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1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中: 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下
2、页 返回 结束 表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量: 模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,记作 e 或e .或 a .高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同
3、一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法向量的减法三角不等式高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 可见3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :总
4、之:运算律 : 结合律分配律因此 与 a 的乘积是一个新向量, 记作高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab反向时取负号, a , b 同向时取正号则 b 与 a 同向,设又有 b a ,高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 “ ”则例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的
5、数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个)1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念zOx面高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 在直角坐标系下向径坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 :高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角
6、坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量,的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.记记 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组解解: 2 3 , 得代入得高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 已知两点在AB所在直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即高等数学zD81向量及运算目录 上页
7、下页 返回 结束 说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求证以证证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 在 z 轴上求与两点等距解解: 设该点为解得故所求点为及思考思考:(1) 如何求
8、在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?提示提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例例6. 已知两点解解:求AB的单位向量 e .高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴,
9、轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质:高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量在轴上的投影
10、向量在轴上的投影第二节 则 a 在轴 u 上的投影为 例如, 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 即 投影的性质投影的性质2) 1) (为实数) 高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 例例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如图所示, 记 MOA = , 作业作业 P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解解: 因1. 设求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为高等数学zD81向量及运算目录 上页 下页 返回 结束 2. 设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平高等数学zD81向量及运算
