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1、定积分基本定理定积分基本定理4.2.1 4.2.1 4.2.1 4.2.1 变上限定积分变上限定积分变上限定积分变上限定积分如果如果 x 是区间是区间 a, b 上任意一点，定积分上任意一点，定积分表表示示曲曲线线 y = f (x) 在在部部分分区区间间 a, x 上上曲曲边边梯梯形形AaxC 的面积，的面积，如如图图中中阴阴影影部部分分所所示示的的面面积积. 当当 x 在在区间区间 a, b 上变化时上变化时,阴阴影影部部分分的的曲曲边边梯梯形形面面积也随之变化，积也随之变化， 所所以以变变上限定积分上限定积分yxy = f (x)axbOACB是上限变量是上限变量 x 的函数的函数.记作
2、记作 F (x)，即即F(x)*补充例补充例 解解例例2 2求求解解 当当时时, ,原式为原式为型不定式型不定式, ,可用洛必达法则求可用洛必达法则求得得4.2.2 4.2.2 4.2.2 4.2.2 微积分的基本公式微积分的基本公式微积分的基本公式微积分的基本公式定理定理 如果函数如果函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续上连续，F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 a, b 上任一原函数上任一原函数， 那么那么为了今后使用该公式方便起见，把为了今后使用该公式方便起见，把 上上 式右端的式右端的这样这样 上面公式就写成如下形式：上面公式就写成如下形式：“NewtonLeibni
3、z“NewtonLeibniz公式公式”例例 3 计算下列定积分计算下列定积分. 解解4.2.3 4.2.3 4.2.3 4.2.3 定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的下面各性质中的函数都假设是可积的.性质性质 1 ( (1) ) 两个函数和的定积分等于它们两个函数和的定积分等于它们定积分的和定积分的和，即即性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分外面被积函数的常数因子可以提到积分外面，即即性质性质 1 ( (1) ) 可推广到有限多个函数代数和的可推广到有限多个函数代数和的情况，即情况，即性性质质 3( (积积分分对对区区间间可可加加性性) )如如果果积积分分区区间间 a, b 被点被点 c 分成两个区间分成两个区间 a, c 和和 c, b ，那么那么当点当点 c 不介于不介于 a 与与 b 之间，之间， 即即 c a b 或或 a b c 时，时，结论仍正确结论仍正确.补充例题补充例题 计算下列定积分计算下列定积分. 解解解解把被积函数化简把被积函数化简. .补例补例 计算计算解解补充题例补充题例例例4 4 求定积分求定积分解解请在草稿纸上练习书上例题：请在草稿纸上练习书上例题：例例5 5 设函数设函数求定积分求定积分解解 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！21
