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1、4 导数在数在经济学中的运用学中的运用4.1边沿与边沿分析规律的方法叫作律的方法叫作边沿分析法。沿分析法。1、边沿本沿本钱设本钱函数为设本钱函数为 ，当产量由当产量由 变为变为 时，时，本钱函数的增量为本钱函数的增量为 ，这时本钱这时本钱函数的平均变化率函数的平均变化率 为平均意义下，为平均意义下， 边沿概念是沿概念是经济学中的一个重要概念，通常指学中的一个重要概念，通常指经济济变量的量的变化率。化率。利用利用导数来研数来研讨经济变量量边沿沿变化化当产量由当产量由 添加一个单位时所添加的本钱，当添加一个单位时所添加的本钱，当 时，假，假设上式极限存在，即上式极限存在，即 可可导，那么有，那么有
2、我我们称称 为边沿本沿本钱函数，其函数，其经济学的解学的解释为： 近似等于当产量为近似等于当产量为 时，假设再添加一个单位产量所需添加时，假设再添加一个单位产量所需添加的本的本钱。这是由于是由于 2、边沿收益沿收益设产品品销量量为 时的收益的收益为 称称为收益函数，收益函数，可可导时， 收益函数的收益函数的变化率化率称为销量为称为销量为 时该产品的边沿收入，它的经济学解释为：时该产品的边沿收入，它的经济学解释为： 近似等于当近似等于当销量量为 时，再，再销售一个售一个单位位产品所添加品所添加 或减少的或减少的总收益。收益。当当3、边沿利沿利润设某产品销量为设某产品销量为 时的总利润为时的总利润
3、为 ，当，当 可可导时，利，利润函数的函数的变化率化率称称为销量量为 时的的边沿利沿利润。近似等于近似等于销量量为它的它的经济学解学解释为：或减少的利或减少的利润.时，再多，再多销售一个售一个单位位产品所添加品所添加由于由于总利利润为总收入与收入与总本本钱之差，即之差，即 从而从而 可知可知边沿利沿利润是是边沿收益与沿收益与边沿本沿本钱之差。之差。设商品的需求量商品的需求量为 ，价价钱为 ，需求函数，需求函数 4、边沿需求沿需求称称为边沿需求函数。沿需求函数。经济意意义为：当价：当价钱为p时，价，价钱上上涨或下降或下降1个个单位，需求量将减少或添加位，需求量将减少或添加个单位。个单位。的反函数
4、的反函数称为价钱函数。称为价钱函数。例例1 设某厂消费某产品的固定本钱为设某厂消费某产品的固定本钱为2000元，消费元，消费 个产品的可变本钱为个产品的可变本钱为 元，假设产品的元，假设产品的销售价售价为30元，元，试求求边沿本沿本钱、边沿利沿利润以及以及边沿利沿利润为零零时的的产量。量。 解解 总本本钱函数函数为故故边沿本沿本钱函数函数又由总收益函数又由总收益函数 知，总利润函数为知，总利润函数为故故边沿利沿利润函数函数为显然，当月然，当月产量量为1000单位位时，边沿利沿利润为零。零。例例2设某产品需求量设某产品需求量 ，其中，其中 为价钱，为价钱，求边沿收益函数以及求边沿收益函数以及 时
5、的边沿收益。时的边沿收益。 解由总收益函数为解由总收益函数为 ，又根据需求函数知又根据需求函数知 从而从而总收益函数收益函数为故故边沿收益函数沿收益函数为令令由此可知，当由此可知，当销量小于量小于500时，再添加，再添加销售可使售可使总收入添收入添加，但加，但销量超越量超越500时，收益会减少。，收益会减少。由由得得4、2 弹性与性与弹性分析性分析定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义， 弹性概念是性概念是经济学中的另一个重要概念学中的另一个重要概念.相相对改改动量量(或增量或增量) 。在在经济学学问题中，光有中，光有绝对数的概念是不数的概念是不够的。的。例如
