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1、第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 数学模型数学模型数学模型数学模型: : : : 数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式 微分方程微分方程微分方程微分方程 差分方程差分方程差分方程差分方程 状态方程状态方程状态方程状态方程 等等等等等等等等第一节第一节第一节第一节 控制系统微分方程的编写控制系统微分方程的编写控制系统微分方程的编写控制系统微分方程的编写一一一一. . . .线性元件的微分方程线性元件的微分方程线性元件的微分方程线性元件的微分方程+-+-uo(t)(t) RLCRLC电路电路i(t),时间常数令7/28/20241列写微分方程的一般步骤列写微分方程的一
2、般步骤列写微分方程的一般步骤列写微分方程的一般步骤确定元件的确定元件的确定元件的确定元件的inputinput量和量和量和量和outputoutput量，并引入必要的量，并引入必要的量，并引入必要的量，并引入必要的中间变量中间变量中间变量中间变量根据物理或化学定律，列微分方程根据物理或化学定律，列微分方程根据物理或化学定律，列微分方程根据物理或化学定律，列微分方程消去中间变量，得出元件的数学模型消去中间变量，得出元件的数学模型消去中间变量，得出元件的数学模型消去中间变量，得出元件的数学模型7/28/20242mFkxmkxF 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统7/28/20243MJ 机
3、械转动系统机械转动系统7/28/20244+-负载+-（1）电枢回路（2）反电势（3）电磁力矩（4）轴上动力学方程， 电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机7/28/20245二二二二. . . . 微分方程的增量和表示微分方程的增量和表示微分方程的增量和表示微分方程的增量和表示三三三三. . . . 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化yAB非线性方程线非线性方程线非线性方程线非线性方程线性性性性化化化化 非线非线非线非线性性性性系统，必须连续可导系统，必须连续可导系统，必须连续可导系统，必须连续可导 小范围内变化，即某个领域小范
4、围内变化，即某个领域小范围内变化，即某个领域小范围内变化，即某个领域 工作点不同，线工作点不同，线工作点不同，线工作点不同，线性性性性比例比例比例比例K K K K值不同值不同值不同值不同 不适用与严重非线不适用与严重非线不适用与严重非线不适用与严重非线性性性性场合，如继电特性场合，如继电特性场合，如继电特性场合，如继电特性7/28/20246四四四四. . . . 线性系统微分方程的编写线性系统微分方程的编写线性系统微分方程的编写线性系统微分方程的编写功率功率放大放大运放运放I运放运放II反馈联接反馈联接测速发电机测速发电机减速器减速器负载负载+-+-转速自动控制系统原理图转速自动控制系统原
5、理图7/28/20247X运算放大器I运算放大器II功率放大器电动机测速电机+-转速控制系统方块图转速控制系统方块图转速控制系统方块图转速控制系统方块图7/28/20248运算放大器运算放大器运算放大器运算放大器I I：运算放大器运算放大器运算放大器运算放大器IIII：功率放大器：功率放大器：功率放大器：功率放大器：电动机：电动机：电动机：电动机：测速发电机：测速发电机：测速发电机：测速发电机：合并，清除中间变量：合并，清除中间变量：合并，清除中间变量：合并，清除中间变量： 或或或或其中其中其中其中 ； （忽略电枢电阻，电抗）忽略电枢电阻，电抗）7/28/20249第二节第二节第二节第二节 传
6、递函数传递函数传递函数传递函数一一一一. . . . 传递函数的概念传递函数的概念传递函数的概念传递函数的概念i(t)G(s)+uo(t)(t)-7/28/202410线性系统（或元件）在初始条件为线性系统（或元件）在初始条件为线性系统（或元件）在初始条件为线性系统（或元件）在初始条件为0 0 0 0时，输出量的拉氏变时，输出量的拉氏变时，输出量的拉氏变时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，成为该系统（或元件）的传换与输入量的拉氏变换之比，成为该系统（或元件）的传换与输入量的拉氏变换之比，成为该系统（或元件）的传换与输入量的拉氏变换之比，成为该系统（或元件）的传递函数，记为递函数，记为递
