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1、二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即即定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数则方程组则方程组的的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足: :导数；导数；
2、例例4. 设设解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求由题设由题设故有故有分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,1. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得(2001考研考研)解得解得因此因此2. 设设是由方程是由方程和和所确定的函数所确定的函数 , 求求解解:分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得(99考研考研)第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 一、一、
3、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .如个别为0, 则理解为分子为 0 .不全为0, 因此得法平面方程法平面方程 例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解: 由于对应的切向量为在, 故2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点, 且有时, 可表示为处的切向量为 例例2. 求曲线在
4、点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程解法解法1 令则即切向量法平面方程即解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0 . 则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面. 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 证证:在在 上
5、上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式时, 例例3. 求球面求球面在点在点(1 , 2 , 3) 处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:所
6、以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令1. 求曲线求曲线在点在点(1,1,1) 的切线的切线解解: 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.2. 如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切,提示提示: 设切点为设切点为则则(二法向量平行二法向量平行) (切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)例例4. 确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点
7、的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面, 因此有因此有证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此3. 设设 f ( u ) 可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为 4. 证明曲面证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒
