水资源规划和利用第九章

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1、第九章第九章 水资源系统分析水资源系统分析 第一章第一章 目录目录第一节 水资源系统分析的基本概念第二节 水资源系统分析的模型与方法 第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 系统分析： 从运筹学派生出来的一种实用的分析方法，用系统论的观点进行寻优决策，是运筹学在各个学科领域中的应用和发展。 水资源系统分析： 是用系统分析的方法去解决水资源的规划、设计、运行、施工和管理等问题，并提出经济合理的有效方案。 水资源系统通常是多目标、多层次的，由自然系统和人工系统组成的复合系统。第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 v水资源系统分析常用的数学方法：n回

2、归分析和时间序列分析方法： 用于统计和预测系统的某些特征量。n投入产出分析方法： 根据当地社会经济协调发展的需要，编制投入产出表，确定各部门发展的水平，提出相应的需水指标，为水资源规划提供决策依据。n最优化方法： 在水资源规划和管理中通常用到线性规划、非线性规划、动态规划、网络理论、排队论、存储论和决策论等优化方法。n模拟分析方法： 利用数学物理方法和统计技术对降雨、径流及各种需水等过程进行模拟计算。第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 v水资源系统分析的步骤：水资源系统分析的步骤：n问题的确定 明确研究的对象和问题，建立系统，确定问题的目标、约束条件、可控变量，以及

3、有关技术经济参数，搜集有关资料；n建立数学模型 把问题中的可控变量、参数和目标与约束之间的关系用数学模型表示出来；n求解数学模型 选择适当的方法求解数学模型，其解可以是最优解、次优解、满意解；n模型的验证 首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映实际问题；n灵敏度分析。 研究模型中所含参数的变化范围及其对解的影响；n系统可行方案的综合评价 利用模型计算结果和各种分析资料，对比各种可行方案的利弊，从系统的整体观点出发，进行综合分析，选出满意的方案；n研究结果的实施 将所选方案、有关文件和软件交付实施单位，与决策实施人员密切合作，对可能出现的问题，及时进行调整和修改，以适应变化了的情况。

4、第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v线性规划线性规划n线性规划数学模型 （91） （92） （93）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 线性规划问题的标准型式： （91） （92） （93）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n标准型式的转化：n目标函数为最小化，即minZCX。可令Z=-Z，于是得到maxZ-Z ，同标准型的目标函数的形式相一致。n约束方程为不等式：n约束方程为“”不等式，则可在“”不等式的左端加入非负松弛变量，把原“”不等式变为等式；n约束方程为“”不等式，则可在“”不等式的左

5、端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件。n对取值无约束的变量xk，可令xk =xk -xk，其中xk ,xk 0。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例9-1 将下述线性规划问题化为标准型 minZ=x1-x2+ x3解： 用x4x5代替x3，其中x4、x50； 在第一个约束不等式号的左端加入松弛变量x6； 在第二个约束不等式号的左端减去剩余变量x7； 令Z =-Z ，把求minZ改为求maxZ；即得该问题的标准型第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n线性规划的应用例9-2 生产计划问题 某工厂

6、计划生产、两种产品，生产单位产品所需原材料消耗见表91。该厂生产单位产品、可分别获利2元、3元，问应如何安排生产使该厂获利最多？表91资源限量原材料A128kg原材料B208kg原材料C026kg第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 : 目标函数 maxZ2x13x2约束条件 x12x28 2x1 8 2x26 x1，x20第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例9-3 水资源分配问题 有甲、乙两座水库同时向A、B二城市供水，甲、乙水库的日供水量分别为30万m3/d、32万m3/d，二城市的最小日需水量分别为25万m3/d和27万

7、m3/d。由于水库与各城市的距离以及输水方式上的差别，因此单位输水费用也不同。各单位输水费用分别为C11，C12，C21，C22。试作出在满足A、B二城市供水需求的情况下，输水费用最小的方案。 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 : 设甲、乙水库向A、B二城市日供水量分别为x11，x12，x21，x22，则最佳方案为，在满足城市需水量和甲、乙两水库供水量约束的情况下，使输水费用为最小，即： 目标函数： 约束条件： 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n线性规划的解法 可行解，最优解 线性规划的基本解法： 图解法和单纯形法两种。

8、 以例9-2说明线性规划的图解法。图9-1图9-2第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 线性规划求解结果有可能出现的几种情况：n无穷多最优解（图93）图9-3第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n无界解（图9-4）n无可行解。 如果在例9-2的数学模型中增加一个约束条件x1x24，该问题的可行域为空集，即无可行解，故也不存在最优解。图9-4第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v动态规划动态规划 动态规划用于研究一类多阶段决策过程问题的最优策略。 动态规划是求解某些系统问题的一种方法，是考察问题的一种途

