12第十二章动能定理

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1、第十二章第十二章 动动 能能 定定 理理山 东 农 业 大 学 水 利 土 木 工 程 学 院第一节功和动能第二节 动能定理第三节 势力场和机械能守恒定律第四节普遍定理的综合应用第一节功和动能第二节 动能定理第三节 势力场和机械能守恒定律第四节普遍定理的综合应用一、力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。 与与动动量量定定理理和和动动量量矩矩定定理理用用矢矢量量法法研研究究不不同同，动动能能定定理理用用能能量量法法研研究究动动力力学学问问题题。能能量量法法不不仅仅在在机机械械运运动动的的研研究究中中有有重重要要的的应应用用，而而且且是是沟沟通通机机械械运运动动和和

2、其其它它形形式式运运动动的的桥桥梁梁。动动能能定定理理建建立立了了与与运运动动有有关关的的物物理理量量动动能能和和作作用用力力的的物物理理量量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。功之间的联系，这是一种能量传递的规律。单位单位 J（焦耳）焦耳） 1 J = 1 Nm 功是代数量功是代数量第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 一、一、力的功力的功1、常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功时，做正功；时，做正功；时，做功为零；时，做功为零；时，做负功。时，做负功。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 M1M2Ms其中，其中，F 为力的大小，为力的大小， 为力为力 的作用点的位

3、移，的作用点的位移，为力为力 与与位移位移 之间的夹角。之间的夹角。【注意注意】力做功时，位移是力作用点的位移，与物体无关。力做功时，位移是力作用点的位移，与物体无关。2、变力的功、变力的功1）元功）元功元功元功第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 一、一、力的功力的功设质点点 M 在在集集中中力力作作用用下下沿沿曲曲线运运动，如如图所所示示。力力在在无无限限小小位位移移 中中可可视为常常力力，经过的的一一小小段段弧弧ds 可可视为直直线， 可可视为沿沿点点的的运运动轨迹迹的的切切线方方向向。在在一一无无限限小小位位移移 中中力力做做的的功功称称为元功，以元功，以 W 表示。表示。M

4、1M2dsMM第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 xyzOrM1M2Myxz2、变力的功、变力的功1）元功）元功一、一、力的功力的功（自然法）（自然法）（矢量法）（矢量法）（直角坐标法）（直角坐标法）O第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 xyzOrM1M2Myxz2、变力的功、变力的功2）总功）总功一、一、力的功力的功力力 在曲线中作功为在曲线中作功为（自然法）（自然法）（矢量法矢量法）（直角坐标法）（直角坐标法） 质点质点M 受受n个力，合力个力，合力 的总功为的总功为 即即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。第一

5、节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 3、合力的功、合力的功一、一、力的功力的功CCyxz4、几种常见力的功、几种常见力的功1）重力的功）重力的功 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在初、末质点系重力的功，等于质点系的重量与其在初、末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 一、一、力的功力的功xyzO第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功2）弹性力的功）弹性力的功一、一、力的功力的功OM2r2M1r112l0在弹性极限内在弹性极限内弹簧原长为弹

6、簧原长为l0 ，k 为弹簧的刚度系数，为弹簧的刚度系数， 为单位矢量。为单位矢量。rM第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 2）弹性力的功）弹性力的功弹性力做功只与弹簧初、末位置的弹性力做功只与弹簧初、末位置的变形有关，与质点的运动路径无关。变形有关，与质点的运动路径无关。OM2r2M1r112l0rM3）定轴转动刚体上力的功）定轴转动刚体上力的功4、几种常见力的功、几种常见力的功即作用于转动刚体上力的即作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。功等于力矩的功。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 设设在在定定轴轴转转动动的的刚刚体体上上M点点作作用用有有力力，且且 ，M点点的的