7、函数，记为递函数，记为G(s)G(s)G(s)G(s)。y(t) - 输出量 x(t) - 输入量 传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：7/28/202411二二二二. . . . 用复数阻抗法求电网络的传递函数（符号法）用复数阻抗法求电网络的传递函数（符号法）用复数阻抗法求电网络的传递函数（符号法）用复数阻抗法求电网络的传递函数（符号法） 例例例例 求如图所示的比例积分控制器的传递函数。求如图所示的比例积分控制器的传递函数。求如图所示的比例积分控制器的传递函数。求如图所示的比例积分控制器的传递函数。(t)(t)比例比例积分控制器积分控制器PIPI控制器控制器7/28/202412 例例例
8、例 (t)(t)比例比例微分控制器微分控制器PD控制器控制器7/28/202413例题：证明下面两图具有相同的数学模型例题：证明下面两图具有相同的数学模型例题：证明下面两图具有相同的数学模型例题：证明下面两图具有相同的数学模型(t)(t)C2(a)yiy0xf1f2k1k2(b)ab7/28/202414第一次第一次第一次第一次 作业作业作业作业P56 2-1 (a) (c)P56 2-1 (a) (c)7/28/202415 只适应线性定常系统；只适应线性定常系统； 由系统（元件）的参数、结构决定，是系统的动态数学模型；由系统（元件）的参数、结构决定，是系统的动态数学模型； n m ,n n
9、 m ,n 为系统的阶数为系统的阶数 单输入单输入单输出单输出 传递函数写法：传递函数写法： 三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明有理分式有理分式: :零零极点形式极点形式: :时间常数形式：时间常数形式：7/28/202416四、典型环节四、典型环节四、典型环节四、典型环节 典型环节：传递函数的最简单、最基本构成体。典型环节：传递函数的最简单、最基本构成体。典型环节：传递函数的最简单、最基本构成体。典型环节：传递函数的最简单、最基本构成体。基本因子。基本因子。基本因子。基本因子。 1. 1. 1. 1.比例环节比例环节比例环
10、节比例环节 t0 t0 t0 t02.2.2.2.积分环节积分环节积分环节积分环节 t0 t0 t0 t07/28/2024173.3.3.3.惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节 t0 t0 t0 t0 T:时间常数7/28/202418举例：举例：举例：举例：7/28/2024194.4.4.4.振荡环节振荡环节振荡环节振荡环节7/28/202420y(t)y(t)x(t)txxS平面7/28/2024215. 5. 5. 5. 微分环节微分环节微分环节微分环节实现微分环节纯微分环节一阶微分环节二阶微分环节7/28/2024226. 6. 6. 6. 延迟环节延迟环节延迟环节延迟环节 时滞环节
11、，滞后环节，时延环节时滞环节，滞后环节，时延环节x(t)tty(t)7/28/202423第三节第三节第三节第三节 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换一一一一. . . .结构图的基本概念结构图的基本概念结构图的基本概念结构图的基本概念二二二二. . . .结构图的组成和建立结构图的组成和建立结构图的组成和建立结构图的组成和建立1.1.1.1.结构图的组成结构图的组成结构图的组成结构图的组成函数方块函数方块函数方块函数方块G(s)C(s)R(s)信号线信号线信号线信号线分支点分支点分支点分支点综合点综合点综合点综合点
12、( (比较点比较点比较点比较点, ,相加点相加点相加点相加点) )R(s)R(s)-B(s)B(s)+-描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形7/28/202424 步骤步骤: : 典型环节表示系统中的具体元件典型环节表示系统中的具体元件 按信号传递顺序连接各典型环节按信号传递顺序连接各典型环节, ,从而构成整个系统结构图从而构成整个系统结构图2.2.2.2.系统结构图的建立系统结构图的建立系统结构图的建立系统结构图的建立7/28/20242