9、径，而不是一种特殊算法。 动态规划模型分类：Y离散确定性模型Y离散随机性模型Y连续确定性模型Y连续随机性模型n动态规划的基本概念n动态规划的基本原理： 作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多阶段决策寻优过程（图95）：图9-5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n输水线路的选择问题 例94 某城市E从水库A引水，输水管道要经过B、C、D三个地区。每个地区管线的通过点各有若干比较方案，见图96。图中标在连线

10、上的数字为该段的建设费用。求总费用最小的输水方案。图9-5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 设N为阶段变量，N=1,2,3,4。S为状态变量，S=S1,S2,S3,S4,S5，其中，S1=A；S2=B1,B2；S3=C1,C2,C3；S4=D1,D2；S5=E。dN为决策变量，fN(sN,dN)即第N阶段的管线方案；为第N阶段初始状态为SN，在决策dN下，到第4阶段末状态E的总费用。 N(sN,dN)为N阶段处于状态SN，采用决策dN的建设费用。 dN(sN)为第N阶段在状态SN使fN(sN,dN)达到最小的决策。fN(sN)为第N阶段初始状态为SN，与d

11、N(sN)对应的fN(sN,dN)的最小值，即: 采用逆序法求解。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 （1）N4时，由初状态D1或D2到终点E，只有一条路线，故f4(D1)=8，f4(D2)=4 。 相应地d4(D1)=E ,d4(D2)=E 。（2）N=3时，输水道可能通过的地点即初状态有C1、C2、C3。如为C1 ，则可由D1或D2到达E 。于是： 相应决策d3(C1)=D1或D2 。 同理从C2 ，C3到E的最优策略费用为 其相应决策为d3(C2)=D2 。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 其相应决策为d3(C3)=D2

12、。（3）N=2时，类似可得：f2(B1)=19, d2(B1)=C2 ;f2(B2)=17, d2(B2)=C2 ;f2(B3)=13, d2(B3)=C2 。（4）N=1时，为水源处，只有起点A，故： 由此，可得从水源点到城市的最优输水路线是AB3 C2 D2 E ，最小费用为16。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 上述计算过程可表示为： 第4阶段： （97） 第N阶段： (98) 式(98)表示N阶段与（N+1）阶段的递推关系，称为递推方程，是动态规划的基本方程。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n水资源最优分配问题 例9

13、5 研究一个地区水资源的最优分配问题。其待分配流量为6m3/s，共有三个用水户，各用户的用水流量与相应的经济效益关系见表92。求总效益最大的配水方案。 表92 (单位：万元)第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解：按用户1，2，3的次序排列，构成一个多阶段分配系统。设状态变量为Qi，表示第i+1阶段待分配的流量；决策变量为qi，表示第i用户分配到的流量，fi(Qi-1)表示第i阶段至第3阶段当分配流量为Qi-1时的最优效益。 目标函数： 约束条件： 采用逆序法求解，则动态规划的递推方程为 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 状态转

14、移方程： 边界条件： 。n第3阶段计算 因为Q3=0，故f4(Q3)=0。由状态转移方程Q3=Q2-q3 得Q2=q3，即前面各用户引水后剩余的流量Q2就是最后一个用户的引用水量q3，故得： 再根据表92中所列资料，可得用户3在不同的可用流量Q2条件下的最优引水流量q3及最优效益f3(Q2)，如表9-3所示。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 表93n第2阶段计算在用户2，3间分配，递推方程为现以Q1=2为例，说明计算方法。当Q1=2时，q2有0、1、2三种方案。当q2=0时,Q2=Q1-q2=2 ，。此时用户2的效益2(q2)=0，用户3的效益f3(Q2)=6

15、 。则用户2、3的总效益为： 2(q2)+f3(Q2)=0+6=6。同理，可得当q2=1、2时，用户2、3的总效益分别为7.5和6.5。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 对q2=0、1、2等三种方案进行比较：相应的最优决策 。 当Q1取其它值时，同样计算，结果见表94。表94第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n第1阶段计算 在用户1与(2，3)间分配，递推方程为： 计算结果见表9-5。用户1的最优配水量q1*=2。 q1*=2时，根据状态转移方程求出Q1=Q0-q1*=6-2=4 。由表9-4得，Q1=4时,q2*=2 。从而

16、得到用户3的最优配水量q3*=Q2=Q0-q2*=2 。最优总效益为18.5万元。表 95第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v多目标规划多目标规划n多目标规划数学模型及解的概念 (99) （9-10） 式中，x=(x1, x2,xn)T为决策变量向量；Z(x)为p个独立的目标Zj(x)(j=1,2p)组成的目标。 通常多目标规划问题不能求出各个目标都为最优的解，只能在一定条件下得到各个目标的较优解，称为非劣解或有效解。多目标规划问题的求解步骤为：n对目标进行量化,以便于目标和方案之间的比较，但不要求所有的目标都用相同的单位表示；n列出多目标规划数学模型，求出一

