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1、第第3节等比数列及其前节等比数列及其前n项和项和.理理解解等等比比数数列列的的概概念念.掌掌握握等等比比数数列列的的通通项项公公式式与与前前n项项和和公公式式.能能在在具具体体的的问问题题情情境境中中识识别别数数列列的的等等比比关关系系，并并能能用用有有关关知知识识解解决决相相应应的的问问题题.了了解解等等比比数数列列与与指数函数的关系指数函数的关系. 整合主干知识1等比数列的定义等比数列的定义如如果果一一个个数数列列_ _，那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列，这这个个常数叫做等比数列的常数叫做等比数列的_，通常用字母，通常用字母_表示表示2等比数列的通项公式等比数列的通项公式设
2、设等等比比数数列列an的的首首项项为为a1，公公比比为为q，则则它它的的通通项项an_.从第从第2项起，每一项与它的前一项的比项起，每一项与它的前一项的比公比公比a1qn1等于同一常数等于同一常数(不为零不为零)q3等比中项等比中项若若_，那么，那么G叫做叫做a与与b的等比中项的等比中项质疑探究：质疑探究：b2ac是是a、b、c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？提提示示：必必要要而而不不充充分分条条件件，因因为为b2ac时时，不不一一定定有有a、b、c成成等等比比数数列列(如如a0，b0，c1)，而而a、b、c成成等等比比数数列列，则必有则必有b2ac.G2ab(ab0)4等比数列的
3、常用性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若若an为为等等比比数数列列，且且klmn (k，l，m，nN*)，则则_.qnmakalaman6等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质公公比比不不为为1的的等等比比数数列列an的的前前n项项和和为为Sn，则则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为仍成等比数列，其公比为U_.qn1给出下列命题：给出下列命题：满满足足an1qan(nN*，q为为常常数数)的的数数列列an为为等等比比数数列列数数列列an是是公公比比q1的的等等比比数数列列，则则nan是是等等比比数数列列如如果果an为
4、为等等比比数数列列，bna2n1a2n，则则数数列列bn也也是是等等比比数数列列如果数列如果数列an为等比数列，则数列为等比数列，则数列ln an是等差数列是等差数列其中错误的命题是其中错误的命题是()ABC D解析：解析：错误错误q0时时an不是等比数列不是等比数列错错误误. 若若an是是公公比比q1的的等等比比数数列列，则则nan不不是是等等比比数列数列错误如数列错误如数列1，1,1，1，.错误数列错误数列an中可能有小于零的项故选中可能有小于零的项故选D.答案：答案：D答案：答案：D 3已已知知an为为等等比比数数列列，a4a72，a5a68，则则a1a10等于等于()A7 B5C5 D
5、7答案：答案：D4(2015扬扬州州中中学学期期中中)设设等等比比数数列列an的的各各项项均均为为正正数数，其前其前n项和为项和为Sn，若，若a11，a34，Sk63，则，则k_.答案：答案：6 5(2013北北京京)若若等等比比数数列列an满满足足a2a420，a3a540，则公比，则公比q_；前；前n项和项和Sn_.答案：答案：22n12 聚集热点题型等比数列基本量的计算思路点拨思路点拨建立关于建立关于a1和和q的方程的方程(组组)求所需要的量求所需要的量答案答案(1)C(2)8 名名师师讲讲坛坛(1)等等比比数数列列的的通通项项公公式式及及前前n项项和和公公式式，共共涉涉及及五五个个量量
6、a1，an，q，n，Sn，知知其其中中三三个个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 (2)数数列列的的通通项项公公式式和和前前n项项和和公公式式在在解解题题中中起起到到变变量量代代换换作作用用，而而a1和和q是是等等比比数数列列的的两两个个基基本本量量，用用它它们们表表示示已已知和未知是常用方法知和未知是常用方法变式训练变式训练1(1)(2014大大纲纲版版高高考考全全国国卷卷)设设等等比比数数列列an的的前前n项项和和为为Sn.若若S23，S415，则，则S6()A31 B32C63 D64(2)(2015辽辽宁宁鞍鞍山山质质检检)数数列列an