13、5例例例例: : : :K1K2(s+1)K3-Km/（TmS+1）Ku/（TmS+1）运算放大器运算放大器运算放大器运算放大器功率放大器功率放大器电动机电动机测速电动机测速电动机Ur+-UfUeU1U1U2U2UaMcUaUf+7/28/202426K1K2(s+1)K3Ku/（Tms+1）Ur(s)Ue(s)U1(s)U2(s)Ua(s)-Mc(s)Uf(s)(s s)+-+Kf-Km/（Tms+1）7/28/202427三三三三. . . .结构图的等效变换结构图的等效变换结构图的等效变换结构图的等效变换1.1.1.1.环节的合并环节的合并环节的合并环节的合并 串串串串联联联联7/28/
14、202428+ 并并并并联联联联7/28/202429B(s)+-E(s) 反馈反馈反馈反馈7/28/2024302.2.2.2.信号综合点和分支点的移动和互换信号综合点和分支点的移动和互换信号综合点和分支点的移动和互换信号综合点和分支点的移动和互换+-YYY+-Y 综合点后移综合点后移综合点后移综合点后移 综合点前移综合点前移综合点前移综合点前移+-+-7/28/202431G(s)YG(s)YX1G(s)YYG(s)YG(s)Y 分支点后移分支点后移分支点后移分支点后移 分支点前移分支点前移分支点前移分支点前移7/28/2024323. 3. 3. 3. 结构图等效变换举例结构图等效变换举
15、例结构图等效变换举例结构图等效变换举例 例例例例 +-+-+7/28/202433+-+7/28/202434+- 例例例例 +-+7/28/202435+-+7/28/202436 例例例例 +-+-7/28/202437+-7/28/202438考研挑战题考研挑战题考研挑战题考研挑战题 浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学20012001年：系统结构如图所示。试用结构图变年：系统结构如图所示。试用结构图变年：系统结构如图所示。试用结构图变年：系统结构如图所示。试用结构图变换求取传递函数换求取传递函数换求取传递函数换求取传递函数C(S)/R(S)C(S)/R(S)+-R11R12) s(C1C2
16、s1C1s7/28/202439第二次作业第二次作业第二次作业第二次作业P58 2-8 (a) (b)P58 2-8 (a) (b)7/28/202440第四节第四节第四节第四节 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数一一一一 开环控制函数开环控制函数开环控制函数开环控制函数二二二二 闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数R(s)G2(S)+H(S)N(S)+B(S)E(S)C(S)7/28/202441仅有给定信号仅有给定信号仅有给定信号仅有给定信号 N(s)=0 N(s)=0仅有扰动信号仅有扰动信号仅有扰动信号仅有扰动信号 R(S
17、)=0 R(S)=0 同时考虑同时考虑同时考虑同时考虑R(s)R(s)、N(s)N(s)时的时的时的时的C(s)C(s)7/28/202442第五节第五节第五节第五节 信号流图信号流图信号流图信号流图一、信号流图采用的一些符号及术语一、信号流图采用的一些符号及术语一、信号流图采用的一些符号及术语一、信号流图采用的一些符号及术语支路支路支路支路 ：连接两个节点的定向线段，箭头表示信号方向连接两个节点的定向线段，箭头表示信号方向连接两个节点的定向线段，箭头表示信号方向连接两个节点的定向线段，箭头表示信号方向XY传输：传输：传输：传输：G G 支路传输，亦称支路增益支路传输，亦称支路增益支路传输，亦
18、称支路增益支路传输，亦称支路增益GXYG。结构图结构图结构图结构图信号流图信号流图信号流图信号流图源节点源节点源节点源节点: :（输入节点）（输入节点）（输入节点）（输入节点）只有输出支路而无输入支路。只有输出支路而无输入支路。只有输出支路而无输入支路。只有输出支路而无输入支路。阱节点阱节点阱节点阱节点: :（输出节点）（输出节点）（输出节点）（输出节点）只有输入支路而无输出支路。只有输入支路而无输出支路。只有输入支路而无输出支路。只有输入支路而无输出支路。节点：节点：节点：节点：o o 代表系统中的一个变量（信号）代表系统中的一个变量（信号）代表系统中的一个变量（信号）代表系统中的一个变量（
