,试求的概率分布列.5
