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1、 第三章第三章 一维射影几何学一维射影几何学 3.1 点列与线束点列与线束维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几 何学和线几何学都是二维的。点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底，设 ， 为定直线上二点， 为点列的动点，则：定义1定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。那个定点称为线束的心。ABCx =u a +v b设为过定点的直线为线束的动直线,则由代数知识,必有数使得所以,点列上任意一点M的坐标可表为:的形式,当时, 可表为的形式.为 点列的基点 3.2点列的交比点列的交比定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 定义为这四点 (
2、有向线段，而非距离） 交比可由简比求得 定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为： 则 按顺序点列的交比，用符号来记定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+ 推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是则点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不同的组别，每组的值是相同的。定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差则由定理3定理5可知：24个交比一般取六个不同
3、的数值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）讨论三种特殊情况： 令令若（1）当 六组交比值分别为；1，1，0， 当六组交比值分别为：（2）当 六组交比值分别为-1，-1，2，六组交比值分别为六组交比值分别为（3）第一种情况时 则若非点A与B重合，四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于第二种情况说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号，一个是内分点，一个是内外分点定义3：当时，则称C，D两点调和分割A，B两点或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶成调和共轭例1：三角形的内角平分线与外角平分线定理6：设 0为CD的中点，则例1：已知点A（1，4，1），B（0
4、，1，1），C（2，3，-3）在一条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比（AB，CD）=解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合ABCDE作业：1，4，5，63.3线束的交比线束的交比设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐标依次表示为 （a,b既代表直线，又代表它们的坐标向量）设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd)ABCDOab定理1：四直线 的交比为定理2：四直线 的交比 ，即线束中四直线的交比等于其相应参
5、数之交比。当 时，四直线为一调和线束，a和b称为对于c,d成一对调和共轭直线，c和d对于a,b也是一对调和共轭直线。例：一个角的两边被它的内角和外角平分线调和分割。四直线交比在初等几何的意义：取直线中心O为正交笛氏坐标原点，取一条不与四直线a,b,c,d任一条平行的直线作为y轴，将四直线的方程写为 （i=1,2,3,4),其中取 为斜 ，由于截线可任意选取，取直线作为截线。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x轴于M，这四点的纵坐标为：若以 分别表示四直线的倾角，则： OabcdABCDMxy1其中 表示把直线a到c的有向转角。例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。证明：如图，设
6、角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.例2：已知四直线a,b,c,d的方程为求证：这四直线共点，并求（ab,cd)abcd证明：且这四直线共点，这四直线的齐次方程为：作业：10，123.4一维射影坐标一维射影坐标定义1：若两个一维基本形 ， 的对应参数 之间满足双一次关系式：或把 表为u的射影函数形式：称 成射影对应，记为由定义1知，一维射影对应具有反身性,对称性和传递性。可以是：点列与点列，线束与线束，点列与线束。若 是u的射影函数，则u为 的射影函数。 为u的射影函数，的射影函数，则 的射影函数。 定理1：两个一维基本形成射影对应的充要条件是对应四元素的交比相等。证明：设两个一维基本
