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1、第二章谓词逻辑一、原子命题的内部结构12.谓词逻辑谓词和个体词量词、全称量词和存在量词个体域量词的辖域自由个体变项和约束个体变项一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如：推理1：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是(paq),r。这不是一个重言式。因此，这个显然
2、有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如：推理2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。因此，有些罪犯是过失犯罪。这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。为了更为有效和尽量不失般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进步分析
3、原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。(1) 这张桌子是方的。(2) 陈先生是贾女土的丈夫。显然，以上两个命题都是原子命题。在中，今F(x)表示“x是方的”，a表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。这里，F就是谓词，表示“方”这种性质；x和a就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。其中，x称为个体变项，它只表示某一个个体，而
4、不表示一个确定的个体；a称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。在中，令H(x,y)表示“x是y的丈夫”，a表示陈先生，b表示贾女士，这样，H(a，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a,b)。这里，H是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x、y和a、b是个体词，同样，x和y是个体变项，a和b是个体常项。刻画一个个体的性质的谓词称为一元谓词，刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词，一般地，刻画n个个体之间的关系的谓词称为n元谓词。显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，即表示某种确定的性质或关系，则称为谓词常项；如
5、果表示的是某个不确定的谓词，则称为谓词变项。相应地，个体词也分为个体常项和个体变项，已如上述。约定：以大写英文字母F、G、H表示谓词常项或谓词变项，以小写字母a、b、c、d表示个体常项，以小写字母x、y、z、u、v、w表示个体变项。一般地，如果F是n元谓词，则它的表达式也可记为F(x,x,x)。其中，x,x,x12n12n称为谓词F的主目。量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。例如，上面的例句中F(x)断定“x是方的”,但由于x是个体变项，因而F(x)没有真假，不是命题。如何使F(x)这样没有真假的表达式变为有真假的命题呢?有两种方法：第一种方法，用个体常项取代个体变项
6、，例如，令a表示“这张桌子”，则F(a)就表示“这张桌子是方的”，这是命题，有真假。这种方法称为解释。后而将对此作进一步讨论。第二种方法，对个体变项进行量化。例如，对F(x)我们进一步断定，对所有的x来说，F(x)成立；或者断定，至少存在一个x，F(x)成立。也就是断定所有的个体都是方的，或者断定至少存在一个个体是方的。这样的断定就是命题，它们有真假。在量化的过程中，我们使用了量词。量词分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系；存在量词断定存在(即至少有一个)个体具有相关谓词所表示的性质或关系。表示全称量词，3表示存在量词。xF(x)表示“任一x具有F这种
7、性质”。3xF(x)表示“存在x具有F这种性质”。xyG(x，y)表示“任一x和任一y具有关系G”。x3yG(x，y)表示“对任一x,存在y，x和y具有关系G”。3xyG(x，y)表示“存在x,对任一y，x和y具有关系G”。3x3yG(x，y)表示“存在x，并且存在y，x和y具有关系G”。例如，令x和y表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数，F(x)表示“x是偶数”,G(x，y)表示“xy”贝I：xF(x)断定“任一自然数都是偶数”，这是个假命题。3xF(x)断定“存在自然数是偶数”这是个真命题。xyG(x，y)断定“任一自然数x和任一自然数y，都满足xy”这是个假命题。x3yG(x，y)断
8、定“对任一自然数x，都存在自然数y，满足xy(即没有最小的自然数)”，这是个假命题。3xyG(x，y)断定“存在自然数x，对任一自然数y，满足xy(即存在最大的自然数)”这是个假命题。3x3yG(x，y)断定“存在自然数x，并且存在自然数y，满足xy”这是个真命题。个体域量词直接刻画个体变项的量化。这样，个体变项的取值范围就是一个重要的问题。同个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以具有不同的真假值。例如，令F(x)表示“X有思想”，那么，如果x的取值范围是人，则xF(x)断定“所有的人都有思想”是真命题；而如果x的取值范围是动物，则xF(x)断定“所有的动物都有思想”，就成为假命题。
