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1、第一课计 数 原 理【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.分类加法计数原理：完成一件事可以有分类加法计数原理：完成一件事可以有n n类办法，在第一类办法中类办法，在第一类办法中有有m m1 1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类类办法中有办法中有m mn n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N=_N=_种不种不同的方法同的方法. .2.2.分步乘法计数原理：完成一件事需要分成分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m m1 1种不同的方
2、法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同种不同的方法，那么完成这件事有的方法，那么完成这件事有N=_N=_种不同的方法种不同的方法. .m m1 1+m+m2 2+m mn nm m1 1mm2 2m mn n3.3.排列数与排列数与组合数公式及性合数公式及性质排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数公式公式排列数公式排列数公式 =n(n-1)=n(n-1)(n-2)(n-2)_=_=_组合数公式组合数公式 =_=_=_=_=_性质性质当当m=nm=n时，时， 为全排列为全排列 = =n n！；！；0 0！
3、=_=_备注备注n n，mNmN* *且且mnmn(n-m+1)(n-m+1)1 14.4.二二项式定理式定理(1)(1)二二项式定理的内容式定理的内容( (a+b)a+b)n n=_.=_.(2)(2)通通项公式：公式： ，k0k0，1 1，2 2，nn，(3)(3)二二项式系数式系数_的性的性质与首末两端等距离的两个二与首末两端等距离的两个二项式系数相等；式系数相等；若若n n为偶数，中偶数，中间一一项( (第第 项) )的二的二项式系数最大；若式系数最大；若n n为奇数，奇数，中中间两两项( (第第 项和第和第 项) )的二的二项式系数相等且最大式系数相等且最大. .【易错提醒易错提醒】
4、1.“1.“分类分类”与与“分步分步”的区别的区别(1)(1)分类就是能分类就是能“一步到位一步到位”任何一类中任何一种方法都能完成任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，简单的说分类的标准是这件事情，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成不重不漏，一步完成”. .(2)(2)分步则只能分步则只能“局部到位局部到位”任何一步中任何一种方法都不能完任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成简单地说步与步之间的方法件事情才完成简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成相互独立
5、，多步完成”. .2.2.正确区分是组合问题还是排列问题，要把排列中的正确区分是组合问题还是排列问题，要把排列中的“定序定序”和和“有有序序”区分开来区分开来3 3正确区分分堆问题和分配问题正确区分分堆问题和分配问题4 4二项式定理的通项公式二项式定理的通项公式 是第是第k+1k+1项，而不是第项，而不是第k k项，项，注意其指数规律注意其指数规律5 5求二项式展开式中的特殊项求二项式展开式中的特殊项( (如：系数最大的项、二项式系数最大如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项)时，要注意时，要注意n n与与k
6、 k的取值范围的取值范围6 6注意区分注意区分“某项的系数某项的系数”与与“某项的二项式系数某项的二项式系数”，展开式中，展开式中“二项式系数的和二项式系数的和”与与“各项系数的和各项系数的和”，“奇奇( (偶偶) )数项系数的和数项系数的和”与与“奇奇( (偶偶) )次项系数的和次项系数的和”. .类型一类型一 两个计数原理两个计数原理【典例典例1 1】(1)(1)方程方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，其中轴上的椭圆，其中m1m1，2 2，3 3，4 4，55，n1n1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，77，那么这样的椭圆的个数是，那么这样的椭圆的个数是_._.(2)(20
7、15(2)(2015宣城高二检测宣城高二检测) )某电视台连续播放某电视台连续播放6 6个广告，其中有个广告，其中有3 3个不个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【解析解析】(1)(1)以以m m的值为标准分类，分为五类的值为标准分类，分为五类第一类：第一类：m=1m=1时，使时，使nmnm，n n
8、有有6 6种选择；种选择；第二类：第二类：m=2m=2时，使时，使nmnm，n n有有5 5种选择；种选择；第三类：第三类：m=3m=3时，使时，使nmnm，n n有有4 4种选择；种选择；第四类：第四类：m=4m=4时，使时，使nmnm，n n有有3 3种选择；种选择；第五类：第五类：m=5m=5时，使时，使nmnm，n n有有2 2种选择种选择所以共有所以共有6+5+4+3+2=206+5+4+3+2=20种方法，种方法，即有即有2020个符合题意的椭圆个符合题意的椭圆答案：答案：2020(2)(2)用用1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类表
