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1、第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列1.2 线性移不变系统线性移不变系统1.3 线性常系数差分方程线性常系数差分方程1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 信号是传递信息的函数。针对信号的自变量信号是传递信息的函数。针对信号的自变量（时间）和幅值的取值情况，可分为：（时间）和幅值的取值情况，可分为：（1 1）连续时间信号）连续时间信号时间取连续值，幅值可连续可离散。时间取连续值，幅值可连续可离散。 模拟信号模拟信号：时间取连续值，幅值连续：时间取连续值，幅值连续 量化信号量化信号：时间取
2、连续值，幅值：时间取连续值，幅值离散离散（2 2）离散时间信号）离散时间信号时间取离散值，幅值可连续可离散。时间取离散值，幅值可连续可离散。数字信号数字信号时间和幅值均取离散值。时间和幅值均取离散值。 抽样信号抽样信号时间取离散值，幅值连续时间取离散值，幅值连续(3)(3)模拟信号，抽样信号，数字信号的关系模拟信号，抽样信号，数字信号的关系数字信号数字信号：时间和幅值均为离散：时间和幅值均为离散 的信号。的信号。模拟信号模拟信号：时间和幅值均为连续：时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号抽样信号：时间离散的，幅值：时间离散的，幅值 连续的信号。连续的信号。量化抽样信信号号 连续连续离散离散
3、模拟模拟量化量化抽样抽样数字数字:幅值、时间连续幅值、时间连续:幅值离散、幅值离散、时间连续时间连续:时间离散、幅值连续时间离散、幅值连续:幅值、时间离散幅值、时间离散1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列离散时间信号一般是对模拟信号离散时间信号一般是对模拟信号 xa(t) 进进行等间隔采样获得的，采样间隔为行等间隔采样获得的，采样间隔为T T，得到，得到：一、离散时间信号序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列对于不同的对于不同的 n n 值，值，xa(nT) 是一个有序的数字序列，是一个有序的数字序列，该数字序列就是该数字序列
4、就是离散时间信号离散时间信号。注意，这里的注意，这里的n n取整数，非整数时无定义。取整数，非整数时无定义。离散时间信号的表示方法离散时间信号的表示方法：公式法、图形法、集合法。：公式法、图形法、集合法。1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列二、常用序列1. 1. 单位抽样序列单位抽样序列 (n)(n)0 0 1/1/ t tp p(t(t) )0 0(1)(1)t t (t)(t)1 1n n0 0 (n)(n)1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列2. 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(nu(n) )t0u(t)10nu(n)1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列
5、序列 (n)(n)与与u(nu(n) )之间的关系之间的关系令令n-k=m，有，有1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列3. 3. 矩形序列矩形序列R RN N(n(n) )N为矩形序列的长度0nR4(n)1231.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列4. 实指数序列，a为实数为实数0n0a1a-1或或-1a0,序列的幅值摆动序列的幅值摆动0n-1a00na0时，序列右移时，序列右移延迟延迟当当n00时，序列左移时，序列左移超前超前x(n)n0n0x(n-2)1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列4. 序列的翻转n0x(-n)vx(-n)是是x(n)的的翻翻转转序序
6、列列。x(-n)是是以以纵纵轴（轴（n=0）为对称轴将序列）为对称轴将序列x(n)加以翻转。加以翻转。x(n)n01.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列5. 尺度变换x(n)n0n0x(2n)是是序列每隔序列每隔m m点点取取一一点点形形成成的的，相相当当于于时间轴时间轴n n压缩了压缩了m m倍。倍。抽取序列抽取序列是是序列相邻抽样序列相邻抽样点间补（点间补（m m1)1)个零值点，表示零值插值。个零值点，表示零值插值。插值序列插值序列1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列6. 累加（等效积分）7. 7. 差分差分运算运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分8. 8. 卷
