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1、1.已知函数f(x)ln xx2ax(aR).若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围.解法一函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.函数f(x)在(0，)上单调递增，f(x)0，即2xa0对x(0，)都成立.a2x对x(0，)都成立.当x0时，2x22，当且仅当2x，即x时取等号.a2，即a2.a的取值范围为2，).法二函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.方程2x2ax10的判别式a28.当0，即2a2时，2x2ax10，此时，f(x)0对x(0，)都成立，故函数f(x)在定义域(0，)上是增函数.当0，即a2
2、或a2时，要使函数f(x)在定义域(0，)上为增函数，只需2x2ax10对x(0，)都成立.设h(x)2x2ax1，则解得a0.故a2.综合得a的取值范围为2，).2.(2016苏北四市调研)设f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在1，3上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc所以c0，又f(x)3ax2b的最小值为12，所以b12.由题设知f(1)3ab6.所以a2，故f(
3、x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况表如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，).因为f(1)10，f(3)18，f()8，f()8，当x时，f(x)min8；当x3时，f(x)max18.3.(2015莱州一中模拟)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围.解(1)g(x)3x22ax1由题意3x22ax10的解集是，即3x22a
4、x10的两根分别是，1.将x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由题意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，设h(x)ln xx，则h(x)，令h(x)0，得x1或(舍)，当0x1时，h(x)0，当x1时，h(x)0，所以当x1时，h(x)取得最大值，h(x)max2，所以a2，所以a的取值范围是2，).4.(2015全国卷)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln .(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0).当a0时，f(x)0，f
5、(x)没有零点；当a0时，因为ye2x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)单调递增.又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f(x)在(0，)的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2x00，所以f(x0)e2x0aln x0aln aln 2ax02ax0aln 2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .5.(2015广东卷)设a
6、1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立.f(x)的单调增区间为(，).(2)证明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，则m0，g(m)在(0，)上增.令g(x)0，则m0，g(m)在(，0)上减.g(m)ming(0)0.em(m1)0，即emm1.em(m1
7、)2(m1)3，即a(m1)3.m1 ，即m 1.6.(2016苏、锡、市、镇模拟)已知函数f(x)x3xk在(b，f(b)处的切线方程为4xy10(b0).m(x)f(x)x31aln x，g(x)，(aR).(1)求k，b的值；(2)设函数h(x)m(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；(3)若在1，e(e2.718)上存在一点x0，使得m(x0)g(x0)成立，求a的取值范围.解(1)由题意知：f(x)3x21，因为f(x)x3xk在(b，f(b)处的切线方程为4xy10，其中b0.所以解得(2)h(x)xaln x.h(x)1.当a10时，即a1时，当x(0，1a)时，h(x)0，
8、当x(1a，)时，h(x)0，所以h(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增.当a10，即a1时，当x(0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增.(3)在1，e上存在一点x0，使得m(x0)g(x0)成立，即在1，e上存在一点x0，使得h(x)0.即函数h(x)xaln x在1，e上的最小值小于零.由(2)可知当a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)ea0可得a，因为e1，所以a；当a11，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)11a0可得a2；当1a1e，即0ae1时，可得h(x)最小值为h(1a)，因为0ln(a1)1，所以0aln(a1)a，所以h(1a)2aaln(1a)2，此时h(1a)0不成立.综上可得所求a的范围是(，2)
