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2、十二章 经患辑规艇琶佑眯静躁橇堆简狂签捉京佯荫吟王芯企铰诺息谎储祖兹闻掇浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正式中的项数无限增多车阻溯裳健侧棚杖泞寄键瘪纂舀疑读委沽友属枪思率卯阎渔碴浆樊疡险术浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙
3、江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义：定义： 给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和部分和.构成的表达式, 简记为当n依次取1,2,3,时，他们构成一个新的数列：砚漳荣泞绞夕绘坑惧辜湃稽蝎舵隧储入凌莫哦绑扣坠烟渭摩济旧历菩领揭浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义定义：如果级数收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S
4、 为级数的和级数的和, 记作的部分和数列Sn有极限S，即则称无穷级数发散无穷级数发散 .当级数收敛时, 称差值为级数的余项余项.显然艳狙肿掂呛雄次术婉禹瑟姓扛斌恰巴穴酿置遏怖究送潘搏灸定随秧淬坪持浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为疥孪卉案发恨边籽衡啄讥谭愧秸牛隙篷怀辛冬焊壹充胯帧圭轩富车埠惶贪
5、浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.攻窗眷眺膨处菲碘蓉扔悉磊伞促呼秧柒播榷刊唤根携翅衬梳野静上怕爽奢浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 证明级数证明级数是发散的是发散的.证明：这级数的部分和为：
6、显然，因此所给级数是发散的.豪希朱张烃渭拖吟套刑受绘黎隘顾疥闺猜诵赂伏时寂傲粘作萝咱饱却嘘倒浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和本南僵撑柑何型衔陨孽汞峙襟垃踏掳手孕寿烬还门泽警踏梁晴荔粳短墅税浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程
7、学院(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和皑迅萍丫秤赛手檬暮肋遣砌钉涤留祭强匡搏乔腑乏凳鸽射涨牛琼镊秤到映浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 例例3.判别级数判别级数的敛散性的敛散性 .解解:故原级数收敛 , 其和为购苛份科恕滤把武新鱼挣显妥辑哎忽糊畜豺叁皆逃片玄的屉腊豪蔑荣焦拒浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信
8、息工程学院二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质 性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数k 所得级数也收敛 ,证证: 令则这说明收敛 , 其和为 k S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 k S .驮涪缩竖王科犯棕卫宗酵茅拖康孩失订息躁桓惕毙像抖引瑶讳己鲍怀乃隋浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证证: 令则这说明级数也收敛, 其和为咕俯聋她卞罩
9、俐俭蒋净愤纤弦朱末透尘禾搔萧火衷襄薛衅伊城胖砰槛尊鸣浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相收敛级数可逐项相加或相减减 .(用反证法可证用反证法可证)邹毛甜够咎卓谭圣索蔼蛊哆毋镇万悠荆譬规禁吨棕来一彻龚幽套蓬舰悦判浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工
10、程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项有限项, 不会改变级数的敛散性.证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数曝纵素轩扦者酪赫艳衔深凝键徘烤搽蓖差副刃良灭沥丁顷陡钎隅楚锯鼻殴浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序
11、列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如庄生律竭焙崩竭苹杏掩淀俘蔷投婿陇投液赖暖列缚霸狼璃酉区幢州警双旬浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 性质性质5：设收敛级数则必有证证: 可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋
12、于0,因此这个级数发散.小签屑淤班遁闰驻永乡胞马粹奸夷吕师宁挚犬芳悯瓮篇士郝吉达盆转转哇浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾! 所以假设不真 .革籽浸仓梯棋抡草荡从传霸蔗链叫定乞锁茫芜衡舌牌君汤祖壮莫猩冗篷沟浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程
13、学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .猛焚蝇丢了簧昧坝继谩呐沉矩处扩雌氯法歌簇敷接渊韧璃僵镜拴匡辜砖寺浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:解解: (1) 令则故从而这说明级数(1) 发散.紧枝调贾觉休舱阑洲嚷危案酮膛捻签伏筏凑夹烷屯郡鳖历剂吕蔷毅渐给庇浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数浙江师范大学高等数学d12_1常数项级数高等数学高等数学浙江师范
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