9、示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法方法第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2 2，4 4，6.6.分分6 6步完成这件步完成这件事，共有事，共有332211=36332211=36种不同的播放方式种不同的播放方式第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1 1，4 4，6 6，分，分6 6步完成这件步完成这件事，共有事，共有332211=36332211=36种不同的播放方式种不同的播放方式第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1 1，3 3，6 6，同样分，同样分6 6步完成
10、步完成这件事，共有这件事，共有332211=36332211=36种不同的播放方式由分类加法种不同的播放方式由分类加法计数原理得：计数原理得：6 6个广告不同的播放方式有个广告不同的播放方式有36+36+36=10836+36+36=108种种. .【延伸探究延伸探究】若本例若本例(1)(1)中条件中条件“y y轴轴”改为改为“x x轴轴”，试求满足条件，试求满足条件的椭圆的个数的椭圆的个数. .【解析解析】因为方程表示焦点在因为方程表示焦点在x x轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则mn0.mn0.以以m m的取值进行分类的取值进行分类当当m=1m=1时，时，n n值不存在；值不存在；当当m=2m=
11、2时，时，n n可取可取1 1，只有，只有1 1种选择；种选择；当当m=3m=3时，时，n n可取可取1 1，2 2，有，有2 2种选择；种选择；当当m=4m=4时，时，n n可取可取1 1，2 2，3 3，有，有3 3种选择；种选择；当当m=5m=5时，时，n n可取可取1 1，2 2，3 3，4 4，有，有4 4种选择；种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有1010个个【方法技巧方法技巧】1.1.使用两个原理解决问题的思路使用两个原理解决问题的思路(1)(1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的选择使用两个原理解决问
12、题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质. .(2)(2)分类加法计数原理的关键是分类加法计数原理的关键是“类类”，分类时，首先要根据问题的，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法属于不同类的两种方法是不同的方法. .(3)(3)分分步步乘乘法法计
13、数数原原理理的的关关键是是“步步”，分分步步时首首先先要要根根据据问题的的特特点点确确定定一一个个分分步步的的标准准；其其次次，分分步步时还要要注注意意满足足完完成成一一件件事事必必须并并且且只只有有连续完完成成这n n个个步步骤后后，这件件事事才才算算完完成成，只只有有满足足了了上上述述条条件，才能用分步乘法件，才能用分步乘法计数原理数原理. .2.2.使用两个原理解决使用两个原理解决问题时应注意的注意的问题对于于一一些些比比较复复杂的的既既要要运运用用分分类加加法法计数数原原理理又又要要运运用用分分步步乘乘法法计数数原原理理的的问题，我我们可可以以恰恰当当地地画画出出示示意意图或或列列出出
14、表表格格，使使问题更更加加直直观、清晰、清晰. .【变式训练变式训练】(2015(2015四川高考四川高考) )用数字用数字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5组成没有重组成没有重复数字的五位数，其中比复数字的五位数，其中比40 00040 000大的偶数共有大的偶数共有( )( )A.144A.144个个 B.120B.120个个 C.96C.96个个 D.72D.72个个【解题指南解题指南】注意分类讨论，结合首位分别为注意分类讨论，结合首位分别为4 4，5 5，末位分别为，末位分别为0 0，2 2，4 4求解求解. .【解析解析】选选B.B.首位为首位为5 5，末位为，末位为0
15、0：432=24(432=24(个个) )；首位为首位为5 5，末位为，末位为2 2：432=24(432=24(个个) )；首位为首位为5 5，末位为，末位为4 4：432=24(432=24(个个) )；首位为首位为4 4，末位为，末位为0 0：432=24(432=24(个个) )；首位为首位为4 4，末位为，末位为2 2：432=24(432=24(个个).).共共245=120(245=120(个个).).【补偿训练补偿训练】在某种信息传输过程中，用在某种信息传输过程中，用4 4个数字的一个排列个数字的一个排列( (数字允数字允许重复许重复) )表示一个信息，不同排列表示不同信息表示
16、一个信息，不同排列表示不同信息. .若所用数字只有若所用数字只有0 0和和1 1，则与信息，则与信息0 1100 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )( )A.10 B.11 A.10 B.11 C.12 C.12 D.15 D.15【解析解析】选选B.B.方法一：分方法一：分0 0个相同、个相同、1 1个相同、个相同、2 2个相同讨论个相同讨论. .(1)(1)若若0 0个相同，则信息为：个相同，则信息为：1 001.1 001.共共1 1个个(2)(2)若若1 1个相同，则信息为：个相同，则信息为：0 0010 001，1 101
17、1 101，1 0111 011，1 000.1 000.共共4 4个个(3)(3)若若2 2个相同，又分为以下情况：个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为：若位置一与二相同，则信息为：0 1010 101；若位置一与三相同，则信息为：若位置一与三相同，则信息为：0 0110 011；若位置一与四相同，则信息为：若位置一与四相同，则信息为：0 0000 000；若位置二与三相同，则信息为：若位置二与三相同，则信息为：1 1111 111；若位置二与四相同，则信息为：若位置二与四相同，则信息为：1 1001 100；若位置三与四相同，则信息为：若位置三与四相同，则信息为：1 010.
