《大学数学微积分课件：第03讲 第二节、数列的极限 第三节、函数的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学微积分课件：第03讲 第二节、数列的极限 第三节、函数的极限（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20241第三讲第三讲 内容内容第二节、数列的极限第二节、数列的极限第三节、函数的极限第三节、函数的极限苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20242第二节、数列的极限第二节、数列的极限苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20243“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20244正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十
2、二边形的面积正正 形的面积形的面积苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202452 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20246例如例如定义定义:按自然数按自然数L, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 LL,21nxxx 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项). 数列数列记为记为nx. 苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20247注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列
3、数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整数函数数列是整数函数苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20248播放播放数列的极限数列的极限苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 20249问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202410苏州大学数学科学学院大学数学部
4、28 七月 202411如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202412几何解释几何解释:其中其中苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202413数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202414例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小
5、的N.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202415例例3证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202416例例4证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024171.唯一性唯一性 定理定理1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、数列极限的性质二、数列极限的性质苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024182.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202419定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收
6、敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202420证证则由定义则由定义,注：注：同理可证同理可证a0,使得使得:nN 时时总有总有xn 0推论：推论：如果从某个如果从某个N起起xn0则：则：定理定理3(3(收敛数列保号收敛数列保号) ) 则存在则存在N0,0,使得使得: :n N 时总有时总有xn 0.0.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202421注：注：如果数列的如果数列的2 2个子列极限不同，由定理个子列极限不同，由定理4 4断定断定该数列不收敛该数列不收敛定理定理4(4(子列收敛定理子
7、列收敛定理) ) 则它的任一子则它的任一子数列也收敛于数列也收敛于a. . 在一个数列在一个数列xn中任意抽取无限多项并保持它中任意抽取无限多项并保持它们原来的次序，即构成该数列的一个们原来的次序，即构成该数列的一个子数列子数列苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202422例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202423数列极限的小结数列极限的小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列
8、的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、保号有界性、唯一性、保号性、子列收敛定理性、子列收敛定理.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202424第三节、函数极限课件制作：汪光先 戴中寅 徐聪敏苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202425一、一、自变量趋向有限值自变量趋向有限值时函数的极限时函数的极限苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202426苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024273.图形上看图形上看:注：注：苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202428例例1 1证证例例2 2证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202429例例2
9、 2证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202430例例3 3证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024312.单侧极限单侧极限:苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202432左极限左极限右极限右极限左邻域右邻域苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202433左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例4 4证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202434播放播放二、自变量二、自变量趋向无穷大趋向无穷大时函数的极限时函数的极限苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202435通过上面演示实验的观察通
10、过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言如何用数学语言刻划刻划函数函数“无限接近无限接近”.苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202436苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024372.另两种情形另两种情形:苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024383.从图形上看从图形上看:苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202439例例5证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202440三、函数极限的性质三、函数极限的性质2.有界性有界性1.唯一性唯一性苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202441定理定理3(3(保号性保号性) )推论推论13
11、.保号性质保号性质苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202442推论推论3 3推论推论2 2以上以上2个推论称为个推论称为保序性保序性，只要将函数，只要将函数f(x)-g(x)代入定理代入定理3即可得到即可得到下面，我们就下面，我们就 A0来证明定理来证明定理3苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202443定理定理3(3(保号性保号性) )苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 2024444.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理4苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202445证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202446例例6 6证证苏州大学数学科学学院大学数学部28 七月 202447二者不相等二者不相等, 子列收敛定理可用于说明一个函数极限不子列收敛定理可用于说明一个函数极限不存在！存在！
