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1、平面向量的数量积平面向量的数量积27536275361 1、数量积的定义：、数量积的定义：其中：其中：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. . BOAaC已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足 且且则则 为为(A)等边三角形（等边三角形（B）直角三角形）直角三角形(B)等腰非等边三角形（等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形）三边均不相等的三角形4.【06陕西卷】陕西卷】题型二题型二 利用数量积解决向量的利用数量积解决向量的平行平行, ,垂直垂直, ,长度长度 和夹角和夹角问题问题例例2 2、0606浙江卷浙江卷1 1、直接计算、直接计算2
2、2、关注题目所体现的几何背景、关注题目所体现的几何背景练习练习1、已知在、已知在ABC中，中， ,则则O为为ABC的（的（ ）A内心内心B外心外心C重心重心D垂心垂心DC2 探究提高探究提高（1 1）利用数量积求向量的模，）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法可考虑以下方法. . | |a a| |2 2= =a a2 2= =a aa a;|;|a ab b| |2 2= =a a2 222a ab b+ +b b2 2; ; 若若a a=(=(x x, ,y y) )，则，则| |a a|= . |= . （2 2）求向量的夹角利用公式）求向量的夹角利用公式 需分别求向量的数量积和向量的模
3、需分别求向量的数量积和向量的模. .4.知识综合运用知识综合运用方法与技巧方法与技巧1.1.数数量量积积a ab b中中间间的的符符号号“”“”不不能能省省略略，也也不不能能用用“”“”来替代来替代. .2.2.要熟练类似（要熟练类似（ a a+ +b b)()(s sa a+ +t tb b)= )= s sa a2 2+( +( t t+ +s s) )a ab b+ +t tb b2 2的运算律（的运算律（ 、s s、t tR R）. .3.3.求求向向量量模模的的常常用用方方法法：利利用用公公式式| |a a| |2 2= =a a2 2, ,将将模模的的运运算转化为向量的数量积的运算
4、算转化为向量的数量积的运算. .4.4.一一般般地地，（a ab b）c c(b bc c) )a a即即乘乘法法的的结结合合律律不不成成立立. .因因a ab b是是一一个个数数量量，所所以以( (a ab b) )c c表表示示一一个个与与c c共共线线的的向向量量，同同理理右右边边（b bc c）a a表表示示一一个个与与a a共共线线的向量的向量, ,而而a a与与c c不一定共线不一定共线, ,故一般情况下故一般情况下( (a ab b) )c c ( (b bc c) )a a. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.零零向向量量:(1):(1)0 0与与
5、实实数数0 0的的区区别别，不不可可写写错错：0 0a a= =0 00,0,a a+ +(-(-a a)=)=0 00,0,a a0 0=0=00 0;(2);(2)0 0的的方方向向是是任任意意的的，并并非非没没有有方方向向，0 0与与任任何何向向量量平平行行，我我们们只只定定义义了了非非零零向向量的垂直关系量的垂直关系. .2.2.a ab b=0=0不能推出不能推出a a= =0 0或或b b= =0 0, ,因为因为a ab b=0=0a ab b. .3.3.a ab b= =a ac c( (a a0 0) )不能推出不能推出b b= =c c. .即消去律不成立即消去律不成立.
6、 .4.4.向向量量夹夹角角的的概概念念要要领领会会，比比如如正正三三角角形形ABCABC中中， 应为应为120,120,而不是而不是60.60.一、选择题一、选择题1.1.（20092009宁夏文，宁夏文，7 7）已知已知a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0)=(-1,0)，向，向 量量 a a+ +b b与与a a-2-2b b垂直，则实数垂直，则实数 的值为（的值为（） A. A. B.B. C. C. D.D. 解析解析 a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0),=(-1,0), a a+ +b b=(-3 -1,2 ),=(-3 -1,2 ),
7、a a-2-2b b= =（-3-3，2 2）-2-2（-1-1，0 0）= =（-1-1，2 2）. . 由（由（ a a+ +b b）(a a-2-2b b),),知知4 4 +3 +1=0.+3 +1=0. =-=-A定时检测定时检测2.2.已知向量已知向量a a, ,b b的夹角为的夹角为120120，| |a a|=1|=1，| |b b|=5|=5，则，则 |3 |3a a- -b b| |等于等于（）A.7A.7B.6B.6C.5C.5D.4D.4解析解析 A3.3.设设向向量量a a与与b b的的夹夹角角为为，定定义义a a与与b b的的“向向量量积积”：a ab b是一个向量
8、，它的模是一个向量，它的模| |a ab b|=|=|a a|b b| sin sin, ,若若a a=(- , -1), =(- , -1), b b=(1, )=(1, )，则则| |a ab b| |等于等于 （） A. A.B.2B.2C.2C.2D.4D.4 解析解析 | |a a|=|=|b b|=2|=2，a ab b=-2 =-2 ， cos cos = = 又又0 0，sin sin = = | |a ab b|=22 =2.|=22 =2.B4.4.已知非零向量已知非零向量a a, ,b b，若，若| |a a|=|=|b b|=1,|=1,且且a ab b，又知，又知 （
9、2 2a a+3+3b b）(k ka a-4-4b b) )，则实数，则实数k k的值为的值为 （） A.-6 A.-6B.-3B.-3C.3C.3D.6D.6 解析解析 由（由（2 2a a+3+3b b）（k ka a-4-4b b）=0=0，得，得2 2k k-12=0,-12=0, k k=6.=6.D5.5.（20092009全全国国文文，8 8）设设非非零零向向量量a a、b b、c c满满足足| |a a|=|=|b b|=|=|c c|,|,a a+ +b b= =c c, ,则则a a, ,b b等于等于（） A.150 A.150B.120B.120C.60C.60D.3
