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1、西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型第六部分第六部分 存存储分析分析西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型 6.1 存储系统的基本概念存储系统的基本概念一、存储系统一、存储系统物资的存储物资的存储, 根据目的不同可分三种根据目的不同可分三种:(1) 生产存储：生产存储：为了维持正常的生产而储备的原材料或半成品为了维持正常的生产而储备的原材料或半成品.(2) 产品存储：产品存储： 企业为了满足其生产部门的需要而存储的半企业为了满足其生产部门的需要而存储的半成品或成品；成品或成品；(3) 供销存储：供销存储：存储在供销部门的各种物资存储在供销部门的各种物资, 直接满足顾客的需要。直接满足
2、顾客的需要。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型(1) 根据生产和销售对物资的需求根据生产和销售对物资的需求, 必须从存储点取必须从存储点取出物资出物资, 造成存储量的下降造成存储量的下降, 形成存储系统的输出；形成存储系统的输出；(2) 随着输出而减少的存储物资必须要得到补充随着输出而减少的存储物资必须要得到补充, 相相应地对存货的补充是存储系统的输入；应地对存货的补充是存储系统的输入；(3) 存储系统的需求可分成确定的和随机的两种存储系统的需求可分成确定的和随机的两种.存存 储储补充补充需求需求西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型a. 企业进行在有计划的生产过程中对某一种原料企
3、业进行在有计划的生产过程中对某一种原料的需求量常常可用一个均衡的确量来表示。在一的需求量常常可用一个均衡的确量来表示。在一定条件下定条件下, 库存点的存货量是随时间递减的线性函库存点的存货量是随时间递减的线性函数，如下图示：数，如下图示：O存储量存储量时间时间b. 在商店的销售活动中在商店的销售活动中, 市场对商品的需求量常常市场对商品的需求量常常带有很大的随机性带有很大的随机性,不能用一个定量来表示不能用一个定量来表示, 只能用只能用一个随机变量来描述一个随机变量来描述;西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型c. 系统存货的补充方式可以通过向外界订货、采购系统存货的补充方式可以通过向外界
4、订货、采购, 或由内部自行生产；或由内部自行生产；d. 当向外界订货时当向外界订货时, 从发出订单到收从发出订单到收 到货物可能需到货物可能需要一定时间要一定时间, 这段时间称为拖后这段时间称为拖后(交货交货)时间或超前时间或超前(订货订货)时间。时间。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型二、存储总费用二、存储总费用(1) 存储总费用是衡量系统的存货系统控制得好坏的存储总费用是衡量系统的存货系统控制得好坏的主要因素。主要因素。(2) 存储系统支出的费用存储系统支出的费用:订货费、存储费、缺货费。订货费、存储费、缺货费。存储费存储费 存储物资所占用资金应付的利息、物资的存储物资所占用资金应
5、付的利息、物资的存储损耗、折旧和跌价、保险费、仓库及设备的维存储损耗、折旧和跌价、保险费、仓库及设备的维修费保险费、存储物资的保养费、搬运费等修费保险费、存储物资的保养费、搬运费等,每单位每单位物资在单位时间所需花费的费用记为物资在单位时间所需花费的费用记为c1(元元/件件时间时间)订货费订货费: 为补充库存为补充库存, 办理每次订货所发生的有关费办理每次订货所发生的有关费用用, 包括订货过程中的手续费、通讯费、差旅费、检包括订货过程中的手续费、通讯费、差旅费、检验费、验收费、设备调试费、材料费等。订货费只验费、验收费、设备调试费、材料费等。订货费只与订货次数有关与订货次数有关, 而与订购或生
6、产的数量无关而与订购或生产的数量无关, 记每记每次的订货费为次的订货费为c3 元。元。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型缺货损失费缺货损失费: 由于存货供不应求时引起的损失。由于存货供不应求时引起的损失。 衡量缺货损失有两种方式衡量缺货损失有两种方式: a. 缺货费与缺货数量和时间成正比时缺货费与缺货数量和时间成正比时, 常以缺货一件常以缺货一件为期一年为期一年(付货时间延长一年付货时间延长一年)造成的损失费来表示造成的损失费来表示; b. 缺货费仅与缺货数量有关缺货费仅与缺货数量有关, 与缺货时间长短无关时与缺货时间长短无关时, 以缺货一件造成的损失赔偿费来表示以缺货一件造成的损失赔
