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1、数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1 1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类第四章第四章 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程 的分类与总结的分类与总结3 3 三类方程的比较三类方程的比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 在在前前面面的的章章节节中中，我我们们分分别别讨讨论论了了弦弦振振动动方方程程、热热传传导导方方程程与与拉拉普普拉拉斯斯方方程程。这这三三类类方方程程的的形形状状很很特特殊殊，它它们们是是二二阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程的的三三个
2、个典典型型代代表表。一一般般形形式式的的二二阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程之之间间的的共共性性和和差差异异，往往往往可可以以从从对对这这三三类类方方程程的的研研究究中中得得到到。本本章章中中，我我们们将将以以这这三三类类方方程程的的知知识识为为基基础础，研研究究一一般般形形式式的的二二阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程，并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1.1 1.1 两个自变量的方程两个自变量的方程1 1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性
3、偏微分方程的分类1.2 1.2 两个自变量的二阶线性两个自变量的二阶线性 偏微分方程的化简偏微分方程的化简1.3 1.3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1 1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类 遵遵循循由由简简单单到到复复杂杂的的认认知知规规律律，我我们们先先研研究究两两个个自自变变量量的的二二阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程的分类问题。的分类问题。 前前面面遇遇到到的的一一维维热热传传导导方方程程、弦弦振振动动方方程程和和二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程都都是是两两个个自自变变量量的的二二
4、阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程。不不过过它它们们的的形形式式特特殊殊，若若用用(x,y)记记自自变变量量，一一般般的的二二阶阶线线性方程总可以写成如下的形状性方程总可以写成如下的形状1-1 1-1 两个自变量的方程两个自变量的方程数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 在在前前面面弦弦振振动动方方程程的的达达朗朗贝贝尔尔解解法法(行行波波法法)的的学学习习中中，我我们们已已看看到到变变量量变变换换的的意意义义。变变换换是是研研究究微微分分方方程程的的一一个个有有效效手手段段，通通过过适适当当的的变变换换往往往往可可以以把把复复杂杂的
5、的方方程程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。方程方程(4.1)的二阶导数项的二阶导数项称为它的主部。称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。1-1 1-1 两个自变量的方程两个自变量的方程数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1-2 1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简设设(x0,y0)是是区区域域内内一一点点，在在该该点点的的邻邻域域内内对对方
6、方程程(1)进进行行简简化化。为为此此我我们们作作下下面面的的自变量变换自变量变换在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结在在(x0,y0)点点不不为为零零，那那么么在在点点(x0,y0)的的邻邻域域内内，变变换换(4.3)是是可可逆逆的的，也也就就是是存存在在逆逆变变换换也就是说，方程也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量可以采用新的自变量, ,表示为表示为运用复合函数的求导法则运用复合函
7、数的求导法则1-2 1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结注意到注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程的的两两个个函函数数无无关关的的解解1(x,y)和和2(x,y)，那那么么，将将变变换换取取为为= =1 (x,y)和和= =2 (x,y)，方程方程(4.6)的系数的系数 。 这样就达到了简化方程这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种选取的
8、可能性。的主部的目的。下面考察这种选取的可能性。1-2 1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 我我们们知知道道，方方程程(4.8)的的求求解解可可以以转转化化为为下下述述常常微微分分方方程程在在(x,y)平平面面上上的的积积分分曲曲线线问题：问题：设设1(x,y)=c 是是方方程程(4.9)的的一一族族积积分分曲曲线线，则则z=1(x,y)是是方方程程(4.8)的的一一个个解解。称称方方程程(4.9)的积分曲线为方程的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方
9、程的特征线，方程(4.9)有时也称为方程有时也称为方程(4.8)的特征方程。的特征方程。显然方程显然方程(4.9)可以分解为两个方程可以分解为两个方程1-2 1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结这这样样根根据据 的的符符号号不不同同，我我们们可可以以选选取取相相应应的的变变换换代代入入方程方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式，从而得到不同的化简形式这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。1-2