7、形为 其中对应，设由定义1可：反之：设前三对对应元素是固定的，第四对对应元素为变动的且交比相等，亦即：令：代入上式，整理得：且设 互不相等， 也不相等。由定义1可知：它们成射影对应。定理2（冯斯套特定理）如果已知两个一维图形中任意给定三对（各不相重）对应元素，那么就可以决定唯一的射影对应。证明：设两个一维基本形的三对各不相同的对应元素的参数为为任一对对应元素的参数。由定理1知可确定一个射影对应T。设还存在另一个射影对应，使所以如果已知三对各不相同的对应元素，则可以唯一地确定一个射影对应。例1：设两个一维基本形都是点列，并且所用的参数就是最常用的笛卡尔坐标。试用齐次笛氏坐标表示这两个点列之间的射
8、影对应式。解：由定理1知：改写为：代入上式得：所以两点列之间的射影对应式为：例2：圆周上的点和其上二定点相连所得的两个线束，如果把两线束中交于圆周上的两直线叫对应直线。试证这样的对应为射影对应。解：设为圆周上的两定点。A,B,C,D为圆周上任意四点。ASBCD例3：设两点列同府。求一射影对应使0，1，解：设第四对对应点为。由定理2可决定唯一的一个射影对应。又由定理1得：故所求的射影对应为：作业：16，21 3.5 透视对应透视对应定理1：设点设点s不在点列不在点列p+uq上，那么这点与点列上上，那么这点与点列上任意一点联线，所作成的线束与点列成射任意一点联线，所作成的线束与点列成射影对应。影对
9、应。证明：设点列的基底以矢量P和q表达，动点以p+uq 表达（如图1）. p s, q s, (p+uq ) s= (p s)+u (q s) 设PpsqsSqp+uqps+u (qs)图1将以知点S到这些点联线，这些直线的坐标分别是这是射影函数所以线束的坐标为 ，可见点列中动点的坐标为p+uq ，而线束中对应直线的坐标 为 ，参数间的关系为 .的特例： 点列与线束成射影对应 设直线设直线s不通过线束不通过线束p+uq的中心，那么这直线截的中心，那么这直线截这线束所得的点列与线束成射影对应。（如这线束所得的点列与线束成射影对应。（如图图2）点列和线束成点列和线束成射影对应对应线通过对应点的（对
10、射影对应对应线通过对应点的（对 应点在对应线上的），这种特殊的射影对应称为应点在对应线上的），这种特殊的射影对应称为透视对应透视对应。这时两个一维几何形式（点列与线束）称为互成透视状态或处于透视位置。定义定义1射影对应的符号符号: , 透视对应的符号符号:定理 ：pp+uqqpsps+u (qs)qss图图2o例例:点列(A,B,C, )和线束(a,b,c, )成透视对应记为:(A,B,C) (a,b,c)如果两个点列和同一个线束成透视对应如果两个点列和同一个线束成透视对应,则称两个则称两个点列点列成透视对应成透视对应（如图（如图3）。）。定义定义2:几何特征: 两点列中对应点的联线共点联线共
11、点透视中心图图3定义定义3:如果两个线束和同一点列成透视对应如果两个线束和同一点列成透视对应,则称两线则称两线束成透视对应束成透视对应（如图（如图4）。）。几何特征: 两线束中对应线的交点共线交点共线两点列成透视对应:(A,B,C,D) ( ) 两线束成透视对应: (a,b,c,d) ( )透视轴图图4定理定理2: 两个射影点列成透视的充要条件是两个射影点列成透视的充要条件是:两点列的两点列的 公共点自对应公共点自对应定理定理 :两个射影线束成透视的充要条件是:两线束的两线束的公共线自对应公共线自对应证明定理证明定理2:必要性:设直线l上的点列A,B,C, 与直线 上的点列 成透视.透视心为s
12、.设P为l与 的交点.这一点看作l上一点,其在 上的对应点 显然是这一点自身.充分性:设l 与 有两射影点列:且l与 的交点自对应,即P .下面来证明这两点列实际上成透视,即是说任意一对对应点的联 线 通过一定点. ( A,B,C, ) ( ) 联接A, ;B, 所得的直线相交于S,并设S与l上任意一点M的联线交 于 ,于是交比由射影对应的假设,又有 任意一对对应点的联线 通过一定点. lPCABMS( A,B,C,） （ ） 两点列成透视定理定理3: 对于两个不共底且不成透视的射影对应点列对于两个不共底且不成透视的射影对应点列,用两回透视对应就可以使第一点列转换为第二用两回透视对应就可以使第
13、一点列转换为第二点列点列.换言之换言之,这时的射影对应是由两回透视对这时的射影对应是由两回透视对应组成的应组成的证明证明:设A,B,C, 是以l 为底的 点列, 是以 为底的 点列 （如图（如图5） .两者成射影对应:联接与第一点列上诸点,得一与之成射影对应的线束记为 .同样联接A与第二点列上诸点,得一与之成射影对应的线束 .由射影对应的传递性得CAB图图5abcLl ( A,B,C, ) ( ) A( ) A ( ) A ( ) 由两线束成透视对应,则对应线的交点 在同一直线 上 ( A,B,C, ) ( ) 这两线束的公共线 是自对应的以 和A作透视心,经过两回透视第一点列转换成第二点列.
