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1、概率论与数理统计概率论与数理统计本课程的重点章是第本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章章.（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。它们所占分数依次大致为：它们所占分数依次大致为：20分，分，40分，分，30分，分，10分。分。（2）试题的题型有：选择题）试题的题型有：选择题(10*2=20分分)、填空题、填空题 (15*2=30分分)、 计算题计算题 (2*8=16分分)、综合题综合题(2*12=24分分)、应用题应用题(1*10=10分分)。（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大）在试题中，概率论和数理统计内容试
2、题分数的分布大 致是致是75分和分和25分分. 概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？概率论概率论概率论概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的科学科学科学科学。 序序 言言数理统计数理统计数理统计数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。 目目 录录第一章第一章 随机事件
3、与概率随机事件与概率(重点重点)第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布(重点重点)第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布(重点重点)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征(重点重点)第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第六章第六章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计(重点重点)第八章第八章 假设检验假设检验(重点重点)第九章第九章 回归分析回归分析第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 1.1 随随机事件机事件1.2 1.2 概概率率1.3 1.3 条条件概率件概率1.4 1.4
4、 事事件的独立性件的独立性 1.1.1 随机现象随机现象 现象按照必然性分为两类现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象确定性现象； 一类是随机现象随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象随机现象。1.1 随机事件随机事件 1.1.2 随机试验和样本空间随机试验和样本空间试验的例子试验的例子E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；E3: 记录110报警台一天接到的报警次数；E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5: 记录某物理量的测量误差；E6:在区间 上任取一点，记录
5、它的坐标。 上述试验的特点：上述试验的特点：1.试验的可重复性试验的可重复性可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体一次试验之前无法确定具体 是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知所有可能的结果是预先可知 的。的。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验随机试验，简称简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。 1、样本空间样本空间: 试验的试验的所有
6、可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为试验试验E的样本空间的样本空间,记为记为.样本空间样本空间2、样本点样本点:试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果成为一个成为一个样本点样本点,用字母用字母表示表示.下面分别写出上述各试验下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间1.1.3 随机事件随机事件1.定义定义 样本空间的任意一个子集子集称为随机事件随机事件, 简称“事件”. 记作A、B、C等。例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生事件发生：例如，在试验
7、E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件基本事件：样本空间仅包含一个样本点的单点子集。例例，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。两个特殊的事件两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：. 1.包含关系与相等包含关系与相等：“ 事件事件 A发生必有事件发生必有事件B发生发生” ，记为，记为A B。 AB A B且且B A.1.1.4、事件之间的关系、事件之间的关系A BAB2.和事件：和事件： “事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生”，记作，记作A B或或A+B。推广：推广：n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作至
8、少有一个发生，记作显然：1.A A B，B A B；2.若若A B，则，则A B=B。3.积事件积事件 :事件事件A与事件与事件B同时发生，记作同时发生，记作 A B 或或AB。推广：推广：n个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An显然：1.AB A，AB B；2.若若A B，则，则AB=A。4.差事件差事件 ：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生显然：显然：1.A-B A；2.若若A B，则，则A- -B=。5.互不相容事件（也称互斥的事件）互不相容事件（也称互斥的事件） 即事件即事件A与与事件事件B不
9、可能同时发生不可能同时发生。AB 。ABAB= 6.对立对立事件事件 A B , 且且AB 思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互为对立事件的区别为对立事件的区别.显然有：显然有：事件的事件的运算律运算律1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA。2、结合律、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)。4、对偶、对偶(De Morgan)律律： 例例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A