7、运运动动轨轨迹迹为为一一个个圆圆周周。转转过过一角度一角度d 时力时力 所作的元功为所作的元功为力力 所作的总功为所作的总功为 dz4）定轴转动刚体上力偶的功）定轴转动刚体上力偶的功第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 若若Mz = 常量常量, 则则对于对于定轴转动刚体上力或力偶定轴转动刚体上力或力偶做功应特别注意功的正负问题：做功应特别注意功的正负问题：当Mz 与 的转向相同时，做功为正，反之做功为负。4、几种常见力的功、几种常见力的功 dz4）平面运动刚体上力系的功）平面运动刚体上力系的功设作用于平面运动的刚体上的一个力系的主矢为设作用于平面运动的刚体上的一个力系的主矢为FR，

8、力系相对质心的主矩为力系相对质心的主矩为MC。当质心由。当质心由C1运动至运动至C2时，时，转角转角由由 1变为变为 2时，则该力系所做的功为时，则该力系所做的功为即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力做功的即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力做功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶做功的代数代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶做功的代数和。和。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功5）摩擦力的功）摩擦力的功 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力做功为零 动滑动摩擦力常做负功FN为常量时，为常量时， W= f FN S，

9、与质点的路径有关。，与质点的路径有关。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功摩擦力作用于瞬心摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移，处，而瞬心的元位移，摩擦力的元功摩擦力的元功 ROCm 滚动摩擦阻力偶m的功 若若m = 常量则常量则6）万有引力的功）万有引力的功万有引力所做功只与质点的始末位置有关，与路径无关。万有引力所做功只与质点的始末位置有关，与路径无关。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 5）摩擦力的功）摩擦力的功4、几种常见力的功、几种常见力的功 ROCm7）质点系内力的功）质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变，内力的

10、元功和就等于零两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零；刚体的内力功之和等于零；不变质点系的内力功之和等于零；刚体的内力功之和等于零；不可伸长的绳索内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功rAOABrB8）理想约束反力的功）理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束理想约束。 活动铰支座、向心轴承和光滑面约束第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功FNFNFN公切线公切

11、线公切线公切线公法线公法线FN8）理想约束反力的功）理想约束反力的功第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 4、几种常见力的功、几种常见力的功 刚体沿固定面作纯滚动 固定铰支座 ROCmFxFyA 光滑铰链（中间铰） 固定端约束第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 8）理想约束反力的功）理想约束反力的功4、几种常见力的功、几种常见力的功 柔索（不可伸长）约束 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。CFCFCCC第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 （ 为第为第i个质点相对质心的速度）个质点相对质心的速度）2、质点系的动能、质点系的动

12、能二、动能二、动能动动能能是是瞬瞬时时量量，与与速速度度方方向向无无关关的的正正标标量量，具具有有与与功功相相同同的的量量纲纲，单位也是单位也是 J 。 对于任一质点系，有对于任一质点系，有这称为这称为柯尼希定理柯尼希定理。1、质点的动能、质点的动能第一节第一节功和动能功和动能第十二章 动能定理 平移刚体的动能平移刚体的动能定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能3、刚体的动能、刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能（速度瞬心为（速度瞬心为P）或或二、动能二、动能 CP Pd第一节功和动能第二节 动能定理第三节 势力场和机械能守恒定律第四节普遍定理的综合应用一、质点的动能定理一、质点的动能

13、定理第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 M1M2M两边点乘以，有两边点乘以，有因此因此动能定理的微分形式积分得积分得动能定理的积分形式二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理即即 对整个质点系，有对整个质点系，有对质点系中的一质点对质点系中的一质点Mi，有，有，沿路径沿路径 积分，可得质点系积分，可得质点系动能定理的积分形式动能定理的积分形式第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 这就是质点系这就是质点系动能定理的微分形式动能定理的微分形式。已知：已知：m，h，k，求求： max第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 例例12-1已知：已知：m，h，k，求求： ma