7、积和卷积和等效为等效为翻褶、移位、相乘和相加翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。四个步骤。1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列1.2 线性移不变系统离散时间系统Tx(n)y(n)系系统统可可定定义义为为将将输输入入序序列列x(n)映映射射成成输输出出序序列列y(n)的的唯一变换或运算，并用唯一变换或运算，并用T表示，即表示，即1.2.1 线性系统若系统满足若系统满足可加性可加性与与比例性比例性, ,则称此系统为则称此系统为离散离散时间线性系统时间线性系统。其中其中a a、b b为任意常数。为任意常数。设设例例是线性系统。是线性系统。证：证：所以，此系统是线性系统。所以，此系统是线性系统
8、。例例所代表的系统不是线性系统。所代表的系统不是线性系统。证：证：但是但是所以，此系统是非线性系统。所以，此系统是非线性系统。1.2.2 时不变系统（移不变系统）时不变系统Tx(n)y(n)若若则则n n0 0为任意整数。为任意整数。输入时移输入时移n n0 0位，其输出也位，其输出也时移时移n0位位，而幅值却保持，而幅值却保持不变。不变。例例判断系统判断系统证：证：所以，此系统是时不变系统。所以，此系统是时不变系统。的时不变性。的时不变性。证：证：所以，此系统不是时不变系统。所以，此系统不是时不变系统。同同理理，可可证证明明 所所代代表表的的系统不是时不变系统。系统不是时不变系统。例例判断系
9、统判断系统的时不变性。的时不变性。1.2.3 单位冲激响应与卷积和T(n)h(n)一一个个既既满满足足叠叠加加原原理理，又又满满足足时时不不变变条条件件的的系系统统，被被称称为为线线性性时时不不变变系系统统(linear shift invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位线性时不变系统可用它的单位冲激冲激响应来表征。响应来表征。 单位单位冲激冲激响应响应，也称单位，也称单位抽样抽样响应响应，是指输入为单是指输入为单位冲激序列时系统的输出位冲激序列时系统的输出，一般用，一般用h(nh(n) )来表示：来表示：根据线性系统的叠加性质根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质又根据时不
10、变性质设系统的输入用设系统的输入用x(nx(n) )表示，而表示，而因此，系统输出为因此，系统输出为通常把上式称为通常把上式称为离散卷积离散卷积或或线性卷积线性卷积或或卷积和卷积和。这一。这一关系常用符号关系常用符号“* *”表示：表示：1.2.3单位冲激响应与卷积和线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：v用单位抽样响应用单位抽样响应h(nh(n) )来描述系统来描述系统h(n)x(n)y(n)1.2.3单位冲激响应与卷积和线性卷积的计算计算步骤如下：计算步骤如下： (1)(1)翻翻褶褶：先先在在坐坐标标轴轴m m上上画画出出x(mx(m) )和和h(mh(m
11、) )，将将h(mh(m) )以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-mh(-m) )。 (2)(2)移移位位：将将h(-mh(-m) )移移位位n n，得得h(n-mh(n-m) )。当当n n为为正数时，右移正数时，右移n n；当；当n n为负数时，左移为负数时，左移n n。 ( (3)3)相乘：相乘：将将h(n-mh(n-m) )和和x(mx(m) )的对应点值相乘。的对应点值相乘。 (4)(4)相加：相加：把所有的乘积累加起来，即得把所有的乘积累加起来，即得y(ny(n) )。 例例已知已知x(n)和和h(n)分别为：分别为：和和a为常数，且为常数，且1a，试求，试求x(n
12、)和和h(n)的线性卷积。的线性卷积。计算线性卷积时，一般要分几个区间分别计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。加以考虑，下面举例说明。解解参看参看图图，分段考虑如下：，分段考虑如下：(1)对于对于n4，且，且n-60，即，即46，且，且n-64，即，即64，即，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n图解说明图解说明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n 0(3) 4n6n-6mh(n-m)n04 6n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n0