10、，B，C都不发生；（4）A，B，C不全发生；（5）A，B，C恰有一个发生。解解例例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解解本节课主要讲授：本节课主要讲授： 1.随机现象；随机现象； 2.随机试验和样本空间；随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；随机事件的概念； 4.随机事件的关系和运算（随机事件的关系和运算（重点重点）。）。小小 结结1.2 概概 率率1.2.1 频率与概率频率与概率频率的性质：频率的性质：试验者试验者德.摩根204
11、810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征也应有类似特征：2.2.等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.1.2.2 古典概型古典概型 理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为称为古典概型古典概型：1.1.有限性：有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点; 设事件A中所含样本点个数为r ,样本空间中样本点总数为n,则有古典概型中的概率古典概型中的概
12、率:例例1-7 掷一枚质地均匀的骰子掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。求出现奇数点的概率。事件事件“出现奇数点出现奇数点”用用A表示表示,则则A=1,3,5,所含样所含样本本点数点数r=3,从而从而解解： 显然样本空间显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数样本点总数n=6,所以所以A,B,C中样本点数分别为中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例例1-8 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币3次次,设事件设事件A为为“恰有恰有1次出现面次出现面”, B为为“恰有恰有2次出现正面次出现正面”,C为为“至少一次出现正面至少一次出现正面”,试试求求 P(A),P(B),P(C).则
13、则P(A)=rAn= 38, P(B)=rBn=18, P(C)=rCn= 78.例例1-9 从从0,1,2,9等等10个数字中任意选出个数字中任意选出3个不同数字个不同数字,试试求求3个数字中不含个数字中不含0和和5的概率的概率.解解 设设A表示表示“3个数字中不含个数字中不含0和和5”. 从从0,1,2,9中任意选中任意选3个不同的数字个不同的数字,共有共有 种选法种选法, 即基本事件总数即基本事件总数n= . 3个数中不含个数中不含0和和5,是从是从1,2,3,4,6,7,8,9共共8个数中取得个数中取得, 选法有选法有 ,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 ,则则 如果把题中的如果
14、把题中的 “0和和5” 改成改成“0或或5”,结果如何？结果如何？例例1-10 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而后再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率. 解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这时可重复排列问题时可重复排列问题. 设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数包含的基本事件数9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二次取数应从另外的次取数
15、应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8, 故故 P(A)=rn= 9*892=89例例1-11 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 . 记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能包含两种可能: 全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球. 全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知,A
16、的取法共的取法共 中中, 即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r = 故故 (2)采取放回抽样：第一次抽取共有采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，种取法，取后放回， 第二次抽取仍有第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数种取法，即基本事件总数n=1002.在这种在这种 情况下，情况下，A中包含的基本事件数中包含的基本事件数r仍为仍为97*3，故，故例例1-12 一批产品共有一批产品共有100件，其中件，其中3件次品，现从这批产品中接件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，
17、第二次再抽取一件；）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.试分别针对上述两种情况，求事件试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品第一次取到正品，第二次取到次品的概率的概率”。 解解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接件产品取出的顺序，接 连两次抽取共有连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数种取法，即基本事件总数 .第一第一 次次 取到正品共有取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有种取法，第二次取到
18、次品共有3种取法，种取法， 则则A中包含的基本事件数是中包含的基本事件数是r=97*3，故，故计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：例子： 由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质：性质： (3)当当A与与B互不相容时，有互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B). 这个性质可以推广：当这个性质可以推广：当A1，A2，Am互不相容时，有互不相容时，有其中其中m是正整数是正整数.当当A1，A2，Am互不相容时，有互不相容时，有1.定义定义若对随机试验若对随