14、x第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 例例12-1【解】动能定理的积分形式动能定理的积分形式mhmaxIIIIII第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 冲冲击击试试验验机机的的摆摆锤锤 质质量量m=18kg，L=840mm，杆杆重重不不计计，在在 1=70时时静静止止释释放放，冲冲断断试试件件后后摆摆至至 2=29，求求冲冲断断试试件需用的能量。件需用的能量。第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 例例12-2【解】取摆锤为研究对象，取摆锤为研究对象，代入相关数据，解得冲断试件需要的能量为代入相关数据，解得冲断试件需要的能量为第二节动能定理第二节动能定理第十二章

15、动能定理 均均质质圆圆轮轮O的的R1、m1，质质量量分分布布在在轮轮缘缘上上；均均质质圆圆轮轮C的的R2、m2纯纯滚滚动动，初初始始静静止止； 、M为为常常数数。求求轮轮心心C走走过过路路程程 S 时的速度和加速度。时的速度和加速度。 例例12-3【解】1）取轮系为研究对象）取轮系为研究对象2）受力分析，求总功）受力分析，求总功3）运动分析，求动能）运动分析，求动能第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 3）运动分析，求动能）运动分析，求动能【解】4）根据动能定理求解）根据动能定理求解第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 【解】4）根据动能定理求解）根据动能定理求解式式 是函

16、数关系式，两端对是函数关系式，两端对 t 求导，得求导，得第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 长长为为b质质量量为为m0 的的两两均均质质杆杆AB和和BC在在B点点用用铰铰链链相相连连。杆杆AB的的A端端和和固固定定铰铰链链支支座座相相连连，杆杆BC 在在C 处处用用铰铰链链与与一一均均质质圆圆柱柱体体（作作纯纯滚滚动动）连连接接。圆圆柱柱的的质质量量为为M，半半径径为为r。在在B点点作作用用一一铅铅垂垂力力F。A、C两两点点处处于于同同一一水水平平线线上上，杆杆AB与与水水平平线线夹夹角角为为 。初初始始时时系系统统静静止止不不动动，求求系系统统运运动动到到杆杆AB和和杆杆BC均

17、处于水平位置时，杆均处于水平位置时，杆AB的角速度的角速度。 例例12-4【解】ABCFrCrBFAvCvB第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 采用动能定理求解。采用动能定理求解。AB作定轴转动，作定轴转动，水平位置时水平位置时BC 作瞬时平动（作瞬时平动（C 为瞬心）。为瞬心）。【解】ABCFrCrBFAvCvB已已知知轮轮O、轮轮C质质量量为为m，半半径径为为R，弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为k，初初瞬瞬时时系系统统平平衡衡， A与与地地面面距距离离为为h。若若要要使使物物体体A恰恰好到达地面，问初速度好到达地面，问初速度 v0 应为多少？应为多少？1）取整体为研究对象。）取整体

18、为研究对象。2）受力分析，求总功。）受力分析，求总功。设初瞬时弹簧伸长量为设初瞬时弹簧伸长量为x0 0，则，则第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 例例12-5【解】3）运动分析，求动能。）运动分析，求动能。4）列方程求解）列方程求解。第二节动能定理第二节动能定理第十二章 动能定理 【解】第一节功和动能第二节 动能定理第三节 势力场和机械能守恒定律第四节普遍定理的综合应用一、势力场和势能1力场力场若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场力场。2势

19、力场势力场在力场中在力场中, , 如果作用于质点的场力作功只决定于质点如果作用于质点的场力作功只决定于质点的初、末位置，与运动路径无关，这种力场称为的初、末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场势力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为势力场中受到的场力称为有势力有势力，如重力、弹力等。，如重力、弹力等。第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 3势能势能势力场中质点从位置势力场中质点从位置M 运动到任选位置运动到任选位置M0, 有势力所有势力所做的功称为质点在位置做的功称为质

20、点在位置M 相对于位置相对于位置M0的的势能势能，用，用V 表示。表示。势能具有相对性，势能具有相对性， M0作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为零势能点零势能点。其中，是坐标的单值连续函数。其中，是坐标的单值连续函数。第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 一、势力场和势能3势能势能等势面等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。：质点位于该面上任何地方，势能都相等。质点系的势能：质点系的势能：第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 一、势力场和势能取零势能点在弹簧无变形处时，取零势能点在弹簧无