14、定理定理4:设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应对应,那么用三回透视就可以彼此转换那么用三回透视就可以彼此转换.换言之换言之这时的射影对应是由三回透视组成这时的射影对应是由三回透视组成.例例1:解:证明：已知一直线l上三点A,B,C求作第四点D使交比(AB,CD)=过C点任作一直线,在其上任取一点 , 并在其上作出一点 使有向线段之比 (若 0则 与 在C 的同侧若 0 则在异侧).以S表示 与 的交点,过S作 的 平行线交AB于所求点D设直线 上的无穷远点为 ， 有 ABCABCSDSD（ A,B,C,D ） （ AB,CD ）= = 例2：
15、试证明巴卜斯定理：在平面内直线 l上有三个相异点 A, B, C，另一直线 上也有三个相异点 ，而P, Q, R分别是 与 , 与 , 与 的交点，则P,Q,R在同一直线上证明:如图,设 与 交于D点, 与 交于E点, AB 与 交于点O,则CBAOPRQ 由于这两个射影对应的点列中有一对对应点（ ）重合。DE 由定义可知：AD, PR, EC交于一点。即PR要过AD, EC的交点Q。 P, Q, R共线 作业：P55 3.12、3.22、3.25 3.6对合对应对合对应同底的两点列或两个线束，称为重叠的两个一维几何形式.本形式到其自身的射影对应，则称为射影变换。一维基本形的射影变换一般有两个
16、自身对应元素。定义2：定义1：两个重叠的一维基本形式的射影对应，也就是一个一维基定理1：证明： 重叠而又成射影对应的两个一维形式中，以 u 和 表示的一对对应元素的参数，则它们之间有一个双一次关系式：所谓自身对应的元素。指的是这样一个数 s代表的元素：当u等于s时， 也等于s . 数s是下式的根:当a=0，b+c=0，d=0时， （2）是一个恒等式。则s可以为任何数。 每一个元素都是自对应的。这时的射影变换（1）为恒同变换。（幺变换）除1 外，（2）式是一个一元二次方程。有两个根 和 . 有两个自身对应元素当a 0时两根之一趋于无穷大把射影变换（1）进行分类：若自对应元素为两个互异的实元素，这
17、时的射影变换叫双曲型的。若自对应元素为两个重合的实元素，这时的射影变换叫抛物型的。若自对应元素为两个共轭复元素，这时的射影变换叫椭圆型。定义3设有集合M，使得M的任何元素都不变的变换叫M的恒等变换。例：设有两个重叠的点列，以 ， 作为一对对应点A， 的 的笛氏坐标。先看一个平移变换：；反射变换：（2）充分性：设一维射影变换为T：一维射影变换为对合的充要条件是它有一对不同的元素交定理3：都交互对应，则称为对合对应。（简称：对合）定义4：非恒等的一维基本形射影变换，若满足任何一对对应元素（1）必要性：由定义可知必要性显然成立。互对应。证明：是一 对不同的交互对应的参数。则T非恒等，且有：，(1)(
18、2)（1）-（2）得 T的表达式为 ：(3)（3）式中 是对称的。T为一对合。3式为对合的表达式。设是两对不同的交互对应元素的参数。则消去a,b,c得定理3：对合由两对不同的交互对应元素唯一确定。证明：因为对合对应的表达式表面上有三个参数a,b,c.实则只有它们的两个相互比值才是最重要的。所以两个条件就足以确定一个对合。推论2：在同一对应下，三对对应元素成为对合对应的充要条件为：定理5：一维射影变换T为对合的充要条件是T有两个不同的自对应元素，且这两个元素调和分割T的任一对对应元素。证明：设T为对合，则其表达式可为： 则T的自对 应元素S为方程的根。所以所以方程恒有两根。所以T有两个不同的自对
19、应元素，其参数设为所以对合是射影变换，所以交比相等。或将导致u与重合。这与对合不是恒同变换的假设矛盾所以这两个不同的自对应元素调和分割任一对对合对应元素。充分性：反推。定理6：对合对应式可写成下列两种范式之一证明：设任一对合对应式为：其中为任一对对应元素的参数。若则对合对应式可写作：或令若a=0 则对合对应式变为：例1：试求被两对对应元素0与-1，1与1所决定的对合方程。并确定该对合的方程的类型。解：设任一对合对应点为x与。则对合方程可由定理的推论1直接写出：即对合方程为：为双曲型例2：试求由两个二重点1，2所确定的对合方程。1：设所求的对合方程为：d=2a4a+4b+d=02:设为任何一对对合 对应点则32，33，35作业：