7、偿费来表示. 记单位物资在记单位物资在单位时间所需花费的费用为单位时间所需花费的费用为c2(元元/件件时间时间)。v 由于缺货损失费涉及丧失信誉跌跌带来的损失由于缺货损失费涉及丧失信誉跌跌带来的损失, 这这比单纯的存储费、订货费更难于准确确定比单纯的存储费、订货费更难于准确确定, 要根据具要根据具体要求分析计算体要求分析计算,将缺货造成的损失数量化。将缺货造成的损失数量化。v 不同的存储系统的存储总费用是不完全相同的，不同的存储系统的存储总费用是不完全相同的，在建立模型时应该首选确定哪些成本应该纳入到存在建立模型时应该首选确定哪些成本应该纳入到存储模型中。储模型中。西南民族大学经济学院 毛瑞华
8、 经济数学模型三、存储策略三、存储策略 存储论要解决多少时间补充一次以及每次补充存储论要解决多少时间补充一次以及每次补充数量的问题，即确定对存储系统的存货补充量及补数量的问题，即确定对存储系统的存货补充量及补充时机的方法。常用的存储策略有下面三种充时机的方法。常用的存储策略有下面三种:1. t0 循环策略循环策略(经济批量法经济批量法) 每隔每隔 t0 时间补充存储量为时间补充存储量为Q, 使库存水平达到使库存水平达到 S。 2. (s, S) 策略策略当存储量当存储量xs时不补充时不补充, 当当x s时补充存储量时补充存储量Q=S-x, 使得库存水平达到使得库存水平达到S, 其中其中 s 称
9、为最低库存量。称为最低库存量。3. (t0, s, S) 混合策略混合策略每隔每隔 t0 时间检查存储量时间检查存储量x,当当 x s 时不补充时不补充; 当当 x s 时补充存储量时补充存储量Q=S-x, 使得库存水平达到使得库存水平达到S。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型四、目标函数四、目标函数 在存储问题中常用的目标函数为在存储问题中常用的目标函数为平均费用函数平均费用函数或平均利润函数或平均利润函数, 选择的策略应该是使得平均费用达选择的策略应该是使得平均费用达到最小或平均利润达到最大。到最小或平均利润达到最大。存储模型可分成两类：存储模型可分成两类： (1) 确定性存储模型
10、确定性存储模型: 模型中的数据均为确定的数据模型中的数据均为确定的数据; (2) 随机存性储模型随机存性储模型: 模型中的数据为随机变量。模型中的数据为随机变量。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型6.2 确定性存储模型确定性存储模型一、经济订货批量模型一、经济订货批量模型 (Economic Ordering Quantity Model ) 经济订货批量模型对应的存储系统的特点：经济订货批量模型对应的存储系统的特点：1.用户具有连续折、均匀的需求用户具有连续折、均匀的需求,即需求率即需求率D为常数为常数;2.当存储将到零量当存储将到零量,立即得到补充立即得到补充(订货后立即交货订货后
11、立即交货);3. 缺货损失费无穷大缺货损失费无穷大,即不允许缺货即不允许缺货;4. 每次订货量每次订货量Q不变不变,订货费常数订货费常数; 5. 单位存储费为常数单位存储费为常数c1。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型存储量系统的变化情况示意图存储量系统的变化情况示意图tQ斜率斜率D2t拖后时间拖后时间拖后时间拖后时间O存储量存储量时间时间订货周期订货周期 t 西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型模型分析：模型分析：1. 在时间在时间t 内的平均总费用内的平均总费用C(t)包括存储费、订货包括存储费、订货费、和成本费等三项平均费用之和。费、和成本费等三项平均费用之和。2. 每隔每
12、隔 t 时间补充一次存储时间补充一次存储, 则订货量必须满足则订货量必须满足t 时间的需求时间的需求 Dt , 即即 Q=Dt。 在在t 时间内的平均存储量为时间内的平均存储量为 由于单位存储费为由于单位存储费为c1, 因此因此 t 时间的平均存储时间的平均存储 c1Dt /2。又订货费为。又订货费为c3, 并设货物单价为并设货物单价为K, 则在时则在时间间 t 内订购费是订货民成本之和内订购费是订货民成本之和, 即即c3+KDt ,故故 t 时间内的平均订购费为时间内的平均订购费为西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型因此因此 t 时间的平均总费用为时间的平均总费用为由由(6.1)，有，
13、有得得因为因为西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型即当即当时时,C(t)达到最小值达到最小值,即每隔即每隔 t* 时时间订货一次间订货一次, 可使平均总费用可使平均总费用C(t)最小。最小。t*称为最佳订货周期称为最佳订货周期, 最佳订货量为最佳订货量为 经济批量订货经济批量订货 (Economic Odering Quantity)公式公式. 由于由于Q*, t* 皆与货物单价皆与货物单价K无关无关, 因此在费用函数因此在费用函数(6.1)中可略去中可略去KD, 则有则有相应的最佳费用为相应的最佳费用为西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型例例1. 某厂今年拟生产某种产品某厂今年拟
14、生产某种产品30000个个, 该厂产品中该厂产品中有个元件需要向仪表元件厂订购有个元件需要向仪表元件厂订购, 每次订货费用为每次订货费用为50元元, 该元件厂购价为每只该元件厂购价为每只0.50元元, 全年保管费用为全年保管费用为订购价的订购价的20%。(1) 试求该厂今年对该元件的最佳存储策略及费用试求该厂今年对该元件的最佳存储策略及费用;(2) 若明年拟将这种产品的产量提高一倍若明年拟将这种产品的产量提高一倍,则所需元则所需元件的订购批量应该比今年增加多少件的订购批量应该比今年增加多少?订购次数又为订购次数又为多少多少?西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型(1) 取一年为时间单位取一
15、年为时间单位, 已知已知:解解订货费订货费 c3=50元元/次次, 单价单价 a=50元元/只只,D=30000只只/年年, 单位存储费单位存储费 c1 为为c1=0.2a =0.2*0.5= 0.10元元/只只年年,因此，有因此，有西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型而全年订购次数为而全年订购次数为由于由于n*必须为整数必须为整数, 因此因此n=5 或或6。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若n=5, 则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若n=6, 则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型两者费用相等两者费用相等, 因此因此n=5或或6均可均可, 但是为方便
16、操作但是为方便操作, 每两月订货一次每两月订货一次, 每次订购批量为每次订购批量为5000只只, 全年费全年费用为用为15550元元,比最优值多比最优值多2元元。(2) 当明年的产量提高一倍时，相应的订购批量为当明年的产量提高一倍时，相应的订购批量为今年的今年的 倍倍, ,订购次数也为今年的订购次数也为今年的 倍。因此倍。因此西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若 n = 7, 则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若n = 8, 则则因此，结果为因此，结果为 n = 8, Q = 7500 (只只)。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型西南民族大学经济学院 毛瑞华 经
17、济数学模型西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型6.3 确定性存储模型确定性存储模型一、生产批量模型一、生产批量模型(Production Lot Size Model )西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型生产批量模型对应的存储系统的特点生产批量模型对应的存储系统的特点:1. 存货的补充是在时间段内均衡补充；存货的补充是在时间段内均衡补充；2. 每次订货批量为每次订货批量为Q, 单位时间内的生产量为单位时间内的生产量为P, 单单位时间的需求量为位时间的需求量为D(DD), 持续时间为持续时间为T, 订货量为订货量为Q；2. 在生产时间段在生产时间段 0, T 内内, 存储量以速度存
18、储量以速度P-D 上升上升, 在在T, t 内存储量以速度内存储量以速度D 减少成减少成, 其中其中T 与与 t 均均为选定数为选定数: (P-D)T=D(t-T), 从而从而, PT=Dt , 即即T 时间内的供应量时间内的供应量t 时间内的需时间内的需求量求量, 因此因此西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型t 时间内的平均存储量为时间内的平均存储量为(P-D)T/2,t 时间内的平均存储费为时间内的平均存储费为 (P-D)Tc1t/2,又订货费为又订货费为c3 ,不考虑成本费不考虑成本费,则单位时间的平均则单位时间的平均总费用为总费用为西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型由由C
19、 (t)=0,得得 t* 称为最佳订货周期称为最佳订货周期, 最佳订货量为最佳订货量为 最小平均费用为最小平均费用为 西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型 最佳进货最佳进货(生产生产)持续时间为持续时间为 生产批量模型的生产批量模型的t*, Q*是经济批量模型的是经济批量模型的即生产批量模型的最优订货周期和最优批量都较经即生产批量模型的最优订货周期和最优批量都较经济批量模型增大济批量模型增大,而费用反而减少了。而费用反而减少了。倍倍, ,西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型例例1.某厂今年拟生产某种产品某厂今年拟生产某种产品30000个个, 该厂该厂产品中有个元件需要向仪表元件厂订