19、信号）混合节点：混合节点：混合节点：混合节点： 既有输入支路又有输出支路。既有输入支路又有输出支路。既有输入支路又有输出支路。既有输入支路又有输出支路。7/28/202443从输入节点到输出节点，与其他节点相交不多一次的通路。从输入节点到输出节点，与其他节点相交不多一次的通路。从输入节点到输出节点，与其他节点相交不多一次的通路。从输入节点到输出节点，与其他节点相交不多一次的通路。前向通路：前向通路：前向通路：前向通路：回路：回路：回路：回路：起点和终点是同一点，且与其他任何节点相交不多于一次起点和终点是同一点，且与其他任何节点相交不多于一次起点和终点是同一点，且与其他任何节点相交不多于一次起点
20、和终点是同一点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合回路。的闭合回路。的闭合回路。的闭合回路。回路传输（增益）：回路传输（增益）：回路传输（增益）：回路传输（增益）： 回路中各支路的增益的乘积。回路中各支路的增益的乘积。回路中各支路的增益的乘积。回路中各支路的增益的乘积。前向通路传输（增益）：前向通路传输（增益）：前向通路传输（增益）：前向通路传输（增益）：前向通路各支路的增益的乘积。前向通路各支路的增益的乘积。前向通路各支路的增益的乘积。前向通路各支路的增益的乘积。通路：通路：通路：通路： 沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的途径。沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的途径。沿着支路箭头的
21、方向顺序穿过各相连支路的途径。沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的途径。不接触回路：不接触回路：不接触回路：不接触回路： 没有任何共同节点的回路。没有任何共同节点的回路。没有任何共同节点的回路。没有任何共同节点的回路。7/28/202444NREPQCG1G2-H1R, N:R, N:输入节点输入节点输入节点输入节点C :C :输出节点输出节点输出节点输出节点E,P,Q:E,P,Q:混合节点混合节点混合节点混合节点REPQC, NPG2QC, PG2QHE REPQC, NPG2QC, PG2QHE 为通路为通路为通路为通路REPQC, NPG2QC REPQC, NPG2QC 前向通路前向
22、通路前向通路前向通路EPQHE EPQHE 回路回路回路回路二、信号流图的等效变换法则二、信号流图的等效变换法则二、信号流图的等效变换法则二、信号流图的等效变换法则 同结构图7/28/202445三、梅逊公式三、梅逊公式三、梅逊公式三、梅逊公式n : : 前向通路数前向通路数前向通路数前向通路数P k : : 第第第第k k条前向通讯的增益条前向通讯的增益条前向通讯的增益条前向通讯的增益 : : 各回路的回路增益之和各回路的回路增益之和各回路的回路增益之和各回路的回路增益之和: : 两两互不接触回路增益之和两两互不接触回路增益之和两两互不接触回路增益之和两两互不接触回路增益之和: : 所有不接
23、触回路中所有不接触回路中所有不接触回路中所有不接触回路中, ,每次取其每次取其每次取其每次取其 三个回路三个回路三个回路三个回路 增益之和增益之和增益之和增益之和. . : :第第第第KK条前向通路的余子式条前向通路的余子式条前向通路的余子式条前向通路的余子式, ,即把与即把与即把与即把与 该通路相接触的回路的回该通路相接触的回路的回该通路相接触的回路的回该通路相接触的回路的回路增益值为路增益值为路增益值为路增益值为0 07/28/202446 例例例例 不存在不接触的回路不存在不接触的回路解解解解: : : :前向通路前向通路回路回路7/28/202447第三次第三次第三次第三次 作业作业作业作业P60 2-12P60 2-12， 2-13 2-137/28/202448第六节第六节第六节第六节脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数当，输入例例:7/28/202449
