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1、模块综合测评(二)(时间:120分钟总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.在极坐标系中,圆=2cos 垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和cos =2B.=2(R)和cos =2C.=2(R)和cos =1D.=0(R)和cos =1解析:由题意可知,圆=2cos 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=2(R)和cos =2,应选B.答案:B2.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标可以是()A.1,2B.1,-2C.(1,0)D.(1,)解析:由题
2、意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标可以是1,-2.答案:B3.在极坐标系中,点2,3到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.4+29C.1+29D.3解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点2,3的直角坐标为(1,3).故圆心(1,0)与(1,3)的距离为d=(1-1)2+(3-0)2=3.答案:D4.极坐标方程(-1)(-)=0(0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线解析:=1表示圆,=(0)表示一条射线.答案:C5.直线x=3-t,y=4+t(t为参数)上与
3、点P(3,4)的距离等于2的点的坐标是()A.(4,3)B.(2,5)C.(4,3)或(2,5)D.(-4,5)或(0,1)解析:将x=3-t,y=4+t化为普通方程得x+y-7=0,由x+y-7=0,(x-3)2+(y-4)2=2,解得x=4,y=3或x=2,y=5,故所求点的坐标为(4,3)或(2,5).答案:C6.假设动点(x,y)在曲线x24+y2b2=1(b0)上变化,那么x2+2y的最大值为()A.b24+4(0b4)2b(b4)B.b24+4(0b2)2b(b2)C.b24+4D.2b解析:设动点的坐标为(2cos ,bsin ),代入x2+2y=4cos2+2bsin =-2s
4、in-b22+4+b24,当0b4时,(x2+2y)max=b24+4;当b4时,(x2+2y)max=-2-b22+4+b24=2b.答案:A7.设曲线C的参数方程为x=2+3cos,y=-1+3sin(为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,那么曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=|2+3+2|10=71010且3-7101071010,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案:
5、B8.直线3x-4y-9=0与圆x=2cos,y=2sin(为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析:圆的参数方程可化为x2+y2=4,可求得该圆的圆心(0,0),半径r=2.显然圆心不在直线3x-4y-9=0上,又由点到直线的距离公式知,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=|-9|32+42=95r,应选D.答案:D9.曲线x=cos,y=sin(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.12B.22C.1D.2解析:曲线x=cos,y=sin(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和为d=|sin |+|cos |,不妨设0,2,那么d=|si
6、n |+|cos |=sin +cos =2sin+4,故最大值为2.答案:D10.经过点(1,1),倾斜角为135的直线截椭圆x24+y2=1所得的弦长为()A.225B.425C.2D.325解析:过点(1,1),倾斜角为135的直线的参数方程为x=1-22t,y=1+22t(t为参数),代入椭圆的方程可得1-22t24+1+22t2=1,化简得5t2+62t+2=0.设两根为t1,t2.根据根与系数的关系可得t1+t2=-625,t1t2=25,那么弦长为|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=425.答案:B11.导学号双曲线C的参数方程为x=3cos,y=4tan(为参数),在
7、以下直线的参数方程中,x=-3t,y=4t;x=1+32t,y=1-12t;x=35t,y=-45t;x=1-22t,y=1+22t;x=3t,y=4t(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A.B.C.D.解析:由双曲线的参数方程知,a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=43x.检验所给直线的参数方程可知适合条件.答案:A12.极坐标系内曲线=2cos 上的动点P与定点Q1,2的最近距离等于()A.2-1B.5-1C.1D.2解析:将曲线=2cos 化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),那么点P到点Q的最短距离为点
8、Q与圆心的距离减去半径,即2-1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.在极坐标系中,曲线=cos +1与cos =1的公共点到极点的距离为.解析:联立方程组得(-1)=1=152,又0,故所求为1+52.答案:1+5214.圆的极坐标方程为=4cos ,圆心为点C,点P的极坐标为4,3,那么|CP|=.解析:由圆的极坐标方程为=4cos ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,23),所以|CP|=23.答案:2315.在平面直角坐标系xOy中,假设直线l:x=t,y=t-a(t为参数)过椭圆C:x=3cos,y=2sin(为参数)的右顶点,那么常数a
9、的值为.解析:由题意知在直角坐标系下,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为x29+y24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.答案:316.导学号如图,假设以过原点的直线的倾斜角为参数,那么圆x2+y2-x=0的参数方程为.解析:由三角函数定义知yx=tan (x0),y=xtan ,由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2-x=0,x=11+tan2=cos2,那么y=xtan =cos2tan =sin cos ,当=2时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为x=cos2,y=sincos(为参数).答案:x=cos2,y=sincos(为参数)三、解答题(
10、本大题共6小题,共70分)17.(本小题总分值10分)在极坐标系中,圆C经过点P2,4,圆心为直线sin-3=-32与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解如图,在sin-3=-32中,令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P2,4,所以圆C的半径PC=(2)2+12-212cos4=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos .18.(本小题总分值12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=t+1,y=2t(t为参数),曲线C的参数方程为x=2tan2,y=2tan(为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解因为直线l的参数
11、方程为x=t+1,y=2t(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组y=2(x-1),y2=2x,解得公共点的坐标为(2,2),12,-1.19.(本小题总分值12分)动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),点M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此点M为(cos +c
12、os 2,sin +sin 2).点M的轨迹的参数方程为x=cos+cos2,y=sin+sin2(为参数,02).“师之概念 ,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之含义 ,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称 ,隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记? ,有“荀卿最为老师之说法。慢慢“老师之说也不再有年龄的限制 ,老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师当然不是今日意义上的“教师 ,其只是“老和“师的复
13、合构词 ,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称 ,虽能从其身上学以“道 ,但其不一定是知识的传播者。今天看来 ,“教师的必要条件不光是拥有知识 ,更重于传播知识。(2)点M到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cos(02).当=时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.20.导学号(本小题总分值12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数).点M是C1上的动点,点P满足OP=2OM,点P的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的参数方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=3(0)与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,
14、求|AB|.解(1)设点P为(x,y),那么由条件知点M为x2,y2.由于点M在C1上,所以x2=2cos,y2=2+2sin,即x=4cos,y=4+4sin.那么曲线C2的参数方程为x=4cos,y=4+4sin(为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin .射线=3(0)与C1的交点A的极径为1=4sin 3,射线=3(0)与C2的交点B的极径为2=8sin3.所以|AB|=|2-1|=23.21.(本小题总分值12分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)点P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.解(1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t.又C(0,3),那么|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最