18、1 010.共有共有6 6个个故与信息故与信息0 1100 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.1+4+6=11.方法二：若方法二：若0 0个相同，共有个相同，共有1 1个；个；若若1 1个相同，共有个相同，共有 =4(=4(个个) )；若若2 2个相同，共有个相同，共有 =6( =6(个个) )故共有故共有1+4+6=11(1+4+6=11(个个).).类型二类型二 排列与组合的综合应用排列与组合的综合应用【典例典例2 2】(1)3(1)3位男生和位男生和3 3位女生共位女生共6 6位同学站成一排，若男生甲不站位同学站成
19、一排，若男生甲不站两端，两端，3 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )( )A A360 B360 B288 288 C C216 216 D D9696(2)(2015(2)(2015济南南高高二二检测) )航航天天员拟在在太太空空授授课，准准备进行行标号号为0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的六六项实验，向向全全世世界界人人民民普普及及太太空空知知识，其其中中0 0号号实验不不能能放放在在第第一一项，最最后后一一项的的标号号小小于于它它前前面面相相邻一一项的的标号号，则实验顺序的序的编排方法种数排方法种数为_
20、(_(用数字作答用数字作答) )(3)(2015(3)(2015宜宜春春高高二二检测) ) 用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5这六六个个数数字字组成成无无重重复复数数字字的的五五位位数数. .试分分别求求出出符符合合下下列列条条件件的的五五位位数数的的个个数数( (最最后后结果果用数字表达用数字表达) )：总的个数；的个数；奇数；奇数；能被能被6 6整除的数整除的数. .【解析解析】(1)(1)选选B.3B.3位男生排成一排有位男生排成一排有 种排法，种排法，3 3名女生分成两组名女生分成两组. .其中其中2 2名排好看成一个整体有名排好看成一个整体有 种排法，这两组女生插空到
21、种排法，这两组女生插空到3 3名男名男生中有生中有 种插法，于是种插法，于是6 6位同学排成一排且位同学排成一排且3 3位女生中有且只有两位位女生中有且只有两位女生相邻的排法有女生相邻的排法有 =432=432种种其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有 种，两组女生种，两组女生插到插到2 2名男生中有名男生中有 种插法种插法. .于是男生甲在排头或排尾，于是男生甲在排头或排尾，3 3位女生中有位女生中有且只有两位女生相邻的排法有且只有两位女生相邻的排法有 =144=144种种所以满足条件的排法共所以满足条件的排法共432-144=288(432
22、-144=288(种种).).(2)(2)由于由于0 0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5 5种选择种选择. .因为最因为最后两项实验的顺序确定，所以共有后两项实验的顺序确定，所以共有 =300=300种不同的编排方法种不同的编排方法. .答案：答案：300300(3)(3)根据题意，根据题意，0 0不能在首位即万位，则万位有不能在首位即万位，则万位有5 5种选法，剩余的种选法，剩余的4 4位位没有限制，在剩下没有限制，在剩下5 5个数字中任选个数字中任选4 4个，进行全排列，即有个，进行全排列，即有 种选法，种选法，共有共有5120=6005120
23、=600个五位数个五位数. .先先排排个个位位，因因为为要要求求是是奇奇数数，则则有有3 3种种选选法法，再再分分析析万万位位，除除去去已已排排在在个个位位的的数数和和0 0，还还有有4 4个个数数字字可可选选，有有4 4种种选选法法，最最后后排排中中间间3 3位位，在在剩剩下下4 4个个数数字字中中任任选选3 3个个，进进行行全全排排列列，即即有有 =24=24种种选选法法，则则共共有有3 34 424=28824=288个奇数个奇数. . 能被能被6 6整除的数必须是偶数且各个数字之和为整除的数必须是偶数且各个数字之和为3 3的倍数，分的倍数，分2 2种情况种情况讨论，讨论，末位为末位为0
24、 0，其余的，其余的4 4个数字必是个数字必是1 1，2 2，4 4，5 5，进行全排列即可，进行全排列即可，有有 =24=24种情况，种情况，末位为末位为2 2或或4 4，若，若0 0不在五位数中，则有不在五位数中，则有2 =482 =48个五位数，个五位数，若若0 0在五位数中，则有在五位数中，则有2 =362 =36个五位数，个五位数，此时共有此时共有48+36=8448+36=84个五位数，个五位数，综上可得，共有综上可得，共有24+84=10824+84=108个五位数个五位数. .【方法技巧方法技巧】1.1.处理排列组合应用题的一般步骤处理排列组合应用题的一般步骤(1)(1)认真审