19、机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) P(A) 0；(2) P( )1； (3) 可列可加性可列可加性：设设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事是一列两两互不相容的事件，即件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。1.2.3 概率的定义与性质概率的定义与性质概率的性质概率的性质性质性质 1-1性质性质 1-2 对于任意事件对于任意事件A,B有有 P(AUB
20、)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地特别地,当当A与与B互不相容时互不相容时, P(AUB)=P(A)+P(B).性质性质1-2可推广可推广：对于任意事件A,B,C有 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当A1,A2,An互不相容时： P(A1UA2UUAn)=P(A1)+P(A2)+P(An).性质性质1-3 P(B-A)=P(B)-P(AB).特别地,当A B时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A) P(B).性质性质 1-4 P(A)1 P(A).性质性质 1-5 ：对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(
21、AB ) , P(B)P(AB)P(AB )例例1-13 已知12种产品中有2件次品,从中任意抽取4件产品, 求至少取得1件次品(记为A)的概率.解解 设B表示“为抽到次品”,则B= A,而由古典概型的概率 求法可得例例1-14 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8, P(AB)=0.3, 求求P(B).解解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解解 由性质1-5可知，例例1-15 设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5, 求P(AB). P(AB)=
22、P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-16 设设A与与B互不相容互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求求P(AB).解解 P(AB)=P( )=1-P(AUB)=1-P(A)+P(B) =1-(0.5+0.3)=0.2 小小 结结本节课的重点：本节课的重点： （1）古典概型事件概率的计算；）古典概型事件概率的计算； （2）概率的性质及其应用）概率的性质及其应用.1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式例例1-17 某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？ （2）
23、已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？1.3 条件概率条件概率1 定义定义 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A).定义定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法： 一、是用定义计算； 二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.例例1-18 在全部产品中有在全部产品中有4%是废品是废品,有有72%为一等品为一等品.现从现从中任取一件为合格品中任取一件为合格品,求它是一等品的概率求它是一等品的概率.解解 设A表示“
24、任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为 例例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它是白球的概率是白球的概率.解解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由古典概型的等可能性可知,所求概率为解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由条件概率公式可得解解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次
25、取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例例1-20 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率.性质2 若A与B互不相容，则 性质3 条件概率的性质条件概率的性质性质1概率的乘法公式：(1)当当P(A)0时，有时，有P(AB)=P(A)P(B|A).(2)当当P(B)0时，有时，有P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式
26、还可以推广到n个事件的情况：(1)设设P(AB)0时，则时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).同理还有P(AC)0， P(BC)0之下的乘法公式.(2)设P(A1A2An-1)0,则P(A1A2An-1)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例例1-21 在在10个产品中个产品中,有有2件次品件次品,不放回的抽取不放回的抽取2次产品次产品,每每次取一个次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率.解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 例例1-22 盒中有盒中有5个白球个白球2个黑球个黑球,
27、连续不放回的在其中取连续不放回的在其中取3次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率.解解 设设Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑球次取到黑球”,于是所求概率为于是所求概率为例例1-23 设设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求求P(A|B).解解1.3.2 全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式定义定义1-3 设事件A1,A2,An满足如下两个条件：(1)A1,A2,An互不相容,且P(Ai)0,i=1,2,n;(2)A1 A2 An=,即A1,A2,An至少有一个发生,则称A1,A2,An为样本空间的一个划分划分.全