10、1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 由前面的讨论可知，方程由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种标准形式，化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线平面上的二次曲线的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应地定义方的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应地定义方程在一点的类型如下：程在一
11、点的类型如下：若方程若方程(4.1)的主部系数的主部系数 在区域在区域中某一点中某一点(x0，y0)满足满足则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；是双曲型的；则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。是椭圆型的。则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是抛物型的是抛物型的;相相应应地地， (4.12)、(4.13)和和(4.14)这这三三个个方方程程分分别别称称为为双双曲曲型型、抛抛物物型型和和椭椭圆圆型型(二二阶阶线性线性)偏微分方程的标准形式。偏微分方程的标准形式。1-3 1-3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶
12、线性偏微分方程的分类与总结如如果果方方程程在在区区域域中中每每一一点点上上均均为为双双曲曲型型，那那么么我我们们称称方方程程在在区区域域中中是是双双曲曲型型的的。类类似似的的，对对椭椭圆圆型型和和抛抛物物型型也也有有同同样样的的定定义义。如如果果一一个个方方程程在在区区域域中中的的一一部部分分区区域域表表现现为为双双曲曲型型，在在另另一一部部分分表表现现为为椭椭圆圆型型，而而在在分分界界面面上上表表现现为为抛抛物物型型，那那么么，这样的方程在在区域这样的方程在在区域中称为混合型的。中称为混合型的。举例：举例：容容易易看看出出，如如果果点点(x0，y0)上上方方程程(4.1)表表现现为为双双曲曲
13、型型或或椭椭圆圆型型，那那么么一一定定存存在在该该点点的的一一个个领领域域，使使方方程程在在这这个个领领域域内内是是双双曲曲型型或或椭椭圆圆型型的的。但但如如果果这这个个点点上上方方程程(4.1)表表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域内表现为抛物型。现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域内表现为抛物型。按按照照刚刚才才的的分分类类方方法法，很很容容易易看看出出一一维维弦弦振振动动方方程程是是双双曲曲型型的的，一一维维热热传传导导方方程程是是抛抛物物型型的的，二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程是是椭椭圆圆型型的的。前前面面我我们们已已经经知知道道，以以上上三三种种方方程
14、程描描述述的的自自然然现现象象的的本本质质不不同同，其其解解的的性性质质也也各各异异。这这也也从从侧侧面面说说明明了了我我们们对对二二阶阶线线性性偏偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。例例如如，空空气气动动力力学学中中，对对于于定定常常Euler方方程程而而言言，它它在在亚亚音音速速流流动动中中表表现现为为椭椭圆圆型型方方程程，在在超超音音速速流流动动中中表表现现为为双双曲曲型型，在在跨跨音音速速流流动动中中表表现现为为混混合合型型。而而对对于于非非定定常常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。方程而言，它始终表现为双曲型。1-3 1-3 方程的
15、分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结例题：把方程例题：把方程分类并化为标准形式分类并化为标准形式 解：该方程的解：该方程的故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。显然，该方程的特征方程为：显然，该方程的特征方程为：从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：作自变量代换作自变量代换( (由于由于和和必须函数无关必须函数无关, ,所以所以宜取最简单宜取最简单的函数形式的函数形式, ,即即= =x 或或= =y) )于是，原方程化简后的标准形式为：于是，原方程化简后的标准形式为：1-3 1-3 方程的分类方程的
16、分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结练习题：例1、2，P 100101； 习题2、3，P 102103。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1.1 1.1 线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理3 3 三类方程的比较三类方程的比较1.2 1.2 解的性质的比较解的性质的比较1.3 1.3 定解问题的提法比较定解问题的提法比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 现现在在我我们们以以前前面面各各章章对对三三类类
17、典典型型方方程程的的研研究究为为基基础础，就就双双曲曲型型方方程程、抛抛物物型型方方程程和和椭椭圆圆型型方方程程这这三三种种不不同同类类型型的的方方程程的的解解的的性性质质、定定解解问问题题的的提提法法等等方方面面进进行行分分析析和和总总结结。我我们们将将看看到到：这这三三类类方方程程在在其其系系数数的的代代数数性性质质上上的的差差别别实实际际上上反反映映着着许许多多本质的差异。本质的差异。3 3 三类方程的比较三类方程的比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结3 3 三类方程的比较三类方程的比较3-1 3-1 线性方程的叠加原理线
18、性方程的叠加原理共性共性 线性方程的共性是满足叠加原理。线性方程的共性是满足叠加原理。 前前面面的的学学习习中中，我我们们多多次次利利用用叠叠加加原原理理把把一一个个复复杂杂的的问问题题转转化化为为若若干干个个简简单单的的问问题进行求解。分离变量法和齐次化原理实际上都是叠加原理的具体应用。题进行求解。分离变量法和齐次化原理实际上都是叠加原理的具体应用。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结（以热传导方程为例）叠加原理I数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理叠加原理II