21、变形处时，4重力势能重力势能5弹性势能弹性势能质点：质点：质点系：质点系：第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 二、势力场和势能二、功率二、功率 功率方程功率方程1、功率、功率作用力的功率：作用力的功率：力矩的功率：力矩的功率：（瓦特瓦特 W，千瓦，千瓦 kW，W=J/s ）力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 由由 的两边同除以的两边同除以

22、 dt 得得分析：起动阶段（加速）：即分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即稳定阶段（匀速）：即2、功率方程、功率方程或或第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 二、功率二、功率 功率方程功率方程3、机械效率、机械效率有效功率为有效功率为多级转动系统时，有多级转动系统时，有 机器稳定运行时，机器稳定运行时， ，机械效率为机械效率为 是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般 。输入功率输入功率有用功率，输出功率有用功率，输出功率无用功率，损耗功率无用功率，损耗功率第三节第三节

23、 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 二、功率二、功率 功率方程功率方程第三节第三节 势力场和机械能守恒定律势力场和机械能守恒定律第十二章 动能定理 由由及及三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律设质点系只受到有势力（或同时受到不作功的非有势力）设质点系只受到有势力（或同时受到不作功的非有势力） 作用，则作用，则机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这就是这就是机械能守恒定律机械能守恒定律。在这里当只有重力和弹性力做功时，就可以用该定律求在这里当只有重力和弹性力做功时，就可以用该定律求解物体系统的动力学问题解物体系统的动力学问题。它实际上是

24、动能定理的特殊情况。它实际上是动能定理的特殊情况。第一节功和动能第二节 动能定理第三节 势力场和机械能守恒定律第四节普遍定理的综合应用动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点当外力对定点O或质心的主矩为零时或质心的主矩为零时系统对定点或质心的动量矩守恒。系统对定点或质心的动量矩守恒。动

25、量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，无方向问题非负的标量，无方向问题内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能只有作功能改变动能只有作功能改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能可进行动能转化可进行动能转化应用时完全从功与能的观点出发应用时完全从功与能的观点出发只有有势力做功时，机械能守恒只有有势力做功时，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。心运动中动能的变化。一、三大定理的对比一、三大定理的对比第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理

26、的综合应用第十二章 动能定理 二、基本方法和注意事项二、基本方法和注意事项1、首先分析已知量和未知量及其关系，分析质点系的受力、首先分析已知量和未知量及其关系，分析质点系的受力及运动特点，如动量或动量矩是否守恒；及运动特点，如动量或动量矩是否守恒；2、可分别取整体或部分为研究对象；、可分别取整体或部分为研究对象；3、动量定理主要求约束反力，动量矩定理求加速度，动能、动量定理主要求约束反力，动量矩定理求加速度，动能定理可用来求速度和加速度；定理可用来求速度和加速度；4、简单问题可用质心运动定理、定轴转动微分方程或平面、简单问题可用质心运动定理、定轴转动微分方程或平面运动微分方程；运动微分方程；5

27、、复杂问题要分步求解，一般先求运动后求力；、复杂问题要分步求解，一般先求运动后求力；第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 二、基本方法和注意事项二、基本方法和注意事项6、动量、动量矩、动能一定要用绝对运动量；、动量、动量矩、动能一定要用绝对运动量；7、动量和动量矩定理通常用投影形式的方程，动能定理是、动量和动量矩定理通常用投影形式的方程，动能定理是代数方程；代数方程；8、注意、注意 与与S、v与与 、a与与 的关系，一个方程中最好只有一的关系，一个方程中最好只有一个未知量。个未知量。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 9、关于运动量