13、4图解说明图解说明(1) n0n-6mh(n-m)n 00mx(m)4(2)在0n4区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4n6区间上n-6mh(n-m)n04 60mx(m)4(4)在6n10区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4综合以上结果，综合以上结果，y(n)可归纳如下：可归纳如下：卷积结果卷积结果y(n)如图所示如图所示 6ny(n)1004例例设有一线性时不变系统，其单位设有一线性时不变系统，其单位冲激响应为冲激响应为解：解：分段考虑如下：分段考虑如下：(1)对于对于n0；(2)对于对于0nN1；(3)对于对于n N。试求试求x(n)和和h(n)的线性卷
14、积。的线性卷积。(2)在在0 nN 区间上区间上(3)在nN 区间上(1)(2)(3)y(n)例 设有一线性时不变系统，其设有一线性时不变系统，其3142x(m)m0 1 2 3 4215h(m)m102 3 4解：解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-11 20mh(1-m)-23-11 20mh(2-m)-2ny(n)-11 20-23 4 5 665241322103142x(m)m0 1 2 3 4对有限长序列相卷，可用对有限长序列相卷，可用竖乘法竖乘法注：注：1. 1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位；各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 2. 卷积结果的起始序号等于两序列
15、的起始卷积结果的起始序号等于两序列的起始序号之和。序号之和。由上面几个例子的讨论可见，对于由上面几个例子的讨论可见，对于h(n)x(n)y(n)设设x(n)和和h(n)两序列的长度分别是两序列的长度分别是N和和M，线性卷积后的序列长度为，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积的性质：1.交换律交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2.结合律结合律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)线性卷积的性质：3.分配律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)线性卷积的性质：4.序列与单位冲激序列的线性
16、卷积序列与单位冲激序列的线性卷积线性卷积的性质：例例h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系统的输出求系统的输出y(ny(n) )。m(n)解：设级联的第一个系统输出解：设级联的第一个系统输出 m(nm(n) )1.2.4 系统的因果性和稳定性在系统中，若输出在系统中，若输出y(ny(n) )只取决于只取决于n n时刻，以及时刻，以及n n时刻时刻以前的输入，即以前的输入，即称该系统是称该系统是因果系统因果系统。对对于于线线性性时时不不变变系系统统，具具有有因因果果性性的的充充要要条条件件是是系统的单位取样响应满足：系统的单位取样响应满足：如如因因果果系系统统是是指指输输出出的的变变化化不不领
17、领先于输入的变化的系统。先于输入的变化的系统。1.因果系统2.稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即条件是单位取样响应绝对可和，即稳稳定定系系统统是是指指对对于于每每个个有有界界输输入入x(nx(n) )，都都产产生生有有界界输输出出y(ny(n) )的的系系统统。即即如如果果| |x(n)|M(Mx(n)|M(M为为正正常常数数) )，有有| |y(ny(n)|+)|+，则该系统被称为，则该系统被称为稳定系统稳定系统。 1.2.4 系统的因果性和稳定性例设某线性时不变系统，其单位冲激响应为设某线性时不变系统，其单
18、位冲激响应为式中式中a a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：解：由于由于n0n0时，时，h(nh(n)=0)=0，故此系统是因果系统。，故此系统是因果系统。所以所以 时，此系统是稳定系统。时，此系统是稳定系统。例 设某线性时不变系统，其单位冲激响应为设某线性时不变系统，其单位冲激响应为式中式中a a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：解：(1)(1)讨论因果性讨论因果性由于由于n0n0时，时，h(n)h(n) 0 0，故此系统是非因果系统。，故此系统是非因果系统。 (2)(2)讨论稳定性讨论稳定性所以所以 时
19、，此系统是稳定系统。时，此系统是稳定系统。1.3 线性常系数差分方程一个一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：阶线性常系数差分方程用下式表示：连续时间线性时不变系统连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 线性常系数差分方程线性常系数差分方程求解差分方程的基本方法有三种：求解差分方程的基本方法有三种：经典法经典法求齐次解、特解、全解求齐次解、特解、全解递推法递推法求解时需用初始条件启动计算求解时需用初始条件启动计算变换域法变换域法将差分方程变换到将差分方程变换到Z Z域进行求解域进行求解例设差分方程为设差分方程为求输出序列求输出序