9、再如，在上面的讨论中，个体变项的取值范围是自然数，因而x3yG(x，y)断定“没有最小的自然数”，是个假命题；但是，如果个体变项的取值范围改为整数，则x3yG(x，y)变为断定“没有最小的整数”，这是个真命题。个体变项的取值范围称为个体域。个体域可根据需要作特殊的限制；如果不作特殊的限制，个体域就是指全域，即由所有能被思考的对象组成的域。xF(x)和F(x)的含义是不同的。3xF(x)是断定存在个体具有性质F,这是命题。如果至少有一个这样的个体存在，它就是真的，否则，它就是假的。而F(x)则只表示某个不确定的个体具有F这种性质，至于这样的个体是否存在，如果存在的话是哪一个，都没有断定，因而不是
10、命题。3xF(x)和F(a)的含义也是不同的。3xF(x)只是断定存在个体具有性质F,至于是哪一个个体，没有断定；F(a)则具体断定个体常项a所表示的那个个体具有性质F。因此，如果3xF(x)真，F(a)未必真；而如果F(a)真，则3xF(x)一定真。量词的辖域约束个体变项和自由个体变项在一个表达式中，量词的约束范围称为量词的辖城。约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。例如：(1)3xF(x),G(x)3x(F(x),G(x)在这两个表达式中，带横线的部分分别表示3x的辖域。在相关量
11、词的辖域中出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束个体变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。例如，在F(x)和G(x,y)中,x和y都是自由个体变项；在xF(x)和3xyG(x，y)中,x和y都是约束个体变项；在xG(x,y)中，x是约束个体变项，y是自由个体变项。再如，在上面的式中，F(x)中的x是约束个体变项，而G(x)中的x是自由个体变项。(2) 式中，x都是约束个体变项。也就是说，在同一个表达式中，同一个个体变项可以既作为约束个体变项，又作为自由个体变项出现。一个体变项在它的量词的辖域中出现，称为约束出现：否则，称为自由出现。一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在
12、该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。也就是说，一个体变项在一公式中可以既是自由的，又是约束的。因此，x在(1)式中既是自由的，又是约束的；而在(2)式中是约束的，不是自由的。什么是一阶谓词逻辑上面讨论的谓词逻辑，是一阶谓词逻辑。其中，谓词表达的性质和关系，只是个体的性质和个体之间的关系；量词只是对个体变项进行量化。对象的性质和对象之间的关系，统称对象的属性。问题在于，不光个体具有属性，属性本身也有属性，属性的属性仍然有属性，如此等等。例如，“这面红旗”作为个体，具有“红色”这种性质，而“红色”这种性质，具有“鲜艳”这种性质。因此，“
13、红色”是个体的属性，而“鲜艳”则是属性的属性，自然同时也是个体的属性。再如，“大张”和“小李”两个个体具有“同乡”这种关系，而“同乡”这种关系，具有“传递性”(即如果a和b是同乡，并且b和c是同乡，则a和c是同乡)。因此，“同乡”是个体的属性，面“传递”则是属性的属性。因此，在谓词逻辑中，表达同性的谓词具有层次，这就是渭词的阶。所谓一阶谓词，就是只刻画个体属性的谓词。一阶谓词的主目中，只出现个体变项。当我们说存在某些个体，具有“红色”这种性质，这是在对个体变项进行量化；当我们说存在某些性质具有“鲜艳”这种性质，我们就是在对谓词变项进行量化了。当我们涉及谓词的谓词，或者对谓词变项进行量化时，就进
14、入了高阶谓词逻辑。高阶逻辑的许多问题，可以化归为一阶逻辑。我们只讨论一阶逻辑。概括地说，一阶谓词逻辑，就是其中的谓词都是一阶谓词，其中的量词只刻画个体变项的量化。13谓词逻辑层次上自然语言的符号化现在，我们可以在一阶谓词逻辑的层次上，对自然语言进行符号化，这是对日常思维进行比命题逻辑更深入一步的逻辑分析的基础。以下的讨论，都通过实例说明。直言命题的表达式在传统逻辑中，断定个体是否具有某种性质的原子命题称为直言命题。直言命题分为四种基本类型：全称肯定命题，全称否定命题，特称肯定命题和特称否定命题。我们先讨论这四种基本命题的符号化。例1将下列命题符号化：(1) 所有的商品都是有价值的(2) 有的官
15、员是清廉的。(3) 所有的迷信都不是科学。(4) 有的新闻报导不是真实的。解在中，今S(x)表示“x是商品”，J(x)表示“x是有价值的”贝愉题(1)的表达式是：x(S(x)tJ(x)它的含义是：对任一个体x,如果x是商品，那么x是有价值的。注意，这里的含义是并且仅仅是：对任一个体x而言，如果x是商品，那么x是有价值的。至于作为商品的个体x是否存在，在表达式中没有得到断定，即表达式没有断定这样的x存在，也没有断定它不存在。这样的表达式是否准确表达了自然语言中全称命题的原意呢?确实，在日常语言的运用中，当我们说“所有的商品都是有价值的”，除了断定上述表达式所断定的含义外，事实上还断定“商品是存在的”。现在的问题是，这样的关于主项存在的断定，是全称命题的形式自身具有的，还是语言的使用者另外附加的呢？，换句话说，“所有的S都是P”这个命题形式本身，是否包含“S是存在的”这一断定?回答是否定的。例如，著名的牛顿定律断定：“所有不受外力作用的物体都保持匀速直线运动”。这一命题仅仅断定：对所有物体而言，如果它不受外力作用，那么它保持匀速直线运动；至于不受外力作用的这样的物体是否存在，没有得到断定。事实上，这样的物体是不存在的。如果全称命题的命题形式本身包含主项存在的断定，牛顿定律将成为一个明显的假命题。这说明，全称命题的形式自身并不包含主项存在的断定