28、之间的关系，既可以由运动学方法求解，也、关于运动量之间的关系，既可以由运动学方法求解，也可以由动力学知识求解。可以由动力学知识求解。10、运动分析和受力分析绝不能任主观想象或自己认为。、运动分析和受力分析绝不能任主观想象或自己认为。三、求解未知量及常用定理三、求解未知量及常用定理求解未知量求解未知量常用定理常用定理约束力约束力速度速度加速度加速度绳子拉力或摩擦力绳子拉力或摩擦力位移或运动方程位移或运动方程动量定理微分形式、质心运动定理动量定理微分形式、质心运动定理动量矩定理、平面运动或定轴转动微分方程动量矩定理、平面运动或定轴转动微分方程动能定理积分形式（已知位移或路程）动能定理积分形式（已知

29、位移或路程）动量定理积分形式（已知时间）动量定理积分形式（已知时间）动量守恒、动量矩守恒、机械能守恒动量守恒、动量矩守恒、机械能守恒动能定理积分形式（已知位移或路程）动能定理积分形式（已知位移或路程）动能定理微分形式动能定理微分形式质心运动定理质心运动定理动量矩定理、平面运动或定轴转动微分方程动量矩定理、平面运动或定轴转动微分方程质心运动守恒、动量定理积分形式质心运动守恒、动量定理积分形式第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 四、基本步骤四、基本步骤1、取研究对象、取研究对象2、受力分析、受力分析1）动量守恒）动量守恒2）动量矩守恒）动量矩守恒3）求力矩）求力矩4

30、）求元功或总功）求元功或总功3、运动分析、运动分析1）求运动量的关系）求运动量的关系2）求动量）求动量3）求动量矩）求动量矩4）求动能）求动能4、列方程求解、列方程求解第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 均质杆均质杆OA长为长为l，质量为，质量为m，初始在水平位置无初速度释放。，初始在水平位置无初速度释放。求任求任意位置时杆的角速度和角加速度。意位置时杆的角速度和角加速度。只有重力做功。由质只有重力做功。由质点动能定理，有点动能定理，有将将( () )式求导数，得式求导数，得故故OA其中其中( () )第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动

31、能定理 例例12-6【解法一】mg 用刚体绕定轴转动的微用刚体绕定轴转动的微分方程求杆分方程求杆OA的角加速度，再积分的角加速度，再积分求角速度。求角速度。故故其中其中因为因为第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解法二】OAmg 重重150N的的均均质质圆圆盘盘与与重重60N、长长24cm的的均均质质杆杆AB在在B处处用用铰铰链链连连接接。系系统统由由图图示示位位置置无无初初速速地地释释放放。求求系系统统经经过过最最低低位位置置B点点时时的的速速度及支座度及支座A的约束反力。的约束反力。1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象，圆盘平动。，圆盘平动。2）取系统研

32、究，用动能定理求速度。）取系统研究，用动能定理求速度。初始时初始时T1=0 ，60ABBFW2FW1最低位置时：最低位置时：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-7【解】BFyFxFW2BvBB2）用动能定理求速度）用动能定理求速度由，由， 代入数据，得代入数据，得第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】T1=060ABBFW2FW1BvB3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。由于由于所以所以 =0 。杆质心杆质心C加速度：加速度：盘质心加速度：盘质心加速度：4）由质心运动定理求支座反力。）由质心

33、运动定理求支座反力。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 FAyFAxABFW2FW1vB【解】 已已知知：均均质质杆杆AB质质量量为为m1，长长度度为为l，均均质质圆圆轮轮 A 质质量量为为m2，半半径径为为R。初初始始位位置置时时系系统统静静止止，杆杆与与水水平平线线的的夹夹角角为为45，求此求此时点点A的加速度。的加速度。ABvB取系统为研究对象，在任意取系统为研究对象，在任意角角 时，有时，有EBAm1gm2g系统总动能：系统总动能：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-8【解】vACvE系统总功率：系统总功率：代入

