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1、衡水万卷作业（二十二）推理与证明考试时间：45分钟姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）用数学归纳法证明等式1+3+5+（2n1）=n2（nN*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（） A 1+3+5+（2k+1）=k2 B 1+3+5+（2k+1）=（k+1）2 C 1+3+5+（2k+1）=（k+2）2 D 1+3+5+（2k+1）=（k+3）2用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根(C)方
2、程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根下面几种推理是合情推理的是（ ）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形.等腰三角形.等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800；（3）张军某次考试成绩是100分，由些推出全班同学的成绩都是100分；（4）三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形内角和是5400，由此得凸多边形内角和是.A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（2）（4） D.（2）（4）已知“整数对”按如下规律排成一列：，则第个数对是（ ）(A) (B) (C) (D) 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出
3、成立”。那么，下列命题总成立的是（ ）A.若成立，则成立B.若成立，则成立C.若成立，则当时，均有成立D.若成立，则当时，均有成立观察按下列顺序排列的等式：，猜想第个等式应为（ ）A. B.C. D.设，则（ ）A.共有项，当时，；B.共有项，当时，；C.共有项，当时，；D.共有项，当时，.观察下列各式：，则的末两位数字为( )A.01 B.43 C.07 D.49函数在上是减函数，在上是增函数；函数在上是减函数，在上是增函数；函数在上是减函数，在上是增函数；利用上述所提供的信息解决问题：若函数的值域是，则实数的值是（ ）A.1 B. 2 C. 3 D. 4已知集合，若从集合中任取个数，其所有
4、可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记例如当时，；当时，.则（ ） A. B. C. D.某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则那么可推知方程解的个数是（ ）（A）. （B）. （C）. （D）.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_()A.BC.D2二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）观察下列等式：根据上述规律，第个等式为 .观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.甲、乙、丙三位
5、同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第 行，第61行中1的个数是 .第1行1 1第2行1 0 1第3行1 1 1 1第4行1 0 0 0 1第5行1 1 0 0 1 1根据三角恒等变换，可得
6、如下等式： 依此规律，猜测，其中 三 、解答题（本大题共2小题，共21分）（1）求证：；（2）已知函数，用反证法证明方程没有负数根.已知为正整数.（）用数学归纳法证明：当时，；（）对于，已知，求证，；（）求出满足等式的所有正整数.衡水万卷作业（二十二）答案解析一 、选择题考点： 数学归纳法专题： 阅读型分析： 首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时等式左边=1+3+5+（2k1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果解答： 解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+（2k1）+（2k+1）=k
7、2+（2k+1）=（k+1）2故选B点评： 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目需要同学们对概念理解记忆答案：AC B【解析】依题意,就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n+1,且每组共n个整数对,这样的前n组一共有个整数对,注意到，因此第60个整数对处于第11组（每组整数对的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数 对依次为：因此第60个整数对是，选B.D B D B【解析】，且的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记 的末两位数字为，则，的末两位数字相同，均为43.故选B.B D【解析】当时，所以。由于，
8、，所以猜想.C 答案B解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).二 、填空题【知识点】合情推理与演绎推理【答案】解析：由题意得，可得第n项为，所以第个等式为.【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果. A 4836 2n-1 32解析:全是1的行为第1,3,7,行,可知第n次全是1的是第2n-1行,第63行全是1,则第62行是1 010101,是1,0相间,第61行是1 100,是两个1.两个0相间,共有+1=32个1. 三 、解答题（1）证明：要证 只需证 只需证 即证 只需证 只需证 即证 上式显然成立，命题得证。 （2）证明：设存在，使，则由于得
9、01，解得x02，与已知x00矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根。【解法1】：（）证：用数学归纳法证明：（i）当时，原不等式成立；当时，左边,右边,因为,所以左边右边，原不等式成立；2分（ii）假设当时，不等式成立，即，则当时，两边同乘以得，所以时，不等式也成立.综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立.6分（）证：当时，由（）得于是10分（）解：由（）知，当时，12分故只需要讨论1,2,3,4,5的情形；当时，34，等式不成立；当时，32+4252，等式成立；当时，33+43+5363，等式成立；当时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的只有.14分【解法2】：（）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时， 1（i）当时，左边,右边,因为,所以左边右边，不等式成立；（ii）假设当时，不等式成立，即,则当时，因为,所以.又因为,所以.于是在不等式两边同乘以得：所以,即当时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.4分（）证：当而由（）， 9分（）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当时，不存在满足该等式的正整数.14分