17、组技术上有效、经济上可行的非劣规划方案；n由决策者和分析人员合作，对已求出的非劣规划方案进行比较和选择。 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多目标规划的求解n权重法权重法 (911) (912) 该方法使用简单，但其缺点是：Z 难以确定加权系数WiZ 不能给出有效方案的整个集合，除非效用边界是严格凸的，即目标函数的生成可能性边界点集为严格凸集。n约束法约束法 (913) (914) 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多目标规划方案的选择n优势法（控制法） 一个方案优于其它方案的条件是，其所有目标值均优于其它方案的目标值，且

18、该方案至少有一个目标l的值是严格的优于其它方案的目标值。 (915) 且对于每一个kk，至少存在一个l，使 (916) 则方案Xk优于Xk ，称为控制方案。一个方案优于所有其它方案并不常见。但某些方案劣于其它方案却是经常发生的。例如，两个比较方案k与h，对所有目标j，有 (917) 且对某些非目标l有 (918) 则方案控制了方案，进一步筛选时就可以淘汰方案。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n最小值筛选法（饱和法）n字典编辑法 上述三种方案选择方法比较简单。在多目标规划中，也有些方法将方案的生成与选择综合在一起，如折衷规划法、目标规划法、步进法和代用价值权衡

19、法等。第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n目标规划法 目标规划的基本思路: 要求决策者事先规定每个目标希望达到的目标值，其目标函数是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式：n要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZf（dd）n要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZf（d）n要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZf（d） 目标规划的约束条件:n分为绝对约束（硬约束）n目标约束（软约束）第二节第二节

20、 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例96 某农场有农田1万亩，生产、两种作物，有关数据见表96。决策者在化肥供应受严格限制的基础上考虑：首先是作物的产量不低于作物的产量；其次是充分利用现有地下水资源，不超采；再次是总收益不小于900万元。试就该作物种植面积决策问题建立数学模型。 表96拥有量化肥 kg100110105104地下水 m3150200170104收益 元/ 亩8001000第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 设x1、x2分别表示作物、种植亩数，根据决策者要求，分别赋予这三个目标P1，P2，P3优先因子，建立该问题的目标规划

21、数学模型：第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 目标规划的一般模型为： （919） (920) 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法v随机规划随机规划n随机动态规划 随机动态规划的状态同系统输入的随机变量有关，所以其阶段效益和状态转移方程都是随机的，可分别表示为该阶段初始状态、所采取的决策以及输入的随机变量的函数： （921） （922） 设第i阶段输入的随机变量的概率为pi(ki)，则该阶段效益的期望值为： （923） 系统期望总效益等于各阶段期望效益之和，即： （924） 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模

22、型与方法 根据动态规划的最优性原理，应用逆序法可写出第i阶段的递推方程： (925) 如果各随机变量是相互独立的，则上述随机动态规划具有独立概率分布，可用(925)式求解。如果各随机变量不是独立的，则问题将复杂一些。n随机线性规划n概率目标规划概率目标规划 概率目标线性规划指其目标函数中的系数是随机的，且概率分布已知，但约束条件是确定的。可用的期望值E(ci)代替ci，其数学模型为：目标函数 (926)约束条件 (927)第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法例97 某水库向甲、乙、丙三个工厂供水，年可供水量为1000万。甲、乙、丙三个工厂分别生产、产品，单位产品的

23、净收益受市场等因数的影响，具有不确定性。有关数据见表9-7。问应如何分配水资源，使三个工厂的总效益为最大。表97 计划供水量及经济效益指标工厂单位产品耗水量 m3单位产品净收益（元）p1=0.25p2=0.50p3=0.25甲22012010080乙280155130110丙260142125103第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法解：设X1 、X2 、 X3 分别为甲、乙、丙三个工厂计划生产的产品、的产量，于是可建立随机线性规划模型： 目标函数: MaxE(Z)=(0.25120+0.5100+0.2580) X1 +(0.25155+0.5130+0.251

24、10) X2 +(0.25142+0.5125+0.25103) X3 约束条件: 220X1+280X2+260X31000104, X1 、X2 、 X3 0 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法n概率约束规划概率约束规划 如果线性随机规划问题的目标函数和约束条件都出现了随机性，则数学模型为： 目标函数 （928） 约束条件 （929）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 假设随机数bi的分布函数为i，其逆函数是i-1，则可将上述随机规划问题等价地转换为确定性的线性规划，然后用单纯形法求解: 目标函数: （930） 约束条件: （931）第九章第九章 结束束v主目录主目录