34、功率方程：代入功率方程： 和和 vA 都是都是 t 的函数，且有：的函数，且有：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 ABvBEBAm1gm2gvACvE【解】第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 ABvBEBAm1gm2gvACvE【解】初瞬时，初瞬时， vA =0， =45，有，有 第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】Am2gaAFNFSFxFyEBAm1gFyFxFN1ABaBEBAaAaExaEy动力学方程动力学方程 6 个。个。运动学方程运动学方程 5 个。个。aA=R 对轮对轮A：对杆

35、对杆AB，分别以，分别以A、B为基点，研究质为基点，研究质心心E的加速度。的加速度。未知量未知量11个：个：FSFNFN1FxFyaAaBaExaEyAB均质杆均质杆AB，l，m，初初瞬时铅直静止瞬时铅直静止，无摩擦。无摩擦。求：求：1）B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至 角位置时的角位置时的 ， ，FBx, FBy； 2）B端脱离瞬间的端脱离瞬间的 和和 1；3）杆着地时的杆着地时的vC及及 2。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-9【解】1、根据动能定理求解、根据动能定理求解ABC第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定

36、理 【解】2、根据质心运动定理求反力、根据质心运动定理求反力ABC脱离瞬间时脱离瞬间时FBx=0。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】3、 脱离后，水平动量守恒脱离后，水平动量守恒脱离瞬时脱离瞬时ABC杆着地时，杆着地时，AC水平水平第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】式中式中ABCOCBMDh初初始始时时系系统统静静止止，图图示示系系统统中中，均均质质圆圆盘盘A、B各各重重FP，半半径径均均为为R, 两两盘盘中中心心线线为为水水平平线线，盘盘A上上作作用用一一常常力力偶偶矩矩M；重重物物D重重FQ。问问下下落落距距离

37、离h时时重重物物的的速速度度与与加加速度。速度。取系统为研究对象取系统为研究对象第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-10【解】BCAA上式求导得：上式求导得：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 OCBMDhBCAAB 若若小小猴猴以以加加速速度度a0相相对对于于绳子向上爬，求物体绳子向上爬，求物体A上升的加速度。上升的加速度。取整体为研究对象。取整体为研究对象。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-11【解】OArDEB 两两小小车车质质量量分分别别为为m1、m2，放放在在光光滑滑

38、的的水水平平面面上上，用用原原长长为为l0刚刚度度系系数数为为k的的弹弹簧簧相相连连。现现将将弹弹簧簧拉拉长长至至l后后，无无初初速速释释放放。求求弹弹簧簧第第一一次次恢恢复至原长时两车的速度。复至原长时两车的速度。动量守恒：动量守恒：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-12【解】ll0l机械能守恒：机械能守恒： 质质量量为为M的的物物块块静静止止在在光光滑滑的的水水平平面面上上，质质量量为为m的的小小球球沿沿其其上上一一半半径径为为r的的圆圆槽槽从从顶顶端端无无初初速速滑滑下下，其其中中M=3m。求求小小球球运运动动至至槽槽的的最最低点时相对于物块的

39、速度。低点时相对于物块的速度。动量守恒：动量守恒：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-13【解】机械能守恒：机械能守恒：rmMrmM 质质量量为为m的的小小球球在在光光滑滑的的水水平平面面上上作作匀匀速速圆圆周周运运动动。现现将将绳绳子子用用速速度度匀匀速速向向下下拉拉。设设绳绳子子足够长，求足够长，求 t 秒后小球的速度。秒后小球的速度。小球动量矩守恒：小球动量矩守恒：第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-14【解】OrutrzOm 质质量量为为M半半径径为为R的的圆圆筒筒外外表表面面上上有有一一导导角角为为的

40、的 的的光光滑滑导导轨轨，对对固固定定轴轴z的的转转动动惯惯量量为为J，初初瞬瞬时时静静止止。现现将将一一质质量量为为m的的小小球球从从导导轨轨上上的的某某处处无无初初速速释释放放。求求当当小小球球下下降降h时圆筒的角速度。时圆筒的角速度。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-15【分析】Rzh选整体为研究对象，受力分析选整体为研究对象，受力分析和运动分析，小球的相对速度和和运动分析，小球的相对速度和圆筒的角速度是未知量，系统动圆筒的角速度是未知量，系统动量矩守恒，并且机械能守恒。量矩守恒，并且机械能守恒。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用

