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1、第三节二次函数与幂函数第三节二次函数与幂函数考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.二次函数的综合应用2幂函数的图象与性质.1.掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间2(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况.主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想以二次函数与幂函数为载体考查数学相关知识，如求二次函数的最值、函数零点问题仍是高考的热点，以函数性质为命题背景，考查二次函数与幂函数图象的应用是重点.二次函数二次函数1二次函数解析式的三种常用表达形
2、式(1)一般式：f(x)_；(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，(h，k)是顶点；(3)标根式(或因式分解式)：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2分别是f(x)0的两实根ax2bxc(a0)2二次函数的二次函数的图象及其性象及其性质减增1幂函数的概念一般地，函数yxa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数常见的幂函数有yx，yx1，yx2，yx3，yx.2幂函数的图象和性质常见的5种幂函数的图象如图幂函数幂函数【名师助学】1本部分知识可以归纳为：(1)三种形式：一般式顶点式两根式选择标准2二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根
3、的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解二次函数的最值问题二次函数的最值问题1在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时，最好是作出二次函数的大致图象特别是遇到对称轴固定而区间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时，要利用函数图象，找出讨论时的分类标准2对于f(x)0在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转化为f(x)min0，xa，b对于f(x)0在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转化为f(x)max0，xa，b若f(x)含有参数，则要对参数进
4、行讨论或分离参数【例1】 求函数yx22ax1在0，2上的最小值g(a)和最大值m(a)解题指导(1)看已知：二次函数开口向上，区间x0，2，对称轴xa(2)看类型：属于“轴动区间定类型”(3)抓关键：画出草图，确定对称轴与区间的位置关系(4)解答：利用分类讨论思想求解解f(x)(xa)2a21，对称轴xa，开口向上，区间0，2，结合图象分情况讨论点评二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论1比较幂值大小的常见类型及解决方法(1)同底不同指，可以利用指数函数单
5、调性进行比较；(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小2在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质解题指导点评对于幂函数的考查主要是以定义和性质为主，单调性主要研究在(0，)上的情形，奇偶性可根据定义去判断求二次函数在给定区间上的最值(值域)，其关键是判断二次函数顶点的横坐标(或对称轴)与所给区间的关系，然后结合二次函数的图象，利用分类讨论的思想来解决问题分
6、类讨论思想在二次函数中的应用分类讨论思想在二次函数中的应用解题指导(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准【例3】 (2014河北张家口调研)设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集解(1)因为f(0)a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范围为(，1(2)记f(x)的最小值为g(a)，则有f(x)2x2(xa)|xa|点评在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小；3解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系，思路受阻