28、概率公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个划分,B是任意一个事件,则注：全概率公式求的是注：全概率公式求的是无条件概率无条件概率例例1-24 盒中有盒中有5个白球个白球3个黑球个黑球,连续不放回地从中取两连续不放回地从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率.解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得例例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%, 35%, 35%
29、,并且在各自的产品中废品率分别为并且在各自的产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.解解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%,P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.由全概率公式得例例1-26 设在设在n(n1)张彩票中有张彩票中有1张奖券张奖
30、券,甲、乙两人依次甲、乙两人依次摸一张彩票摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.解解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B),显然P(A)=1/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得 这个例题说明这个例题说明,购买彩票时购买彩票时,不论先买后买不论先买后买,中奖机会是均等的中奖机会是均等的,这就是所这就是所谓的谓的“抽签公平性抽签公平性”. 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 设设A1,A2,An是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分,B是任一事件是任一事件,且且P(B)0,则则例例1-27 在例1
31、-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.解解 使用例1-24解中记号,所求概率为 ,由贝叶斯公式注：注：Bayes公式求的是公式求的是条件概率条件概率.例例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解解 由贝叶斯公式，例例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?解解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有1
32、5%左右真正患有该病.例题例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每假设母亲每 月给他寄钱的概率是月给他寄钱的概率是0.8. 小明打算国庆假期去上海看世博小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9. 求：求：(1) 小明能去上海看世博会的概率是多少？小明能去上海看世博会的概率是多少？(2) 假如现在国庆假期已过假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海小明已经去过上海,求他父母亲给求他父母亲给
33、他寄钱的概率各是多少？他寄钱的概率各是多少？1、全概率公式及其应用；、全概率公式及其应用；(求无条件概率求无条件概率)小小 结结2、贝叶斯公式及其应用。、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率求条件概率)定义定义1-4 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立独立.性质性质1-6 若A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B都相互独立.1.4 事件的独立性事件的独立性1.4.1 两事件独立两事件独立性质性质1-5 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).以下四件事等价：
34、(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质由性质1-6知知，例例1-30 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的 概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率. 解解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律对偶律亦可.注注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(AB)=1-
35、P(A)P(B)例例1-31 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中有放回地连续取两次从中有放回地连续取两次,每次取每次取 一个球一个球,求两次取出的都是白球的概率求两次取出的都是白球的概率. 解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例例1-32 设设A与与B相互独立相互独立,A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不发生的不发生的 概率相等概率相等,且且P(A)=1/3，求，求P(B). 即即解得解解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故P(A)P(B
36、)=P(A)P(B)，二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义1-5 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立； 一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn), 任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1,A2,An相互独立。2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AUB与CD独立吗？例例1-33 3人独立地破译一个密码人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概他们能