25、题，弄清楚是排列认真审题，弄清楚是排列( (有序有序) )还是组合还是组合( (无序无序) )，还是排列与组，还是排列与组合混合问题合混合问题. .(2)(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类分类与分步与分步”. .2.2.处理排列组合应用题的规律处理排列组合应用题的规律(1)(1)两种思路：直接法，间接法两种思路：直接法，间接法. .(2)(2)两种途径：元素分析法，位置分析法两种途径：元素分析法，位置分析法3.3.排列排列组合合应用用题的常的常见类型和解决方法型和解决方法(1)(1)特殊元素、特殊位置特殊元素、特殊位
26、置优先安排的策略先安排的策略. .(2)(2)合理分合理分类与准确分步的策略与准确分步的策略. .(3)(3)正正难则反，等价反，等价转化的策略化的策略. .(4)(4)相相邻问题捆捆绑法，不相法，不相邻问题插空法的策略插空法的策略. .(5)(5)元素定序，先排后除的策略元素定序，先排后除的策略. .(6)(6)排列、排列、组合混合合混合题先先选后排策略后排策略. .(7)(7)复复杂问题构造模型策略构造模型策略. .【拓展延伸拓展延伸】解排列组合问题的顺口溜解排列组合问题的顺口溜审明题意，排审明题意，排( (组组) )分清；合理分类，用准加乘；分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；
27、直接间接，思路可循；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪. .【变式训练变式训练】(1)(2015(1)(2015福州高二检测福州高二检测) )我国第一艘航母我国第一艘航母“辽宁舰辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有在某次舰载机起降飞行训练中，有5 5架飞机准备着舰如果甲、乙两架飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有有( )( )A A1212种种 B B1818种种 C C2424种种 D D4848种种
28、【解析解析】选选C.C.把甲、乙看作把甲、乙看作1 1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有 种方法，再把丙、丁插入到刚才种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个两个”元素排列产生的元素排列产生的3 3个个空位中，有空位中，有 种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为(2)(2015(2)(2015佛佛山山高高二二检测)3)3名名教教师与与4 4名名学学生生排排成成一一横横排排照照相相，求求3 3名名教教师必必须排排在在一一起起的的不不同同排排法法有有多多少少种种？3 3名名教教师必必须在在中中间( (在在3 3，4 4，
29、5 5位位置置上上) )的的不不同同排排法法有有多多少少种种？3 3名名教教师不不能能相相邻的的不不同同排排法有多少种？法有多少种？【解析解析】33名教师的排法有名教师的排法有 ，把，把3 3名教师作为一个整体与名教师作为一个整体与4 4个学生个学生共共5 5个元素的全排列共有个元素的全排列共有 种，则共有种，则共有 =720( =720(种种).).33名教师的排法有名教师的排法有 ，4 4个学生在个学生在4 4个位子上的全排列共有个位子上的全排列共有 种，种，则共有则共有 =144(=144(种种).).先先4 4个学生全排列，再在五个空位中任选个学生全排列，再在五个空位中任选3 3个排个
30、排3 3名教师，共名教师，共 =1 440( =1 440(种种).).【补偿训练补偿训练】(1)(1)将将1818个参加青少年科技创新大赛的名额分配给个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3 3个学个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为分配方法种数为( )( )A A9696 B B114114 C C128 D128 D136136【解析解析】选选B.B.若某一学校的最少人数是若某一学校的最少人数是1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，则各有，则各有7 7，5 5，4 4，2 2，1 1种不
31、同的分组方案故不同的分配方法种数是种不同的分组方案故不同的分配方法种数是(7+5+4+(7+5+4+2+1) =196=114.2+1) =196=114.(2)(2)两人进行乒乓球比赛，先赢两人进行乒乓球比赛，先赢3 3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形出现的情形( (各人输赢局次的不同视为不同情形各人输赢局次的不同视为不同情形) )共有共有( )( )A A1010种种 B B1515种种 C C2020种种 D D3030种种【解析解析】选选C.C.由题意知比赛场数至少为由题意知比赛场数至少为3 3场，至多为场，至多为5 5场当为场当为3 3场
