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1、1.3中国古代数学中的算法案例第一章算法初步学习目标1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原 理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学知识点一更相减损术更相减损术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若不是，执行 .第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.偶数2第二步较
2、大较小较小相等知识点二割圆术1.割圆术的算法S1假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n6，则正六边形的面积S66S2利用公式S2nSnn xn(1hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形的面积.因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值.2.割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割
3、之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”思考知识点三秦九韶算法衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)x5x4x3x2x1变形为f(x)(x1)x1)x1)x1)x1，然后求当x5时的值，为什么比常规逐项计算省时？从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算.答案 秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算 一次多项式的值，即v1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2，v3，vn，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.最
4、内层括号内梳理梳理anxan1v1xan2v2xan3vn1xa0n个一次多项式题型探究题型探究例例1试用更相减损术求612、396的最大公约数.解答类型一更相减损术方法一6122306,3962198,3062153,198299，1539954,995445,54459,45936,36927,27918,1899.所以612、396的最大公约数为92236.方法二612396216,396216180,21618036,18036144,14436108,1083672,723636.故36为612、396的最大公约数.用更相减损术的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n，不妨设mn.第
5、二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，dmn.第四步，判断“dn”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1用更相减损术求261和319的最大公约数.解答31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，319与261的最大公约数为29.例例2已知一个5次多项式为f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值.类型二秦九韶算法的基本思
6、想解答秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高.反思与感悟跟跟踪踪训训练练2用秦九韶算法求多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x当x3时的值.f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，所以有v07，v173627，v2273586，v38634262，v426233789，v5789322 369，v62 369317 108，v77 108321 324.故当x3时，多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值为21 324.解答当堂训练当堂训练1.用秦九韶算法计算多项式f(x)6x65x54x43x32x2x
7、7在x0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为A.10 B.9C.12 D.822331f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7，做加法6次，乘法6次，6612(次)，故选C.答案解析2.已知f(x)2x3x3，用秦九韶算法求当x3时v2的值.f(x)2x3x32x30x2x3(2x0)x1)x3，v02，v12306，v263119.解答233113.用更相减损术求1 734和816的最大公约数.因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.867408459,45940851,40851357，35751306,30651255,25551204，20451153,15351102,1025151.所以867和408的最大公约数是51，故1 734和816的最大公约数是512102.解答22311规律与方法1.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.2.用秦九韶算法求多项式f(x)当xx0的值的思路为(1)改写；(2)计算(3)结论f(x0)vn.本课结束
