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1、1回顾偏振态若 表示两个偏振态，则任何线性叠加在归一化后，都是一个物理上存在的偏振态线性叠加原理2线性叠加原理一般地，若 和 是体系可能的状态，那么它们的任何线性叠加在归一化后，也是这个体系一个可能的态。此为线性叠加原理，或者态叠加原理。注：这个原理对态矢量或波函数表示都成立。3线性叠加原理对于一维无限深势阱，什么样的态（波函数）是可该体系能的态（波函数）？任何能量本征态，都是可能的态它们的任何线性叠加也都是可能的态。4线性叠加原理的任何线性叠加也都是可能的态。因此，也是可能的态（波函数）。由Fourier定理，上述线性叠加，可以构成任何满足下列边界条件的波函数：5线性叠加原理都是是可能的态（
2、波函数）。由Fourier定理，任何，上述线性叠加，可以构成任何满足下列边界条件的波函数：这就是说，任何函数 ，只要满足上述边界条件，都是无限深方势阱的一个可能的波函数 ！任何问题：无限深势阱中的粒子动量能否有确定值？6如何理解？显然，若 ， 波函数 与 一定正交。由算符共设， 是发现能量为 的概率。波函数的展开对于态发现能量是 的概率为由线性叠加原理， 也是一个（未归一化）态。再根据算符公设，对于波函数 发现能量为 的概率是 而不是 .这种干涉效应表明，是发现波函数为 的态的 能量为 的概率幅概率幅.7如何理解？波函数的展开更一般的情况，对任何物理量a，若其对应的算符A本征波函数与本征值集合
3、为 ，而系统波函数能展开成 形式， 表示 发现物理量a值为 的概率幅概率幅。若A的本征值是连续的，设其本征波函数与本征值集合为 而系统波函数能展开成 ， 形式， 表示 发现物理量a值为 的概率密度幅概率密度幅。8给定波函数的展开，如何展开成特定一套本征波函数 的线性叠加？对照偏振态的线性叠加公式：9例：对任意波函数用动量本征波函数展开：波函数的展开Fourier变换！10任意波函数展开为动量本征波函数的线性叠加：它表示，发现该粒子动量值为 p 的概率密度幅为c(p) ! 波函数的展开11它表示，发现该粒子是动量为 p 的概率密度幅为c(p) ! 这就是说，位置空间波函数表示的态等价于动量空间波
4、函数波函数的展开12态矢量与Dirac符号13以 为Hilbert空间的一套基础态，它们正交，归一，完备。任何态都可以由一个态矢量，Hilbert空间向量， 表示。正交，归一为Kronecker delta 函数14状态的态矢量表示定义左矢：Dirac符号：对任何右矢态矢量（右矢）它与相应的右矢量的关系为转置复公轭关系。另外，15例如，对于无限深势阱中的粒子，以Dirac符号 表示波函数为能量本征波函数 的态。16其中理解为态对态的投影幅，即发现粒子的处于第n个能级的概率幅。完备性：该空间内的任何态均能由基础态展开这就是说17能量算符 为能量有确定值 的态。此时的算符是作用在态矢量上的算符，不
5、是作用在波函数上的算符！18哈密顿量的矩阵形式比照偏振态的琼斯矢量表示法，这里可以令19完备性比照偏振态的琼斯矢量表示法，这里可以令注：能量本征态的完备性只要基本定义与内积规则给定，矢量表示并不是必需的。20状态的态矢量表示算符：任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩阵）AA作用在其任何一个本征态 上得到：是本征值。对于连续本征值情况，连续，是A的一个本征值例如：动量位置21状态的态矢量表示物理量a对应于算符（矩阵）A是物理量a有确定值的态，例如例如：分别表示动量有确定值的态和位置有确定值的态。22状态的态矢量表示算符：任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩
6、阵）A。A作用在其任何一个本征态 上得到： ， 为对应的本征值。对物理系统观测物理量a将使系统的状态坍缩到算符A的一个本征态上。若坍缩到 ,上所观测到的a的量值就是 。反之，若发现a为某量值，则一定坍缩到具有此量值的本征态上。算符的所有本征态正交，归一，完备。回顾能量测量与态坍缩过程。23状态的态矢量表示算符构造：任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩阵）A。A作用在其任何一个本征态 上得到： ， 为对应的本征值。可据此构造算符A： 。24状态的态矢量表示算符与测量：物理量a对应于算符（矩阵）A。假定系统处于态 上。观测物理量a,系统坍缩到A的本征态 上的概率为： 。对于连续