32、时，场时，情况为甲或乙连赢情况为甲或乙连赢3 3场，共场，共2 2种当为种当为4 4场时，若甲赢，则前场时，若甲赢，则前3 3场中甲赢场中甲赢2 2场，最后一场甲赢，共有场，最后一场甲赢，共有 =3(=3(种种) )情况；同理，若乙赢也有情况；同理，若乙赢也有3 3种情况种情况共有共有6 6种情况当为种情况当为5 5场时，前场时，前4 4场，甲、乙各赢场，甲、乙各赢2 2场，最后场，最后1 1场胜出的人场胜出的人赢，共有赢，共有 =12( =12(种种) )情况由上综合知，共有情况由上综合知，共有2020种情况种情况. .类型三类型三 二项式定理的应用二项式定理的应用【典例典例3 3】(1)(
33、2015(1)(2015湖南高考湖南高考) )已知已知 的展开式中含的展开式中含 的的项的系数为项的系数为3030，则，则a=( )a=( )A. B.- A. B.- C.6 C.6 D.-6D.-6(2)(2015(2)(2015厦门高二检测厦门高二检测) )已知二项式已知二项式 展开式中各项系数之展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的和是各项二项式系数之和的1616倍倍. .求求n n；求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中所有求展开式中所有x x的有理项的有理项. .【解析解析】(1)(1)选选D D ，令，令得得r=1r=1，可得，可得-5a=30
34、-5a=30，得，得a=-6a=-6(2)(2)令令x=1x=1得二项式得二项式 展开式中各项系数之和为展开式中各项系数之和为(5-1)(5-1)n n=4=4n n，各，各项二项式系数之和为项二项式系数之和为2 2n n，由题意得，由题意得，4 4n n=162=162n n，所以，所以2 2n n=16=16，n=4.n=4.通项通项展开式中二项式系数最大的项是第展开式中二项式系数最大的项是第3 3项：项：由由得：得：4- 4- rZ.(rrZ.(r=0=0，1 1，2 2，3 3，4)4)，即，即r=0r=0，2 2，4 4，所以展开，所以展开式中所有式中所有x x的有理项为的有理项为【
35、方法技巧方法技巧】1.1.明确二项展开式通项公式的作用明确二项展开式通项公式的作用通项公式通项公式 (r=0 (r=0，1 1，2 2，n)n)集中体现了二项展开式中集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项某些特定项( (如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等的项等) )及其系数等方面有着广泛的应用及其系数等方面有着广泛的应用. .2.2.应用二用二项式定理解式定理解题要注意的要注意的问题(1)(1)通通项公式表示的是第
36、公式表示的是第“r+1”r+1”项，而不是第，而不是第“r”r”项. .(2)(2)展开式中第展开式中第r+1r+1项的二的二项式系数式系数 与第与第r+1r+1项的系数，在一般情况的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各下是不相同的，在具体求各项的系数的系数时，一般先，一般先处理符号，理符号，对根式和根式和指数的运算要指数的运算要细心，以防出差心，以防出差错. .(3)(3)它表示二它表示二项展开式中的任意展开式中的任意项，只要，只要n n与与r r确定，确定，该项也随之确定也随之确定. .对于一个具体的二于一个具体的二项式，它的展开式中的式，它的展开式中的项T Tr+1r+1依依赖于于r
37、.r.(4)(a+b)(4)(a+b)n n展开式的第展开式的第r+1r+1项项 和和( (b+a)b+a)n n的展开式的第的展开式的第r+1r+1项项 是有区别的，应用二项式定理时，其中的是有区别的，应用二项式定理时，其中的a a和和b b是不能随便交是不能随便交换的换的. .(5)(5)通项公式是在通项公式是在( (a+b)a+b)n n这个标准形式下而言的，而这个标准形式下而言的，而(a-(a-b)b)n n的二项展的二项展开式的通项公式是开式的通项公式是 ( (只需把只需把-b-b看成看成b b代入二项式定代入二项式定理理) )，这与，这与 是不同的，在这里，对应项的二项式系数是是不
38、同的，在这里，对应项的二项式系数是相等的，都是相等的，都是 ，但项的系数一个是，但项的系数一个是(-1)(-1)r r ，一个是，一个是 ，可看出，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念二项式系数与项的系数是不同的概念【变式训练变式训练】(2015(2015达州高二检测达州高二检测) )已知已知f(xf(x)= )= 展开式中展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大各项的系数和比各项的二项式系数和大992.992.(1)(1)求展开式中二项式系数最大的项求展开式中二项式系数最大的项. .(2)(2)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项. .【解析解析】(1)(1)令令x=1x=1，得