7、的的前前n项项之之和和为为Sn，Sn1an，则，则an_.等比数列的判定或证明(4)前前n项项和和公公式式法法：若若数数列列an的的前前n项项和和Snkqnk(k为为常数且常数且k0，q0,1)，则，则an是等比数列是等比数列提提醒醒：(1)前前两两种种方方法法是是判判定定等等比比数数列列的的常常用用方方法法，常常用用于于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若若要要判判定定一一个个数数列列不不是是等等比比数数列列，则则只只需需判判定定存存在在连连续续三项不成等比数列即可三项不成等比数列即可典典例例赏赏析析3 (1)(2015辽辽
8、宁宁沈沈阳阳一一模模)已已知知各各项项不不为为0的的等等差差数数列列an满满足足2a2a2a120，数数列列bn是是等等比比数数列列，且且b7a7，则，则b3b11等于等于()A16 B8C4 D2等比数列的性质及应用(2)(2015南南昌昌模模拟拟)在在各各项项均均为为正正数数的的等等比比数数列列an中中，(a1a3)(a5a7)4a，则下列结论中正确的是，则下列结论中正确的是()A数列数列an是递增数列是递增数列B数列数列an是递减数列是递减数列C数列数列an是常数列是常数列D数列数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列有可能是递增数列也有可能是递减数列(3)(2015昆昆明明模模拟拟)
9、各各项项均均为为正正数数的的等等比比数数列列an的的前前n项项和为和为Sn，若，若Sn2，S3n14，则，则S4n等于等于()A80 B30C26 D16由由(x2)22(14x)，解得，解得x6或或x4(舍去舍去)所所以以S2n6，Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是是首首项项为为2，公公比比为为2的的等等比比数数列列又又因因为为S3n14，所所以以S4n30. 故故选选B.答案答案(1)A(2)C(3)B 名师讲坛名师讲坛等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：题型题型求解策略求解策略求基本量的求基本量的值值在解决等比数列的有关问题时，利
10、用性质在解决等比数列的有关问题时，利用性质“若若mnpq，则，则amanapaq”，可以减少运算量，提高，可以减少运算量，提高解题速度要注意性质成立的前提条件，有时需要解题速度要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用运用确定单调性确定单调性利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判断单调性断单调性求最大求最大(小小)值或比较大值或比较大小小根据题目条件，认真分析，确定首项与公比，发现根据题目条件，认真分析，确定首项与公比，发现具体的变化特征，利用等比数列的单调性或基本
11、不具体的变化特征，利用等比数列的单调性或基本不等式求解等式求解.答案：答案：e备课札记_提升学科素养(理理)等差、等比数列综合问题的规范答题等差、等比数列综合问题的规范答题 (注：对应文数热点突破之二十六注：对应文数热点突破之二十六)(本本题题满满分分12分分)(2013高高考考全全国国新新课课标标)已已知知等等差差数数列列an的公差不为零，的公差不为零，a125，且，且a1，a11，a13成等比数列成等比数列(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)求求a1a4a7a3n2.审审题题视视角角(1)先先设设出出公公差差d，根根据据已已知知条条件件求求出出公公差差，可可得得出出通通项项公公式式
12、；(2)所所求求的的和和构构成成了了一一个个新新的的数数列列，求求出出该该数数列的首项和公差，运用数列的前列的首项和公差，运用数列的前n项和公式求解项和公式求解答答题题模模板板第第1步步依依等等差差数数列列设设未未知知量量，依依等等比比数数列列建建立等式关系立等式关系第第2步求步求d，求通项，求通项第第3步判断步判断a3n2为等差数列为等差数列第第4步依据公式求和步依据公式求和温温馨馨提提醒醒本本题题求求等等差差数数列列an，就就设设等等差差数数列列中中的的未未知量，用等比数列建立关于知量，用等比数列建立关于d的方程，分清两个使用层次的方程，分清两个使用层次在在第第二二问问中中，必必须须指指明明数数列列a1，a4，a7，a3n2所所具具有的特点有的特点1一个推导一个推导利用错位相减法推导等比数列的前利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式项和公式2两个防范两个防范(1)由由an1qan(q0)，并并不不能能立立即即断断言言an为为等等比比数数列列，还要验证还要验证a10.(2)运运用用等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式式时时，必必须须注注意意对对q1与与q1分类讨论，防止忽略分类讨论，防止忽略q1这一特殊情形这一特殊情形