10、0D.30 解析解析 a a+ +b b= =c c,|,|c c| |2 2=|=|a a+ +b b| |2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2. . 又又| |a a|=|=|b b|=|=|c c|,2|,2a ab b=-=-b b2 2, , 即即2|2|a a|b b|cos|cosa a, ,b b=-|=-|b b| |2 2. . cos cosa a, ,b b=- ,=- ,a a, ,b b=120.=120.B6.6.在在ABCABC中中，已已知知a a、b b、c c成成等等比比数数列列，且且a a+ +c c=3=3，cos cos B
11、B= = ，则，则 等于等于（） A. B. C.3 D.-3 A. B. C.3 D.-3 解析解析 由已知由已知b b2 2= =acac，a a+ +c c=3=3，cos cos B B= = ， 得得 ，得，得acac=2.=2. 则则 = =acaccoscos =2=2B二、填空题二、填空题7.7.（20092009江江苏苏，2 2）已已知知向向量量a a和和向向量量b b的的夹夹角角为为3030，| |a a|=2|=2，| |b b|= |= ，则则向向量量a a和和向向量量b b的的数数量量积积a ab b= = . . 解析解析 由题意知由题意知a ab b=|=|a a
12、|b b|cos 30=2 =3.|cos 30=2 =3.3 38.8.设设向向量量a a, ,b b满满足足| |a a- -b b|=2|=2，| |a a|=2|=2，且且a a- -b b与与a a的的夹夹角角为为 ，则，则| |b b|= |= . . 解析解析 由已知得由已知得 即即 a ab b=2.=2. 又又| |a a- -b b| |2 2=4=|=4=|a a| |2 2+|+|b b| |2 2-2-2a ab b， | |b b| |2 2=4,|=4,|b b|=2.|=2.2 29.9.已知向量已知向量a a=(=(x x,1),1),b b=(2,3=(2,
13、3x x) )，则，则 的取值的取值 范围是范围是 . . 解析解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求 最值；原式最值；原式= = ，当，当x x=0=0时，原式时，原式=0=0， 当当x x00时，原式时，原式= = 当当x x0 0时，时，0 0 当当x x0 0时，时，0 0 综上所述，取值范围为综上所述，取值范围为 答案答案 三、解答题三、解答题10.10.已知点已知点A A（1,01,0）, ,B B（0,10,1）, ,C C（2sin2sin,cos,cos）. . （1 1）若）若| |=| | |=| |，求，求tantan的值；的
14、值； （2 2）若（）若（ ） =1 =1，其中，其中O O为坐标原为坐标原 点，求点，求sin 2sin 2的值的值. . 解解 （1 1）A A（1 1，0 0）, ,B B（0 0，1 1），），C C（2sin2sin， cos cos），）， = =（2sin2sin-1-1，coscos）, =, =（2sin2sin， cos cos-1-1）. . | |=| | | |=| |， 化简得化简得2sin2sin=cos=cos. .coscos00（若（若coscos=0=0，则，则sinsin=1,=1,上式不成上式不成立）立）. .tantan= .= .（2 2） = =
15、（1 1，0 0），）， = =（0 0，1 1），）， = =（2sin2sin，coscos），）， = =（1 1，2 2）. .（ ） =1 =1，2sin2sin+2cos+2cos=1.=1.sinsin+cos+cos= .= .（sinsin+cos+cos）2 2= .= .sin 2sin 2= .= .11.11.设设n n和和m m是是两两个个单单位位向向量量，其其夹夹角角是是6060，求求向向量量a a=2=2m m+ +n n与与b b=2=2n n-3-3m m的夹角的夹角. . 解解 由由| |m m|=1|=1，| |n n|=1|=1，夹角为，夹角为6060
16、，得，得m mn n= .= . 则有则有| |a a|=|2|=|2m m+ +n n|=|= | |b b|=|= 而而a ab b= =（2 2m m+ +n n）（2 2n n-3-3m m）= =m mn n-6-6m m2 2+2+2n n2 2=- =- 设设a a与与b b的夹角为的夹角为， 则则cos cos = = 故故a a，b b的夹角为夹角为120.120.12.在三角形在三角形ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、 b b、c c，且，且2sin2sin2 2 +cos 2 +cos 2C C=1.=1. （1 1）求角）
17、求角C C的大小；的大小； （ 2 2） 若若 向向 量量 m m=(3=(3a a,-,-b b),),向向 量量 n n= =（ a a,- ,- ） ， m mn n， （ m m+ +n n） (-(-m m+ +n n)=-16.)=-16.求求a a、b b、c c的值的值. . 解解 （1 1）2sin2sin2 2 +cos 2+cos 2C C=1=1， cos 2 cos 2C C=1-2sin=1-2sin2 2 =cos=cos（A A+ +B B）=-cos =-cos C C. . 2cos 2cos2 2C C+cos +cos C C-1=0.cos -1=0.
18、cos C C= = 或或-1.-1. C C（0 0，），），C C= .= .（2 2）m mn n，33a a2 2- =0- =0，即，即b b2 2=9=9a a2 2. . 又又( (m m+ +n n)（- -m m+ +n n）=-16=-16，-8-8a a2 2- - b b2 2=-16=-16，即，即a a2 2+ =2.+ =2.由由可得可得a a2 2=1,=1,b b2 2=9,=9,a a=1,=1,b b=3.=3.又又c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2-2-2ababcos cos C C=7,=7,c c= .= .返回返回结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！34