37、单独译出的概率分别为率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密求此密码被被译出的概率出的概率.解法解法1 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.于是解法解法 2 用用解法解法1的记号，的记号， 比较起来比较起来, 解法解法1要简单一些要简单一些,对于对于n个相互独立事件个相互独立事件A1,A2,An,其和事件其和事件A1A2An的概率可以通过下的概率可以通过下式计算：式计算：例例1-34 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中它们的命中 率分别
38、为率分别为0.1, 0.2, 0.3,求敌机恰中一弹的概率。求敌机恰中一弹的概率。解解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3, B表示“敌机恰中一弹”,则已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P( )=_.设随机事件A与B相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则P(AB)= .设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=_ 练练 习习0.750.2设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=，且P(A)=P(B)=P(C)=x，则当x= 时，P(ABC)= .n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验：试验： 试验只要两个结
39、果A和A,而且P(A)=p,0p1.将试验独立重复进行n次,则称为n重贝努利试验.此类试验的概率模型成为贝努利概型贝努利概型.定理定理1-1 在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A的概率为p(0p1),事件A恰好发生k次的概率1.4.2 n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验试验例例1-35 一射手对一目标独立射击一射手对一目标独立射击4次次,每次射击的命中率为每次射击的命中率为0.8,求：求：（1）恰好命中两次的概率；）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。）至少命中一次的概率。解解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8,(1)设事件A2表示“4次射
40、击恰好命中两次次射击恰好命中两次”,则所求的概率为(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未次射击都未命命中中”,则故所求的概率为故所求的概率为例例1-36 一车间有一车间有5台同类型的且独立工作的机器台同类型的且独立工作的机器.假设在任假设在任一时刻一时刻t,每台机器出故障的概率为每台机器出故障的概率为0.1,问在同一时刻问在同一时刻(1) 没有机器出故障的概率是多少没有机器出故障的概率是多少?（0.59049）(2) 至多有一台机器出故障的概率是多少？（至多有一台机器出故障的概率是多少？（0.91854）例例1-37 转炉炼钢转炉炼钢,每一炉
41、钢的合格率为每一炉钢的合格率为0.7.现有若干台转炉现有若干台转炉同时冶炼同时冶炼.若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%.问同时至少要有几台转炉炼钢？（问同时至少要有几台转炉炼钢？（4台）台） 某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2；（3）5次预报中至少有4次准确的概率p3;（4）5次预报中至多有1次准确的概率p4;（5）直到第5次才预报准确的概率p5.练练 习习小小 结结1、事件的独立性；、事件的独立性；2、n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验试
42、验. 第二章随机变量第二章随机变量随机变量概念随机变量概念分布函数的概念和性质分布函数的概念和性质离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量概率密度函数随机变量函数分布随机变量函数分布2.12.1.1.1随机变量的概念随机变量的概念定义 2.1 设E是随机试验，样本空间为，如果对每一个结果（样本点），有一个实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量.随机变量常用X，Y，Z，.或X1，X2，X3，,.顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件机会表现为试验结果，一个随机
43、试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6等6个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了比如你在星期一买了张奖券，到星期五开奖在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道 2.1.2 离散型随机变量及其分布律定义定义2-2 若随机变量X只能取有限多个或
44、可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, , xn, 且且 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 则称则称Pk为为X的的分布律分布律或分布列，概率分布。或分布列，概率分布。分布律也可用表格形式表示分布律也可用表格形式表示2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2
45、, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 分布律Pk具有下列性质：反之，若一个数列Pk具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。例2-1 设离散型随机变量X的分布律为X 0 1 2P 0.2 C 0.3求常数C.例2-2 投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。例2-3 袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律.例2-4 已知一批零件共10个，其中有3个不合格.现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此
