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1、第七章 埃尔米特（Hermite）多项式特殊函数之三1第七章埃尔米特多项式7.1 Hermite多项式的定义1. n阶阶Hermite方程的解方程的解n阶阶Hermite方程方程用幂级数法求解该方程，设方程的解为用幂级数法求解该方程，设方程的解为代入方程，整理，得代入方程，整理，得从而有从而有由上式知由上式知2第七章埃尔米特多项式3第七章埃尔米特多项式从而得方程的解为从而得方程的解为4第七章埃尔米特多项式其中是任意常数，又是方程的两个线其中是任意常数，又是方程的两个线性无关的解，故上式是方程的通解。性无关的解，故上式是方程的通解。两个级数在实数域内收敛。两个级数在实数域内收敛。5第七章埃尔米特
2、多项式考察系数递推关系式考察系数递推关系式为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为2. Hermite多项式多项式当当n是正整数（包括零）时，是正整数（包括零）时，进一步知，进一步知，当当n是偶数（包括零）时，变成了多项式，是偶数（包括零）时，变成了多项式，仍为无穷级数；当仍为无穷级数；当n是奇数时，变成了多项式，仍是奇数时，变成了多项式，仍为无穷级数。为无穷级数。 则则6第七章埃尔米特多项式则则7第七章埃尔米特多项式取则取则当当n为为偶数时，有系数，对应多项式偶数时，有系数，对应多项式为关于为关于x的偶次方的的偶次方的多项式多项式当当n为为
3、奇数时，有系数，对应多项式奇数时，有系数，对应多项式为关于为关于x的奇次方的多项式的奇次方的多项式n次次Hermite多项式多项式8第七章埃尔米特多项式统一写法，有统一写法，有前几次前几次Hermite多项式多项式9第七章埃尔米特多项式7.2 Hermite多项式的母函数与递推公式令令将其展开成变量将其展开成变量t的的Taylor级数，则有级数，则有则是则是n次次Hermite多项式。多项式。证明：证明：10第七章埃尔米特多项式比较同次幂系数有比较同次幂系数有即即11第七章埃尔米特多项式即即比较同次幂系数有比较同次幂系数有即即12第七章埃尔米特多项式 是是Hermite方程的解，故是方程的解，
4、故是Hermite多项式。多项式。定义：称是定义：称是Hermite多项式的母函数。多项式的母函数。Hermite多项式的微分形式：多项式的微分形式：13第七章埃尔米特多项式Hermite多项式的微分形式：多项式的微分形式：Hermite多项式的递推公式：多项式的递推公式：14第七章埃尔米特多项式证明从略。证明从略。7.3 Hermite多项式的正交性及其应用结论：结论：Hermite多项式在上关于权函数多项式在上关于权函数 正交，即正交，即结论：结论：设设f(x)为定义在上的函数，且满足为定义在上的函数，且满足（1）f(x)在任何有限区间内都是分段光滑的函在任何有限区间内都是分段光滑的函数；数；（2）15第七章埃尔米特多项式则则f(x)必能展成如下形式的级数：必能展成如下形式的级数：其中其中在不连续处有在不连续处有在连续处有在连续处有16第七章埃尔米特多项式解解 ：设设则则注：注：例例2 2：将将 在在 内展成内展成Hermite多项式多项式的级数形式的级数形式 17第七章埃尔米特多项式故故18第七章埃尔米特多项式