7、本征值情况，系统坍缩到A的本征态 上的概率密度为：25状态的态矢量表示平均值：可以直接验证，与波函数表示等价。此式对任何态都对。是测量平均值用态矢量表示的公设。证法：把态矢量以A的本征态为基础态展开！问题：单次测量结果是不是平均值？26状态的态矢量表示与测量测量公设：发现状态 是状态 的概率幅为 。“发现”是指通过适当的测量而显示的测量结果。“适当的测量”是指任何一种测量，只要该测量的任何可能的测量结果都能明确断定系统是否坍缩到 态上。回顾偏振测量！27状态的态矢量表示与测量测量公设：发现状态 是状态 的概率幅为 。态矢量，分别表示位置有确定值x的态和动量有确定值p的态。对于任何态 ，发现它是
8、位置有确定值的态 的概率密度幅为 。此即在位置x发现粒子的概率幅。因此态 的波函数为 。 28状态的态矢量表示与测量态 的动量表象波函数为 。 类似的，问：的函数式？的函数式？29连续变化的基础态已知位置波函数 ，态矢量是什么？问：已知系统动量表象波函数，它的态矢量（以动量本征态展开）是什么？30是算符（矩阵）注意：是复数！31投影算符其中理解为态对态的投影幅，即发现粒子的处于第n个能级的概率幅。对于态单次测量发现其能量为 的概率定义投影算符概率为32态矢量是Hilbert空间的向量。算符可认为是作用在Hilbert空间向量上的线性算符（矩阵）。算符的全部本征态构成空间的基础态。态的演化方程为
9、若哈密顿量不含时故，量子力学既被称为波动力学，又被称为矩阵力学。演化方程33状态的态矢量表示注解：线性性34状态的态矢量表示注解：厄米性任何物理量量值必须是实数。因此算符特征值必为实数。算符必然是厄米的，即在转置复共轭操作（厄米操作）下不变。思考题：如何以上述形式表示位置算符与动量算符？35状态的态矢量表示Hilbert空间的基础态选择并不唯一，可根据具体问题作适当选择。经常选择对某物理量有确定值态为基础态。例如：若选择有确定位置的态 作为基础态，由于 是连续的系统态矢量的线性叠加形式为： 对于这样的展开式， 一定是该状态的波函数。（为什么？）36状态的态矢量表示基础态的完备性：例如：这些公式
10、十分有用！37无限深势阱初始波函数 ，如何演化？38Dirac delta函数以及连续空间的基础态位置算符X的某本征态它是位置有确定值 的态其波函数必然是在该位置处为无穷大，在其他位置为0。我们将此称为Dirac delta 函数。位置，动量的基础态39对于波函数态矢量为依据前述关系即要求定义：满足此要求，即Dirac delta函数以及连续空间的基础态Dirac delta 函数40（a） （b） （Fourie积积分）分） （c） （d） （e） 41位置算符X的某本征态其波函数必然是在该位置处为无穷大，在其他位置为0。我们将此定义为Dirac delta 函数， 。另一方面，如前所说，对
11、于任何态矢量其位置空间波函数为因此，我们有42状态的态矢量表示类似的，43动量本征态的波函数为保持自洽性，我们要求即：44位置空间，动量空间波函数变换因此，我们有Fourier变换关系45 量子物理学第二章两能级问题46回顾：量子态时间演化（公设）时间演化方程若H不含时，定态方程解得的态 叫做定态(stationary state)，有确定能量的态，它随时间变化仅是相因子。满足定态方程的态不止一个，对分立能级系统，47回顾：量子态时间演化（公设VI）满足定态方程的态不止一个，如果在初始时刻粒子处于哈密顿量的某个本征态，那在该哈密顿量的作用下，粒子将永远处于那个本征态。因为时间演化只是增加了总体位相因子。但是，若初始时刻处于两个或多个本征态的线性叠加态，时间演化将是非平庸的，因为出现了相对位相差。48回顾：态演化问题的一般方法我们现在局限于不含时哈密顿量1）写出哈密顿量 2）解定态方程，获得哈密顿量的本征态 与本征值 ，3）以上述本征态为基础态， 将给定的初始态 展开，最后得任意时刻的态。49回顾：态演化问题的一般方法这个方法的出发点在于，对于哈密顿量的本征态，其时间演化是trivial的 ！所以，关键在于寻找本征态或本征波函数。这类似于或者在某些情况下就是线性代数中的矩阵对角化。