41、第十二章 动能定理 【解】Rzh动量矩守恒动量矩守恒速度分析速度分析机械能守恒机械能守恒由以上两式，可解得由以上两式，可解得第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 已已知知两两均均质质轮轮质质量量均均为为m，半半径径均均为为R；弹弹簧簧系系数数为为k，物物块块质质量量为为m。于于弹弹簧簧原原长长处处无无初初速速释释放放。求求重重物物下下降降h时时的的速速度度、加加速速度度及及滚滚轮与地面的摩擦力。轮与地面的摩擦力。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-16【解】hOC将上式将上式( (* *) )对对t 求导有：求导有：得得第

42、四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】hOC由动量矩定理求摩擦力。由动量矩定理求摩擦力。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 已已知知轮轮I：r，m1；轮轮II：R=2r，m2；轮轮III：r，m3：压压力力角角(即即齿齿轮轮间间作作用用力力与与图图中中两两圆圆切切线线间间的的夹夹角角)为为20 ，物物块块：m。求求O1、O2处的约束力。处的约束力。 例例12-17【解】对整个系统进行分析对整个系统进行分析其中其中21M12第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的

43、综合应用第十二章 动能定理 【解】根据动能定理根据动能定理利用利用21M12研究研究 I 轮轮压力角为压力角为20。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】1M20研究物块研究物块A研究研究II轮轮第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】M202第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 已已知知均均质质轮轮O1质质量量为为m1，半半径径为为r1，均均质质杆杆O1O2质质量量为为m，长长为为L，常常力力矩矩M作作用用杆杆O1O2上上。轮

44、轮O1相相对对于于固固定定轮轮O2作作纯纯滚滚动动，处处于于水水平平面面上上内内，初始静止。求初始静止。求O1O2转过转过 角的角的 、 。 例例12-18【解】利用动能定理求解。利用动能定理求解。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】对式对式 求导后，可求得角加速度为求导后，可求得角加速度为第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】取系统为研究对象，取系统为研究对象，进行受力分析和运动分析，进行受力分析和运动分析，并根据功率方程求解。并根据功率方程求解。 已

45、知已知m, l0, k, R, J，求系统的运动微分方程。求系统的运动微分方程。 例例12-19第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】如果令如果令 0为弹簧的静为弹簧的静伸长，有伸长，有mg=k 0，以平衡位，以平衡位置为原点，则有置为原点，则有代入代入得系统运动的微分方程为得系统运动的微分方程为即即第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 已已知知：m，R，k，弹弹簧簧原原长长为为CA=2R，M为为常常力力偶偶。求求圆圆心心C无无初初速速度由最低点到达最高点时度由

46、最低点到达最高点时O处约束力。处约束力。 例例12-20【解】利用动能定理求角速度利用动能定理求角速度A第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】利用平面运动微分方程求加速度利用平面运动微分方程求加速度A第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】求解得求解得A第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 已知已知l, m，求杆由铅直倒下，求杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。刚到达地面时的角速度和地面约束力。第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-21【解】1

47、）求角速度）求角速度成成 角时，角时，时，时，ABCP2）求约束力）求约束力第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 【解】ABCPABC ABC C以以A为为基基点点，分分析析质质心心C的的加加速速度度。由由质质心心运运动动定定理理得得质质心心C的的加速度无水平分量，于是有加速度无水平分量，于是有质质量量为为m，长长为为l的的均均质质杆杆AB，开开始始时时在在竖竖直直位位置置，受受到到微微小小扰扰动动后后开开始始沿沿着着光光滑滑面面滑滑动动。求杆运动的角加速度。求杆运动的角加速度。BACPmgvC取杆为研究对象取杆为研究对象第四节普遍定理的综合应用第四节普遍定理的综合应用第十二章 动能定理 例例12-22【解】解得：解得：