19、II数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理叠加原理III III 数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理叠加原理IVIV数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 三三类类典典型型方方程程在在数数学学性性质质上上的的差差异异往往往往是是相相应应的的物物理理现现象象的的本本质质差差异异在在数数学学上上的的表表现现。下下面面我我们们以以三三类类典典型型方方程程(波波动动方方程程、热热传传导导方方程程和和拉拉普
20、普拉拉斯斯方方程程)为为例例来来叙叙述述其差别。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。其差别。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。3 3 三类方程的比较三类方程的比较3-2 3-2 解的性质的比较解的性质的比较差异差异数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1） 解的光滑性解的光滑性 对对于于不不同同类类型型的的方方程程来来说说，解解的的光光滑滑性性可可以以很很不不相相同同。对对于于弦弦振振动动方方程程来来说说，如如果果初初始始条条件件中中高高阶阶的的导导数数不不存存在在，那那么么解解的的高高阶
21、阶导导数数也也就就不不存存在在；对对于于热热传传导导方方程程，只只要要初初始始条条件件是是有有界界的的，那那么么其其解解是是无无穷穷可可微微的的；对对于于拉拉普普拉拉斯斯方方程程，它它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。 课课本本上上从从物物理理角角度度对对上上述述解解的的光光滑滑性性差差异异进进行行了了解解释释。下下面面的的图图形形形形象象地地反反映映了不同类型方程的解的光滑性。了不同类型方程的解的光滑性。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结2） 解的极值性质解的极值性质 热
22、热传传导导方方程程和和拉拉普普拉拉斯斯方方程程都都存存在在极极值值原原理理，但但它它们们所所采采取取的的形形式式是是有有区区别别的的。拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的极极值值只只可可能能存存在在于于边边界界。至至于于热热传传导导方方程程，区区域域内内部部的的最最大大值值不不能能超超过过区区域域初初始始时时刻刻和和边边界界面面上上的的最最大大值值。双双曲曲型型方方程程通通常常不不存存在在极极值值原原理理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结3） 影响区
23、和依赖区影响区和依赖区 从从影影响响区区和和依依赖赖区区来来看看，三三类类方方程程也也有有很很大大区区别别。波波动动方方程程的的扰扰动动是是以以有有限限速速度度传传播播的的，因因而而其其影影响响区区和和依依赖赖区区是是锥锥体体状状的的。对对热热传传导导方方程程而而言言，其其扰扰动动传传播播进进行行的的十十分分迅迅速速，某某个个点点的的其其影影响响区区是是该该点点以以上上的的整整个个上上半半平平面面，依依赖赖区区是是整整个个初初始始值值区区间间。拉拉普普拉拉斯斯方方程程表表示示定定常常状状态态或或平平衡衡状状态态，因因此此不不存存在在扰扰动动传传播播的的问问题。题。数学物理方程数学物理方程第四章
24、第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结4） 关于时间的反演关于时间的反演 一一物物理理状状态态的的变变化化是是否否可可逆逆，在在数数学学上上反反映映为为所所归归结结出出来来的的方方程程关关于于时时间间变变量量是是否是对称的，即以否是对称的，即以t代替代替t后方程是否不变化。后方程是否不变化。 拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程是不可逆的拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程是不可逆的数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结椭椭圆圆型型方方程程：定定解解问问题题中中只只
25、有有边边界界条条件件而而没没有有初初始始条条件件。故故一一般般不不提提初初边边值值问问题题和和柯西问题。柯西问题。抛物型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件只需给出一个。抛物型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件只需给出一个。双曲型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件需要给出两个。双曲型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件需要给出两个。定解问题适定性：存在性、唯一性、稳定性定解问题适定性：存在性、唯一性、稳定性课本给出了不稳定的定解问题的例子。课本给出了不稳定的定解问题的例子。对对于于弦弦振振动动方方程程和和热热传传导导方方程程，一一般般我我们们是是不不能能提提
26、出出狄狄利利克克雷雷问问题题（同同时时指指定定t0和和tt0时刻的未知函数取值时刻的未知函数取值），因为这样的定解问题一般是无解的。），因为这样的定解问题一般是无解的。3-3 3-3 定解问题的提法比较定解问题的提法比较差异差异数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结复习要点：复习要点： 1 1、达朗贝尔公式及其物理意义。、达朗贝尔公式及其物理意义。 2 2、齐次化原理（方程自由项、边界条件齐次化的方法）。、齐次化原理（方程自由项、边界条件齐次化的方法）。 3 3、分离变量法求解弦振动方程和一维热传导方程的初边值问题。、分离变量法求解弦振动方程和一维热传导方程的初边值问题。 （涉及常微分方程的内容，注意复习高等数学相关内容）（涉及常微分方程的内容，注意复习高等数学相关内容） 4 4、从物理模型如何得出具体的定解问题。、从物理模型如何得出具体的定解问题。 5 5、定解条件和定解问题的类型、定解条件和定解问题的类型、定解问题适定性定解问题适定性。 6 6、二阶线性偏微分方程的分类与标准形式化简。、二阶线性偏微分方程的分类与标准形式化简。