20、购产品中有个元件需要向仪表元件厂订购, 每每次订货费用为次订货费用为50元元, 该元件厂购价为每只该元件厂购价为每只0.50元元, 全年保管费用为订购价的全年保管费用为订购价的20%。例例2 (接例接例1) 假设元件厂每天只能提供给该假设元件厂每天只能提供给该厂厂1000只元件只元件, 试求该厂今年对该元的最优试求该厂今年对该元的最优存储策略及费用。存储策略及费用。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型解解:由题意，有由题意，有 P=1000只只/天天=365000只只/年年,则则因此因此,西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型而全年订购次数为
21、而全年订购次数为由于由于n*必须为整数必须为整数, 因此因此 n=5 或或6。若若n=5, 则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若n =6, 则则因此因此 n=5, 每年订货五次每年订货五次(每隔每隔 73天天 订货一次订货一次), 每每次订购批量为次订购批量为 6000只只, 全年费用为全年费用为15525.34元元。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型三、允许缺货的批量模型三、允许缺货的批量模型单位存储费为单位存储费为c1, 每次订货费为每次订货费为c3, 缺货损失费为缺货损失费为c2/单单位位,需求率为需求率为D, 求使平均总费用最小的最佳存储策略。求使平均总费用最小的
22、最佳存储策略。O存储量存储量时间时间St1 tt2t1 tt2Q斜率斜率D斜率斜率D西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型模型分析：模型分析：1. 最初存储量为最初存储量为S, 可满足可满足t1时间内的需求时间内的需求, t1时间内时间内的平均存储量为的平均存储量为S/2；2. 在在(t-t1)时间内存储量为零时间内存储量为零, 平均缺货量为平均缺货量为D (t-t1)/2;3. S 仅能满足仅能满足t1时间的需求时间的需求, 故故S = Dt1; 4. 在在t 时间内所需的存储费为时间内所需的存储费为5. 时缺货损失费为时缺货损失费为西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型订货费为订货
23、费为c3 ,则单位时间的平均总费用则单位时间的平均总费用:由由有有西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型即即 t* 称为最佳订货周期称为最佳订货周期, S*最大库存量最大库存量, 且且西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型最小平均总费用为最小平均总费用为 最佳订货批量最佳订货批量Q*为为 最大缺货量最大缺货量q*为为 西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型例例1.某厂今年拟生产某种产品某厂今年拟生产某种产品30000个个, 该厂产品中该厂产品中有个元件需要向仪表元件厂订购有个元件需要向仪表元件厂订购, 每次订货费用为每次订货费用为50元元, 该元件厂购价为每只该元件厂购价为每只0.
24、50元元, 全年保管费用为全年保管费用为订购价的订购价的20%。例例3 (接例接例1) 假设元件允许缺货假设元件允许缺货, 且每只全年缺货且每只全年缺货费为购价的费为购价的10%, 试求该厂今年对该元的最优存储试求该厂今年对该元的最优存储策略及费用。策略及费用。西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型解解:由题意由题意, c2=0.1K= 0.05(元元/只只年年),则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型而全年订购次数为而全年订购次数为由于由于n*必须为整数必须为整数, 因此因此 n=3 或或4。设设又又西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型若若n =3, 则则若若n =4, 则则西南民族大学经济学院 毛瑞华 经济数学模型因此每年订货因此每年订货3次次, 即每隔即每隔4月月订货一次订货一次, 每次订购批量为每次订购批量为 30000/3=10000只只;最大存储量为最大存储量为 S=Dt1=3333只只;最大缺货量为最大缺货量为 q =Q-S= 6667只只;全年费用为全年费用为 C(t)=15316.67元元.