39、二项展开式各项系数和为，得二项展开式各项系数和为f(1)=(1+3)f(1)=(1+3)n n=4=4n n，由，由题意得：题意得：4 4n n-2-2n n=992=992，(2(2n n) )2 2-2-2n n-992=0-992=0， 所以所以(2(2n n+31)(2+31)(2n n-32)=0-32)=0，解得，解得n=5n=5，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是：所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是：(2)(2)展开式通项公式为展开式通项公式为假设假设T Tr+1r+1项系数最大，则有：项系数最大，则有：解得：解得： 又因为又因为r=0r=0， 1 1，5
40、 5，所以所以r=4r=4，所以展开式中系数最大项为，所以展开式中系数最大项为【补偿训练补偿训练】 展开式的第展开式的第7 7项与倒数第项与倒数第7 7项的比是项的比是1616，求，求展开式中的第展开式中的第7 7项项. .【解析解析】第第7 7项：项：倒数第倒数第7 7项：项：由由 所以所以n=9n=9，则则类型四类型四 二项式定理中的二项式定理中的“赋值赋值”问题问题【典例典例4 4】(1)(2015(1)(2015孝感高二检测孝感高二检测) )若若(x(x2 2+1)(x-3)+1)(x-3)9 9=a=a0 0+a+a1 1(x-2)+(x-2)+a a2 2(x-2)(x-2)2 2
41、+a+a3 3(x-2)(x-2)3 3+a+a1111(x-2)(x-2)1111，则，则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111的值为的值为_._.(2)(2)设设(2- x)(2- x)100100=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a100100x x100100，求下列各式的值，求下列各式的值. .aa0 0. .aa1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a100100. .aa1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999. .(a(a0 0+a+a2 2+a+a100100) )2 2-(a-(a1 1+a+a3 3
42、+a+a9999) )2 2. .|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a100100|.|.【解析解析】(1)(1)令令x=2x=2得得a a0 0=(2=(22 2+1)(2-3)+1)(2-3)9 9=-5=-5，令令x=3x=3得，则得，则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111=(3=(32 2+1)(3-3)+1)(3-3)9 9=0=0，所以所以a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111=-a=-a0 0=5.=5.答案：答案：5 5(2)(2)令令x=0x=0，则展开式为，则展开式为a a0 0=2100.=2100.令令
43、x=1x=1，可得，可得a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a100100=(2- )=(2- )100100，(*)(*)所以所以a a1 1+a+a2 2+ +a+a100100=(2- )=(2- )100100-2-2100100. .令令x=-1x=-1，可得，可得a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+ +a+a100100=(2+ )=(2+ )100100. .与与中中(*)(*)式联立相式联立相减得减得原式原式= =(a(a0 0+a+a2 2+a+a100100)+(a)+(a1 1+a+a3 3+a+a9999) )(a(a0 0+a+a2
44、2+a+a100100)-)-(a(a1 1+a+a3 3+a+a9999) )=(a=(a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a100100)(a)(a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a9898-a-a9999+a+a100100)=)=(2- )(2- )(2+ )(2+ )100100=1=1100100=1.=1.因为因为T Tr+1r+1所以所以a a2k-12k-10(kN0(kN* *).).所以所以|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a100100| |=a=a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a
