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1、静静1内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用公式公式:2应用应用:(1) 计算曲面积分计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 可推出闭曲面积分为零的充要条件可推出闭曲面积分为零的充要条件: 与曲面无关的充要条件与曲面无关的充要条件（只与边界线有关）（只与边界线有关）即即(略略)。32. 通量与散度通量与散度 设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶连内有一阶连续续偏导数偏导数, 为为则则向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量的通量(流量流量) G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 4三、环流量与旋度三、环流量与
2、旋度 11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件(简介简介)四、向量微分算子四、向量微分算子(简介简介) 第十一章第十一章 5一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式) 在内的一在内的一个空间个空间 的的侧与侧与 的正向符合右手法则的正向符合右手法则, 在包含在包含域内具有连续一阶偏导数域内具有连续一阶偏导数, 则有则有6注意注意: 如果如果 是是 xoy 面上的一块平面区域面上的一块平面区域, 则斯
3、则斯故格林公式是斯托故格林公式是斯托另要注意另要注意P, Q, R的搭配的搭配, 及公式的记忆及公式的记忆!托克斯托克斯公式就是格林公式公式就是格林公式克斯公式的特例克斯公式的特例.7为便于记忆为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:(切记此两类情况下的斯托克斯公式切记此两类情况下的斯托克斯公式)8例例1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分其中其中 为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形被三坐标面所截三角形解解: 记三角形域为记三角形域为 , 取上侧取上侧, 则则的整个的整个边界边界, 方向如图所
4、示方向如图所示. 9例例1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分其中其中 为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形被三坐标面所截三角形另解另解: 记三角形域为记三角形域为 , 取上侧取上侧, 则则的整个的整个边界边界, 方向如图所示方向如图所示. 10截立方体截立方体 (x,y,z )|0x,y,z1的的截痕的边界截痕的边界.解解: 设设 为平面为平面 x+y+z = 1.5其中其中 为平面为平面例例2.计算计算从从x轴正向看为逆轴正向看为逆时针方向时针方向.的上侧被的上侧被 所围的部分所围的部分 ,11利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得则其法线的方向余弦则其
5、法线的方向余弦12例例3. 与平面与平面 y = z 的交线的交线 ,方向方向为从为从z轴正向看为顺时针。轴正向看为顺时针。解解: 设设 为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域, 且取下且取下则其法线则其法线 n =(0,1,-1)方向余弦方向余弦侧侧,计算积分计算积分 为柱面为柱面其中其中13利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得14例例4.(P247 11)求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, 其中其中 为平面为平面 x + y + z = 1 被三个坐被三个坐解：解：从从z 轴正向看去轴正向看去标面所截成三标面所截成三角形的整个边界角形的整个边界,设三角形
6、区域为设三角形区域为 , 方向向上方向向上,则则沿顺时针方向沿顺时针方向.15何来何来?16*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件(介绍介绍 )定理定理2. 设设 G 是空间一维单连通域是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 则下列五则下列五 个条件个条件(1) 对对G内任一分段光滑闭曲线内任一分段光滑闭曲线 , 有有(2) 对对G内任一分段光滑曲线内任一分段光滑曲线 , 与路径无关与路径无关函数函数P, Q, R, 在域在域G内内相互等价相互等价:17(3) 在在G内存在某一函数内存在某一函数 u, 使使(4) 在在G内处处有内处处有且且(用
7、行列式记用行列式记)18(4)即即在在G内处处有内处处有(5) 在在G内，力内，力为保守力为保守力.19与路径无关与路径无关, 并求并求解解: 令令例例3*. 验证积分验证积分的原函数的原函数yxzxyz=1,=1,=1. 积分与路径无关；积分与路径无关；20因此因此21简单情况下求原函数可按下列方法简单情况下求原函数可按下列方法所以所以22令令 , 引进一个向量引进一个向量记作记作向量向量rot A 称为向量场称为向量场A的的称为向量场称为向量场A定义定义: 沿有向沿有向旋度旋度 .三、环流量与旋度三、环流量与旋度闭曲线闭曲线 的环流量的环流量.23点点 M 的线速度为的线速度为(此即此即“
8、旋度旋度”一词的来源一词的来源)25(切记此两类情况下的斯托克斯公式切记此两类情况下的斯托克斯公式)内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式26场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设设梯度梯度:散度散度:旋度旋度:则则 向向量量微微分分算算子子27称为称为Nabla算子或哈密顿算子或哈密顿(Hamilton)算子算子28思考与练习思考与练习则则提示提示:习题习题11-7 6 (P245) 事实上只需要事实上只需要r具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,29作业作业P2452 (1),(3),(4) ; 3(1),(3) ; 4(1); 5 (2) ; 作业作业P246 总习题十一3 (2) , (4) ; 4 (2) 530