20、列 ？ 假设输入为假设输入为，初始条件为，初始条件为解：解：1.3 线性常系数差分方程依次类推依次类推综合初始条件综合初始条件1.3 线性常系数差分方程延时延时延时延时a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法是可直接得到系统的结构差分方程表示法是可直接得到系统的结构1.3 线性常系数差分方程1.4 连续时间信号的抽样连续时间连续时间信号信号离散时间离散时间信号信号抽样抽样内插内插1.1.信信号号经经过过采采样样以以后后，将将发发生生一一些些什什么么变变化化？例例如，信号频谱将发生怎样变化；如，信号频谱将发生怎样变化；2.2.经过采样
21、后信号内容会不会有丢失；经过采样后信号内容会不会有丢失；3.3.如如果果信信号号没没有有被被丢丢失失，其其反反变变换换应应该该怎怎样样进进行行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 ？抽样是什么？S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高频率为最高频率为fc 理想抽样理想抽样1.4.1 理想抽样理想抽样概念概念xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定义定义单位冲激函数t0 (t)(1)单位冲激函数的单位冲激函数的抽样性抽样性： 若若f f( (t t) )为连续函数，则有为连续函数，则有将上式推广，可得将上式推广，可得t0 (t
22、-t0)1.4.1 理想抽样理想抽样概念概念即即即即-11.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱由于由于 是周期函数是周期函数可用傅立叶级数表示，即可用傅立叶级数表示，即采样角频率采样角频率系数系数1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱对称性对称性移频特性移频特性根据根据1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱0(S)S2S-S-2SS1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱即即抽样信号的频谱是原模拟信号频谱抽样信号的
23、频谱是原模拟信号频谱的的周期延拓周期延拓，其延拓周期为，其延拓周期为 s s 。1.4.1 理想抽样理想抽样抽样信号的频谱抽样信号的频谱讨论：讨论： S/2 C S2 S3 S 0- - S(c)- C C S/2 0(a)最高截最高截止频率止频率 S/2 0- - S2 S S(b)1.4.1 理想抽样理想抽样抽样定理抽样定理Nyquist频率频率折叠频率折叠频率 C S/2 S 0- S抽样定理抽样定理：要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（ s 2 C）。）。
24、由上面的分析有，由上面的分析有，频谱发生混叠的原因频谱发生混叠的原因有两个：有两个：1.采样频率低采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带连续信号的频谱没有被限带1.4.1 理想抽样理想抽样抽样定理抽样定理0C 2C 3C 4C 可选s =(34)C 低通采样1.4.1 理想抽样理想抽样抽样定理抽样定理对于频带非带限信号对于频带非带限信号1.频域分析频域分析且在 时，0 T S/2- S/2 G(j)g(t)1.4.2 抽样的恢复（信号重建）时，时，0001.4.2 抽样的恢复（信号重建）2.时域分析时域分析g(t)时，0T1.4.2 抽样的恢复（信号重建）或或称为内插函数称为内插函数1.4.2
25、 抽样的恢复（信号重建）抽样内插公式抽样内插公式抽抽样样内内插插公公式式表表明明：只只要要满满足足采采样样频频率率高高于于两两倍倍信信号号最最高高截截止止频频率率，则则整整个个连连续续时时间间信信号号就就可可以以用它的抽样值来完全代表，而不会丢失任何信息。用它的抽样值来完全代表，而不会丢失任何信息。 1.4.2 抽样的恢复（信号重建）tnT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T内插函数内插函数抽样的内插恢复抽样的内插恢复Homework： P411 4 6 7 8 9 11 121.4.2 抽样的恢复（信号重建）本章小结本章小结n掌握掌握序列的概念、几种典型序列的定义、序列的序列的概念、几种典型序列的定义、序列的基本运算及序列的周期性判断。基本运算及序列的周期性判断。n掌握掌握线性线性/ /移不变移不变/ /因果因果/ /稳定的离散时间系统的概稳定的离散时间系统的概念及判断，念及判断，掌握掌握线性移不变系统及其因果性线性移不变系统及其因果性/ /稳定稳定性判断的充要条件。性判断的充要条件。n理解理解常系数线性差分方程常系数线性差分方程n掌握掌握抽样定理。抽样定理。
