《2024年微分几何练习题库及参考答案已修改》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年微分几何练习题库及参考答案已修改（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限2设，求 0 3已知 ，则.4已知（为常向量），则5已知，（为常向量），则 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 亲密平面_.7. 曲率恒等于零的曲线是_ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点处则为曲面的_ 正常_点. 12 已知，则13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设曲线，当初的切线方程为17设曲线，当初的切线方程为.18.
2、曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.19. u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .22已知，其中，则23已知，其中，则24设为曲面的参数表示，假如，则称参数曲面是正则的；假如 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面25假如曲线族和曲线族到处不相切，则称对应的坐标网为 正规坐标网 26平面的第一基本形式为，面积微元为27悬链面第一基本量是28曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.29正螺面的第一基本形式是30双曲抛物面
3、的第一基本形式是31正螺面的平均曲率为 0 32方向是渐近方向的充要条件是33. 方向和共轭的充要条件是34.是主曲率的充要条件是35.是主方向的充要条件是36. 依照罗德里格斯定理，假如方向是主方向，则37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上的正投影曲线(C*)的曲率39之间的关系是40假如曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题1已知，则为（ A ）A. ； B. ； C. ； D.
4、.2已知，为常数，则为（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .其中为常向量3. 曲线(C)是一般螺线，如下命题不正确的是（ D ）A切线与固定方向成固定角； B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直； D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A最少有两个； B只有一个； C只有两个； D也许没有.5球面上的大圆不也许是球面上的（ D ）A测地线； B曲率线； C法截线； D渐近线.6. 已知，求为（ D ）A. ； B. ； C. ； D. .7圆柱螺线的切线与轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角； D. 有固定夹角.8设平面曲线，
5、s为自然参数，是曲线的基本向量论述错误的是（ C ）A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .9直线的曲率为（ B ）A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10有关平面曲线的曲率不正确的是（ D ）A. ； B. ，为的旋转角； C. ； D. .11对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）A. 充足无须要条件； B. 必要不充足条件； C. 既不充足也无须要条件； D. 充要条件.12下列论述不正确的是（ D ）A. 均为单位向量； B. ； C. ； D. .13对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）A. 充足无须要条件；B.必要不充足条件；C.
6、 既不充足也无须要条件；D.充要条件.14在点的切线与轴关系为（ D ）A. 垂直；B. 平行； C. 成的角；D. 成的角.15椭球面的参数表示为（ C ）A. ； B. ；C. ；D. .16曲面在点的切平面方程为（ B ）A. ； B. ；C. ； D. .17球面的第一基本形式为（ D ）A. ； B. ；C. ； D. .18正圆柱面的第一基本形式为（ C ）A. ； B. ； C ； D. .19在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（ B ）A ； B ；C ； D 20设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） A ； B ； C ； D 21高斯
7、曲率为零的的曲面称为（ A ）A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直线（假如存在）的测地曲率等于（ A ） A ； B ； C； D 323当参数曲线组成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ） A ； B ； C ； D 24假如测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） A 直线； B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1. 向量函数具备固定长度，则. 2. 向量函数具备固定方向，则. 3. 向量函数有关t的旋转速度等于其微商的模. 4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. 5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线
8、是圆柱螺线. 6. 圆柱面线是渐近线. 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成百分比. 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成百分比. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换. 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13. 若曲线的所有切线都通过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16. 曲面上的直线一定是测地线 17. 微分方程表示曲面上曲线族. 18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲
9、线. 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. 22. 球面上的圆一定是测地线. 23. 球面上经线一定是测地线. 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. 四、计算题1求旋轮线的一段的弧长解 旋轮线的切向量为，则在一段的弧长为： 2求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量解 由题意知 ， ，在原点，有 ，又 ，因此有.3圆柱螺线为，求基本向量； 求曲率k和挠率.解 ，又由公式由一般参数的曲率公式及挠率公式有，.4求正螺面的切平面和法线方程解 ，切平面方程为，法线方程为5求球面上任
10、一点处的切平面与法线方程 解 ， ， 球面上任意点的切平面方程为即，法线方程为即6求圆柱螺线在点处的亲密平面.解 因此曲线在原点的亲密平面的方程为 即.7求旋转抛物面的第一基本形式解 参数表示为，8求正螺面的第一基本形式解 ，9计算正螺面的第一、第二基本量解 ，10计算抛物面的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为，则， ， ， ， ，11. 计算正螺面的高斯曲率.解 直接计算知，12. 求曲面的渐近线.解 ，则， 因此，L=0， ，渐近线微分方程为，化简得， 渐近线为y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面上的曲率线.解 ， 曲率线的微分方程为: 或积分得两族曲率线方程:14. 求马鞍面
11、在原点处沿任意方向的法曲率.解 ， ， ， .15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即 ，代入主曲率公式，因此两主曲率分别为 . 16. 求曲面在点(1,1)的主方向. 解 代入主方向方程，得,即在点(1,1)主方向.17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点解 由 得 v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程解 由 得 令 得u=0 或v=0 因此抛物点的轨迹方程为 或.19.求圆柱螺线自然参数表示.解 由得 弧长 曲线的自然参数表示为 20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为则主法线曲面为：则因此腰曲线是 21求位于正螺面上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得由正交网的坐标曲线的测地曲率得五、证明题1. 设曲线：证明：证明 由伏雷内公式，得 两式作点积，得 2. 设曲线： 证明：证明 由伏雷内公式，得