46、下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。例2-5 对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律.2.1.3 0-1分布与二项分布定义2-4 若随机变量X只取两个可能值0，1，且 PX=1=p，PX=0=q， X 0 1 P q p定义2-5 若随机变量X的可能取值为0，1，2，.,n,而X的分布律为其中0p9；(2)若该顾客一个月内去银行若该顾客一个月内去银行5次次,以以Y表示他未等到服务而表示他未等到服务而离开窗口的次数离开窗口的次数,即事件即事件 X9在在5次中发生的次数次中发生的次数，试求，试求 PY=0。练练 习习练 习 司
47、机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为= 的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求PY1. 2.3.3 正态分布正态分布定义定义 2-11 习惯上习惯上, ,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量变量, ,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线. .正正态分布曲线的性质如下：态分布曲线的性质如下：标准正态分布标准正态分布设随机随机变量量X的概率密度的概率密度为f(x),
48、且且f(-x)=f(x),F(x)是是X的分布函数的分布函数,则对任意的任意的实数数a,有（有（ ）A. F(-a)=1- B. F(-a)= C. F(-a)=F(a) D. F(-a)=2F(a)-1 结结 论论 由此看出：尽管正态分布取值范围是由此看出：尽管正态分布取值范围是 ,但它的值落在但它的值落在 的概率为的概率为0.9973几乎几乎是肯定的是肯定的,这个性质被称为正态分布的这个性质被称为正态分布的“ 规则规则”.练练 习习某地抽样调查结果表明,某次统考中,考生的数学成绩(百分制)X服从正态分布N(72, 2)，且96分以上的考生占考生总数的2.3%. 试求考生的数学成绩在6084
49、分之间的概率. 设测量距离时产生的随机误差X XN N(0,100,102 2)(单位：m)，现作三次独立测量， 记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知( (1.96) )=0.975.(1) 求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p;(2) 问Y Y 服从何种分布，并写出其分布律；(3) 求E(E(Y Y ).).已知自动车床生产的零件长度已知自动车床生产的零件长度X(毫米毫米)服服从正态分布从正态分布N(50,0.752),如果规定零件长度如果规定零件长度 在在 之间为合格品，求生产的之间为合格品，求生产的零件是合格品的概率零件是合格品的概率.定义定义2-12常用的上侧分位数
50、常用的上侧分位数以上这些值都是通过反查附表以上这些值都是通过反查附表1得到得到. 2.4 2.4 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布 设设X X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 X XPXPXx xk k p pk k, k, k1, 2, 1, 2, g(xg(x) )是一给定的连续函数，称是一给定的连续函数，称Y Yg(Xg(X) )为随为随机变量机变量X X的一个函数，显然的一个函数，显然Y Y也是一个随机也是一个随机变量变量. . 本节将讨论如何由已知的随机变量本节将讨论如何由已知的随机变量X X的的概率分布去求函数概率分布去求函数Y Yg(Xg(X) )的概率分
51、布的概率分布. .一般地一般地XPkY=g(x)的可能取值为的可能取值为注意中可能有相等的情况.YP例例2-24 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4求求: (1)Y=X3的分布律的分布律.(2) Z=X2的分布律的分布律.解解 (1)Y的可能取值为的可能取值为-1，0，1，8.由于由于YP-1 0 1 80.2 0.1 0.3 0.3从而从而Y的分布律为的分布律为(2) Z的可能取值为的可能取值为0，1，4.从而从而Z的分布律为的分布律为ZP0 1 40.1 0.5 0.4 例例2-25 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为解解
52、因为因为所以所以Y只能取值只能取值-1,0,1,而取这些值的概率为而取这些值的概率为故故Y的分布律为的分布律为YP例例2-262-26 1.已知随机变量的分布律为已知随机变量的分布律为且且Y=X2,记随机变量记随机变量Y的分布函数为的分布函数为FY(y), FY(3)=_.练练 习习 2. 袋中装有袋中装有5只球，编号为只球，编号为1,2,3,4,5,现从袋中同时取出现从袋中同时取出3只只,以以X 表示取出的表示取出的3只球中的最大号码只球中的最大号码,试求试求: （1）X的概率分布的概率分布; （2）X的分布函数的分布函数; （3）Y= X2+1的概率分布。的概率分布。2.4.2 连续型随机
53、变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布例例2-272-27例例2-29解解例例2-30此分布称为对数正态分布对数正态分布. 以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是应用定理,故称为“公公式式法法”.需要注意的是,它仅适用于“单调型”随机变量函数,即要求y=g(x)为单调函数.如果y=g(x)不是单调函数,求Y=g(X)的概率密度较复杂.解解则则 例例2-31中求随机变量函数的概率密度的方法称为中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法直接变换法”,它同样适应于它同样适应于非单调型随机变量非单调型随机变量的情的情况况.当然例当然例2-31也可以直接利用定理中的公式求解也可以直接
54、利用定理中的公式求解.1.设随机变量设随机变量XU (0，5)，且，且Y=2X，则当，则当0y10时，时， Y的概率密度的概率密度fY (y)=_. .2.设随机变量设随机变量XN(1,4), Y=2X+1,则则Y所服从的分布所服从的分布 为为( )A. N(3 , 4) B. N(3 , 8)B.C. N(3 ,16) D. N(3 ,17) 练练 习习4. 设随机变量设随机变量XU(0,2),求随机变量求随机变量Y=X2在在(0,4) 内的概率密度函数内的概率密度函数fY(y).5. 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布.试求：试求：(1)求求X的分布函数的分布
55、函数(2)求求(3)令令Y=2X,求求Y的概率密度的概率密度5. 随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为第三章第三章 多维随机变量及其概率多维随机变量及其概率3.1 二维随机变量的概念二维随机变量的概念3.1.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数边缘分布函数：边缘分布函数： (X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y).边缘分布函数可由联合分布函数来确定. 如下几何意义几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概
