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1、成才之路成才之路 数学数学江西省广丰中学数学组江西省广丰中学数学组 吴处火吴处火北师大版北师大版 选修选修1-2 1-2 第三章第三章11归纳与类比归纳与类比第第2 2课时类课时类 比比 推推 理理典例探究学案典例探究学案 2自主预习学案自主预习学案 1自主预习学案自主预习学案理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用重点：类比推理难点：类比推理的特点及应用思维导航在学习数列一章时，我们由等差数列an具有性质：“已知n、mN N*，若nm2p，则anam2ap”，作出猜想：“对于等比数列an，若n、mN N*，nm2p，则amana”，这种猜想方
2、法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？类比推理 新知导学1类比推理由两类对象具有某些_特征和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由_到_的推理(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；类似已知特征特殊特殊(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、_，再进行_、_，然后提出_的推理，我们把它们统称为合情推理观察分析比较
3、联想归纳猜想2合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、_，再进行_、_，然后提出_的推理，我们把它们统称为合情推理3归纳推理是由部分到_，由具体到_，由特殊到_，从个别事实中概括出_的思维模式类比推理是在_的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在_之处的一种推理模式观察分析比较联想归纳猜想整体抽象一般一般结论两类不同相同或相似牛刀小试1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理B类比推理C没有推理 D以上说法都不对答
4、案B解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理答案C答案C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n2显然不成立4医药研究中，研制新药初期，常用一些动物做药性、药理试验，最后才做临床试验与应用，通过对动物的观察，得出对人应用的一些结论，所用推理为_答案类比推理解析符合类比推理的方法，故应为类比推理5等差数列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的
5、一个不等关系_答案b4b8b5b7解析将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.典例探究学案典例探究学案事物的相似性与类比 解析圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦截面圆，直径 大圆，周长 表面积，圆面积 球体积，等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：方法规律总结运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等找出三
6、角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质：(1)三角形任意两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边解析三角形与四面体有下列相似的性质：三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：类比推理分析考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明
7、四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值分析解答本题的关键是确定好类比对象平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积在 任 意 DEF中 有 余 弦 定 理 ：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明解题思路探
8、究第一步，审题一审条件挖信息，由PMBB1，PNBB1，可知BB1平面PMN，从而可知PNM，PMN，MPN均为相邻两侧面所成的二面角二审结论探思路，斜三角形与斜三棱柱类比，三角形的边斜三棱柱的侧面，三角形的两边夹角斜三棱柱两侧面夹角，边长关系式面积关系式第二步，建联系确定解题步骤，结合条件可取三棱柱的直截面PMN作为类比对象和推理出发点解答时先下结论，然后利用直截面作出证明解析在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1 cos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.B
9、B1MN.又CC1BB1，CC1MN.CC1平面PMN，二面角PCC1M的平面角为MNP.方法规律总结注意积累常见类比对象方程不等式，平面向量空间向量，等差数列等比数列，圆球，三角形四面体，三有形内切(外接)圆 四面体内切(外接)球，实数的运算法则与运算律平面向量的运算法则与运算律，正弦函数的图像与性质余弦函数的图像与性质，圆椭圆，椭圆双曲线，直角三角形三侧面两两垂直的三棱锥，平行四边形平行六面体等等我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；(2)若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式解析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积
