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1、已知由弹簧-小车组成的系统。如下图：y y2 2K KMM2 2K Ky y1 1MM1 1u u其中两小车质量 M1=1kgM2=1kg，弹簧系数 K=1，u是作用在小车 M1的外力，y1和y2分别是小车位移，不计任何摩擦。由以上条件可以进行受力分析得：u + M1y1= K(y1-y2)K1y1=y1-y2-uy+M2y2=Ky2y2=-2y1+2y2因此可以得到该系统的状态空间模型设x1= y1,x2=y1,x3= y2，x4=y2，则有x=Ax+Bu，y=Cx，其中: 1-1B=C=A =D=00-20 201. 先对以上模型稳定性分析如下：从图中可知矩阵 A 的特征值为-1.732
2、，1.732,0，0，有正值，因此开环系统是不稳定的。2. 判断系统可控性与可观性可见系统是可控和可观的。3. 状态反馈控制器设计有步骤 1 可知系统是能控的。 因此， 可以通过状态反馈来任意配置闭环系统的极点。 特别是将闭环极点配置在左半开复平面可以保证闭环系统是渐进稳定的。因此可以设计一个状态反馈控制器 u= -Kx,使得闭环系统极点是-2，-1，-1+j，-1-j，期望的闭环特征多项式为432（+2） （+1） （+1+j）(+1-j)=510104而状态反馈控制器所到出的闭环系统特征多项式为 +k1detI (A BK)= det I- -k42 2k3 k1=-k2其中 K= -5。
3、由以上两个多项式的相等，可得=4k2= -5= -5。因此极点配置要求的状态反馈控制器为u= -4-5-5-5x则闭环系统为x (A BK)x -5 -5 -5x= 0 0 0 1 -2 2 0 0下面通过仿真曲线来检验设计的观测器， 选取x(0) 0.1程序如下：0 -0.1 1的响应，T从图像上可以看出，极点配置状态反馈控制器使原来不稳定的系统成为渐近稳定，且具有良好的动态性能。这表明整个状态向量x随时间的推移而渐近衰减到零。3.状态观测器的设计为了是观测器极点具有负实部，响应速度快，可以设计状态观测器，使得极点是u1 2 j 3，u2 2 j 3，u310，u4 10。观测 器的 模型为
4、x (A LC)x Bu Ly其中 u= -4-5-5-5x。通过下面的程序可得增益矩L:可得 L=24 199 -768 1998相应的观测器为x (A LC)x Bu LyT 240 24 1991199-1-y=1 0 0 0x u -768 0 -768 -20 2 1998 01998-24-198=76819970 241199 -1x+u y0 -768 0 201998状态估计的误差动态方程为：e (A LC)e 0 1.0000 0 0 -76.3176 -15.9573 121.0390 83.2149e= 0 0 0 1.0000 -2.0000 0 2.0000 0以下
5、进一步通过仿真来检验观测器效果。取初始误差向量为：e(0) 1 2 0.1 0.1T由以上的仿真曲线可以看出，尽管系统的真实状态和观测器状态的处值有误差，但随着时间的推移，它们间的误差将衰减到零。4. 最优控制器的设计xTQx uTRu为了使设计的系统能达到符合的性能指标， 即J dt的值最小0化，因此我们需要对系统优化，为此，可以选取：1000Q=000001 00R=0.010 1 000 1通过以下程序可以就求得最优反馈增益矩阵：则最优状态反馈控制器 u= -Kx=77.3176x1 +15.9573x2-122.0390x3-83.2149x4最优闭环系统：x (A BK)x 0 1.
6、0000 0 0 -76.3176 -15.9573 121.0390 83.2149 0 0 0 1.0000 -2.0000 0 2.0000 0通过 MATLAB程序仿真可得：与前面的仿真曲线相比,优化后系统能用较小的控制量达到同样的稳定状态。5. 体会与建议通过这次大作业，我收获了很多，这些都是无法通过考试得到的，在上课期间，对于这门课一直感觉很抽象，它跟实际问题脱轨，所以一直没学明白，只是靠死记硬背，并不真正理解，通过这次作业，我对于现代控制理论这门课有了一个全面的掌握， 通过对一个实际问题的数学建模并运用现代控制理论分析系统的状态空间描述、能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态观测器补偿和设计，对所学内容有一个全面、连贯的应用，真正的理解了这些知识点的含义、原理和方法。另一方面，我进一步掌握了 MATLAB的使用，这个软件对于工科学生是一个很有用处的软件， 在今后的的学习工作中都会用到熟悉掌握它的应用是很有必要的。其次，这次作业更是加深我对 word 软件的掌握能力，尤其是数学公式的编写，整个过程更是锻炼了我的耐心和细心。对于这门课程我的建议： 应多讲一些该门课程在实例中的应用，这样能更好的有助于学生的理解。