45、100100=(2+ )=(2+ )100100. .【方法技巧方法技巧】赋值法的法的应用用规律律与二与二项式系数有关，包括求展开式中二式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的式系数最大的项、各、各项的二的二项式系数或系数的和、奇数式系数或系数的和、奇数项或者偶数或者偶数项的二的二项式系数或系数的和以式系数或系数的和以及各及各项系数的系数的绝对值的和，主要方法是的和，主要方法是赋值法，通法，通过观察展开式右察展开式右边的的结构特点和所求式子的关系，确定构特点和所求式子的关系，确定给字母所字母所赋的的值，有，有时赋值后得后得到的式子比所求式子多一到的式子比所求式子多一项或少一或少一项，此，此时
46、要要专门求出求出这一一项，而在，而在求奇数求奇数项或者偶数或者偶数项的二的二项式系数或系数的和式系数或系数的和时，往往要两次，往往要两次赋值，再由方程再由方程组求出求出结果果. . 提醒：求各提醒：求各项系数的系数的绝对值的和的和时，要先根据，要先根据绝对值里面数的符号里面数的符号赋值求解求解. .【变式训练变式训练】(1)(1)已知已知(1+x)+(1+x)(1+x)+(1+x)2 2+(1+x)+(1+x)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a an nx xn n. .若若a a1 1+a+a2 2+a+an-1n-1=29-n=29-n，那么自然数，那么自
47、然数n n的值为的值为( )( )A.6 B.5 A.6 B.5 C.4 C.4 D.3D.3【解析解析】选选C.C.令令x=1x=1得：得：a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+an n=2+2=2+22 2+2+2n n= =又又a a0 0=n=n，a an n=1=1，所以所以a a1 1+a+a2 2+a+an-1n-1=2=2n+1n+1-3-n=29-n-3-n=29-n，得，得n=4.n=4.(2)(2)若若(1+x+x(1+x+x2 2) )6 6=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a1212x x1212，则a a2 2+a+a4 4+a
48、+a1212=_.=_.【解析解析】令令x=1x=1，则，则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a1212=3=36 6，令令x=-1x=-1，则，则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a1212=1=1，所以所以a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a1212= =令令x=0x=0，则，则a a0 0=1=1，所以所以a a2 2+a+a4 4+a+a1212= =364.= =364.答案：答案：364364【补偿训练补偿训练】(1) (2014(1) (2014合肥质检合肥质检) )若若(x+2+m)(x+2+m)9 9=a=a0 0+a+a1
49、1(x+1)+(x+1)+a a2 2(x+1)(x+1)2 2+a+a9 9(x+1)(x+1)9 9，且，且(a(a0 0+a+a2 2+a+a8 8) )2 2-(a-(a1 1+a+a3 3+a+a9 9) )2 2=3=39 9，则实数，则实数m m的值为的值为( )( )A.1A.1或或-3 B.-1-3 B.-1或或3 3C.1 D.-3C.1 D.-3【解析解析】选选A.A.令令x=0x=0，得到，得到a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a9 9=(2+m)=(2+m)9 9，令，令x=-2x=-2，得到，得到a a0 0- -a a1 1+a+a2 2-a-a3 3
50、+-a+-a9 9=m=m9 9，所以有，所以有(2+m)(2+m)9 9m m9 9=3=39 9，即，即m m2 2+2m=3+2m=3，解得，解得m=1m=1或或-3.-3.(2)(2014(2)(2014厦门高二检测厦门高二检测) )若若 . .且且(3+x)(3+x)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+an nx xn n，则，则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-+(-1)-+(-1)n na an n=_.=_.【解析解析】因为因为所以所以n=6n=6，令令x=-1x=-1，则，则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-+(-1)-+(-1)n na an n=(3-1)=(3-1)6 6=64.=64.答案：答案：6464