56、率,见下图见下图.yx(x,y)0D 利用分布函数及其集合意义不难看出利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点随机点(X,Y)落在矩落在矩形域形域x1X x2, y1Y y2内内(如下图如下图)的概率为：的概率为：yxoy2y1x2x1(x1, y2)(x2, y2)(x1,y1)(x2, y1)回忆回忆: 分布函数分布函数F(x)的性质的性质.例例 3-1解解3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义3-3 若二维随机变量若二维随机变量(X ,Y )只能取有限多对或可列无只能取有限多对或可列无穷多对穷多对( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,)则称则称(X ,Y )为二
57、维离散型随机变为二维离散型随机变量量. 设二维随机变量设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ),( i ,j=1,2,),( X, Y )在各个可能取值的概率为：在各个可能取值的概率为：PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)称PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)为为( X , Y )的分布律的分布律.( X , Y ) 的分布律还可以写成如下列表形式：的分布律还可以写成如下列表形式：XYy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij (X,Y) 的分布律具有下
58、列性质:回忆：回忆：分布律PK的性质.(1) 0 PK 1；(2) P1 +P2 + + PK =1.(1) 0 Pij 1 ( i,j=1,2, ) ; 反之,若数集pij ( i,j=1,2, ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例例 3-2 设设(X,Y)的分布律为的分布律为XY1 2 3 12求常数求常数a的值的值.解解 由分布律性质知，由分布律性质知，例例3-3 设(X,Y)的分布律为XY1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25求求: (1)PX=0; (2)PY2; (3)PX1,Y1=_.练练 习习3.设二二维随机随机变量量(
59、X,Y)的概率密度的概率密度则则PX+Y1=_.5.设二二维随机随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度则(X,Y)关于关于X的的边缘概率密度概率密度fX(x)=_.4.设二二维随机随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为则(X,Y)关于关于Y的的边缘概率密度概率密度为_.3.2 随机变量的独立性随机变量的独立性回忆回忆：两个事件两个事件相互独立的定义相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立相互独立, 简称A,B独立独立.3.2.2 二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性例例 3-16 设设(X,Y)的分布律为的分布律为YX这里这里“几乎处处成立几乎处
60、处成立”的含义是：在平面上除去面积为的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合的集合外，处处成立外，处处成立. 联合分布函数与边缘分布的关系:联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布完全确定. 1. 设随机变设随机变量量 (X,Y) 的的概率密度是概率密度是问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立?练练 习习3.3 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布3.3.1 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布例例 3-24 设设(X,Y)的分布律为
61、的分布律为求求Z=X+Y的分布律的分布律.XY结结论论设二二维随机向量随机向量(X,Y)的的联合分布列合分布列为：试求：求：（1）a的的值；（2）(X,Y)分分别关于关于X和和Y的的边缘分布列；分布列；（3）X与与Y是否独立？是否独立？为什么？什么？（4）X+Y的分布列的分布列.YX12 0 1 2 0.1 0.2 0.1 a 0.1 0.2 练练 习习第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的期望随机变量的期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的期望随机变量的期望
62、4.1.1 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望定义定义4-1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望PX=xk=pk , k=1,2,例例4-1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求求E(X).解解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1 0.5=0.2例例4-2 甲乙两人进行打靶甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为
63、它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏试比较它们成绩的好坏.解解 分别计算分别计算X和和Y的数学期望的数学期望:E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分). 这就意味着这就意味着,如果进行多次射击如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于甲所得分数的平均值接近于1.8分分,而乙而乙得分的平均值接近得分的平均值接近1分分.很明显乙的成绩远不如甲很明显乙的成绩远不如甲.下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期