6、：甲商品价例如：甲商品价钱为5元，元，涨价价1 元；乙商品价元；乙商品价钱为200元，元，涨价价1 元。价元。价钱的的绝对改改动量一量一样，哪个商品，哪个商品涨价幅度更大？价幅度更大？我我们用与原价之比来回答，甲商品用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度价幅度为20%，乙商品，乙商品涨价幅度价幅度为0.5%.对函数函数分分别称称为自自变量与因量与因变量的量的且且 假设极限假设极限 存在，那么称此极限值为函数存在，那么称此极限值为函数 在在 处点弹性，处点弹性，记为记为，而称比值而称比值在在 到到 之间的平均弹性。之间的平均弹性。为函数为函数可知可知当当 很小时，得很小时，得 假设函数假设函数 在在
7、 可导，且对可导，且对 那么称那么称 ，为函数为函数 在区间在区间 内的点弹性函数，简称弹性函数。内的点弹性函数，简称弹性函数。弹性在性在经济上又可了解上又可了解为边沿函数与平均函数之比。沿函数与平均函数之比。近似地改动近似地改动表示在点表示在点处当处当产生产生1%的改动时，的改动时，在经济上在经济上运用中常略去近似二字。运用中常略去近似二字。12常用的常用的弹性公式性公式45;,baxaxExEyax+by+=3设商品的需求量为设商品的需求量为 ，价钱为价钱为 ，需求函数，需求函数 可可导，那么称，那么称 为该商品的需求的价商品的需求的价钱弹性，性，简称称为需求需求弹性，常性，常记为 表示某
8、商品表示某商品程度程度. 当价钱上涨时，需求减少，因此当价钱上涨时，需求减少，因此 是递减函数，是递减函数， 经济学中常学中常见的的弹性函数性函数 需求的价需求的价钱弹性性当价当价钱变化一定的百分比以后引起需求量的反映化一定的百分比以后引起需求量的反映普通为负值。普通为负值。从而从而有有1当当 时，称，称为单位位弹性，此性，此时商品需求量的商品需求量的变动与价与价钱变动按一按一样百分比百分比进展；展； 即即 商品需求量商品需求量变动的百分比高于价的百分比高于价钱变动的百分比，的百分比，阐明需求明需求阐明商品需求量明商品需求量变动的百分比低于价的百分比低于价钱变动的百分比，的百分比，即价即价钱变
9、动对需求影响不大。需求影响不大。 需求的价需求的价钱弹性在性在经济学中的意学中的意义：2当当时，称，称为高高弹性，此性，此时量量对价价钱的的变动较敏感；敏感；时，此时时，此时 3当当，称为低弹性，称为低弹性，例例3 设每天从甲地到乙地的每天从甲地到乙地的飞机票的需求量机票的需求量为为机票价机票价钱，问价价钱在什么范在什么范围内，需求内，需求为高高弹 其中其中性和低性和低弹性的？性的？ 解解 由于由于 故故 故当故当 时为低低弹性的。性的。例例4*4*知某企知某企业某某产品和需求品和需求弹性在性在之之间，假，假设 该企企业预备明年降价明年降价10% ，问该商品的商品的销售量估售量估计会添加会添加
10、即即时，为高弹性的，而当时，为高弹性的，而当多少？多少？总收益估收益估计会添加多少会添加多少？解由解由 得得从而从而时时当当 当当时，时，由于由于可见明年降价可见明年降价 ，企业销售量估计将添加约，企业销售量估计将添加约 总收入添加约总收入添加约 43经济中的中的优化化问题在在经济活活动中，中，经常有收益最大、本常有收益最大、本钱最低、效益最好最低、效益最好 等要求，等要求，实践上都是践上都是经济函数中的极函数中的极值或最或最值问题。 例例5某养猪某养猪场有固定本有固定本钱20000元，一年最多能养元，一年最多能养400 养猪数养猪数 的函数的函数 问一年养多少头猪问一年养多少头猪 头猪，知每
11、养一头猪本钱添加头猪，知每养一头猪本钱添加100元，且总收益元，且总收益 是是总利利润最大，最大最大，最大值是多少？是多少？解由解由 得得由由得得又又故故为极大值，为极大值， 从而从而为年最大利年最大利润。例例6某企业开发一种新产品，知消费销售某企业开发一种新产品，知消费销售 件产品件产品所需本钱所需本钱 元，假设每件产品价钱按元，假设每件产品价钱按 来定，问消费销售多少件产品，可以使来定，问消费销售多少件产品，可以使企企业盈利最大？此盈利最大？此时价价钱为多少？多少？解由解由得得令令 得独一驻点得独一驻点 又又故故为极大值点，从而亦为最大值点，此时为极大值点，从而亦为最大值点，此时元元作业p100 16;17;21.