64、望.1. 两点分布两点分布随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中其中0p1，有，有E(X)=0X X(1-p)+1X Xp=p.2. 二项分布二项分布设设XB(n, p), 即即从而有从而有3. 泊松分布泊松分布设设XP()其分布律为其分布律为则则X的数学期望的数学期望E(X)=.下面介绍离散型随机变量函数的数学期望下面介绍离散型随机变量函数的数学期望.定理定理4-1 设离散型随机变量设离散型随机变量x的分布率为的分布率为下面介绍几种重要连续型随机变量的期望下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.4.1.3 二维随机变量函数的期望二维随机变量函数的期望XY即即练练
65、 习习1. 设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_. 2.设随机变量X与Y相互独立,其分布律分别为则E(XY)=_.3.设随机变量X的概率密度为则E(X)=_. 4.设随机变量X的概率密度为 且E(X)=求求:常数a,b. 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为且已知E(Y)=1,试求:(1)常数,;(2)E(XY);(3)E(X).XY4.2 方方 差差4.2.1 方差的概念方差的概念 上一节我们介绍了随机变量的数学期望上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均它体现了随机变量取值的平均水平水平,是随机变量的一个重要的数字
66、特征是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离我们还要研究随机变量偏离期望的程度期望的程度.这就需要再引入方差的概念这就需要再引入方差的概念.定义定义4-3说明说明：(1) 随机变量随机变量X的方差的方差D(X)即是即是X的函数的函数(X-E(X)2的期望的期望.(2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小方差较小;取值相取值相对分散时对分散时,方差较大方差较大,并且总有并且总有方差的计算方法：方差的计算方法：解解等等 价价 公公 式式1. 两点分布两点分布
67、(0-分布分布)随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中其中0p0,D(Y)0,则下列等式成立的是（则下列等式成立的是（ ）3.设随机变量设随机变量X的期望的期望E (X )=2,方差方差D (X )=4,随机变量随机变量Y的期望的期望E (Y )=4， 方差方差D (Y)=9,又又E (XY )=10,则则X,Y的相关系数的相关系数= _5.已知随机变量已知随机变量X,Y的相关系数为的相关系数为,若若U=aX+b, V=cY+d,其中其中ac0. 试求试求 U,V的相关系数的相关系数.4. 已知已知D(X)=9, D(Y)=4,相关系数相关系数=0.40.4,求
68、求D(X+2Y),D(2X-3Y). 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科, 而随机变量的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来.研究大量随机现象的统计规律,常常采用极限定理的形式去刻画,由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容非常广泛，本章主要介绍大数定律与中心极限定理. 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率识识记记1.(2006-7)设随机变量X服从参数为2的泊松分布,试由切比雪夫不
69、等式估计 P|X-E(X)| 0 ，有，有 定理定理5-2（贝努利大数定律贝努利大数定律）或或 5.2 大数定律大数定律注：注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充充分大时，事件分大时，事件A发生的频率发生的频率m/n与事件与事件A的概率的概率p有有较大偏差的概率很小较大偏差的概率很小.5.2.2 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律定理定理5-3说明说明1.(2010-1)设 为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的A. 0 B. 1C. 0 D. 不存在不存在5.3 中心极限
70、定理中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和综合（或和) )影响所形成的影响所形成的. . 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的响的. .每个每个随机因素的对随机因素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用所起的作用都是很小的都是很小的. .那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪 ？定理定理 5.45.45.3.1 5.3.1 独立同分布
71、序列的中心极限定独立同分布序列的中心极限定理理结论结论5.3.2 5.3.2 棣莫弗棣莫弗(De-Moivre)-拉普拉斯拉普拉斯(Laplace) 中心极限定理中心极限定理结结 论论1.(2010-4)设随机变量XB (100，0.5)，应用中心极限定理可算得P40X0),x1,x2,xn是来自该总体的样本,则的矩估计 _.5.(2007-7)设总体X服从参数为的泊松分布,其中为未知参数.X1,X2,Xn为来自该总体的一个样本,则参数的矩估计量为_.8.(2008-7)假设总体X服从参数为的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是来自总体X的样本容量为5的简单随机样本，则的矩估计值
72、为_ 7.2 点估计的评价标准7.3 7.3 参数的区间估参数的区间估计计7.3.2 7.3.2 单个正态总体参数的置信区间单个正态总体参数的置信区间并设并设 为来自总体的为来自总体的 样本样本 ,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为第八章第八章 假设检验假设检验（一）考核的知识点（一）考核的知识点1. 假设检验的基本思想与步骤假设检验的基本思想与步骤2. 单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验3. 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验（二）考核要求（二）考核要求1. 假设检验假设检验1.1 假设检验的基本思想及基本步骤，假设检验的基本思想及基本步骤， 要求：领会要求：领会1.2 假设检验的两类错误，假设检验的两类错误， 要求：领会要求：领会2. 正态总体的假设检验正态总体的假设检验2.2 两个正态总体的均值差与方差比的假设检验，两个正态总体的均值差与方差比的假设检验， 要求：简单应用要求：简单应用2.1 单个正态总体的均值和方差的假设检验，单个正态总体的均值和方差的假设检验， 要求：简单应用要求：简单应用
