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1、1.已知函数f(x)ln xx2ax(aR).若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围.解法一函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.函数f(x)在(0,)上单调递增,f(x)0,即2xa0对x(0,)都成立.a2x对x(0,)都成立.当x0时,2x22,当且仅当2x,即x时取等号.a2,即a2.a的取值范围为2,).法二函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.方程2x2ax10的判别式a28.当0,即2a2时,2x2ax10,此时,f(x)0对x(0,)都成立,故函数f(x)在定义域(0,)上是增函数.当0,即a2
2、或a2时,要使函数f(x)在定义域(0,)上为增函数,只需2x2ax10对x(0,)都成立.设h(x)2x2ax1,则解得a0.故a2.综合得a的取值范围为2,).2.(2016苏北四市调研)设f(x)ax3bxc(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直,导函数f(x)的最小值为12.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调增区间,并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc所以c0,又f(x)3ax2b的最小值为12,所以b12.由题设知f(1)3ab6.所以a2,故f(
3、x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况表如下:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(,)和(,).因为f(1)10,f(3)18,f()8,f()8,当x时,f(x)min8;当x3时,f(x)max18.3.(2015莱州一中模拟)已知f(x)xln x,g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为,求函数g(x)的解析式;(2)对任意x(0,),2f(x)g(x)2恒成立,求实数a的取值范围.解(1)g(x)3x22ax1由题意3x22ax10的解集是,即3x22a
4、x10的两根分别是,1.将x1或代入方程3x22ax10,得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由题意2xln x3x22ax12在x(0,)上恒成立,可得aln xx,设h(x)ln xx,则h(x),令h(x)0,得x1或(舍),当0x1时,h(x)0,当x1时,h(x)0,所以当x1时,h(x)取得最大值,h(x)max2,所以a2,所以a的取值范围是2,).4.(2015全国卷)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;(2)证明:当a0时,f(x)2aaln .(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)2e2x(x0).当a0时,f(x)0,f
5、(x)没有零点;当a0时,因为ye2x在(0,)上单调递增,y在(0,)上单调递增,所以f(x)在(0,)单调递增.又f(a)0,当b满足0b且b时,f(b)0,故当a0时,f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设f(x)在(0,)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x00,所以f(x0)e2x0aln x0aln aln 2ax02ax0aln 2aaln .故当a0时,f(x)2aaln .5.(2015广东卷)设a
6、1,函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(,)上仅有一个零点;(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m 1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex,xR,f(x)0恒成立.f(x)的单调增区间为(,).(2)证明f(0)1a,f(a)(1a2)eaa,a1,f(0)2aeaa2aaa0,f(0)f(a)0,则m0,g(m)在(0,)上增.令g(x)0,则m0,g(m)在(,0)上减.g(m)ming(0)0.em(m1)0,即emm1.em(m1
7、)2(m1)3,即a(m1)3.m1 ,即m 1.6.(2016苏、锡、市、镇模拟)已知函数f(x)x3xk在(b,f(b)处的切线方程为4xy10(b0).m(x)f(x)x31aln x,g(x),(aR).(1)求k,b的值;(2)设函数h(x)m(x)g(x),求函数h(x)的单调区间;(3)若在1,e(e2.718)上存在一点x0,使得m(x0)g(x0)成立,求a的取值范围.解(1)由题意知:f(x)3x21,因为f(x)x3xk在(b,f(b)处的切线方程为4xy10,其中b0.所以解得(2)h(x)xaln x.h(x)1.当a10时,即a1时,当x(0,1a)时,h(x)0,
8、当x(1a,)时,h(x)0,所以h(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,)上单调递增.当a10,即a1时,当x(0,)时,h(x)0,所以函数h(x)在(0,)上单调递增.(3)在1,e上存在一点x0,使得m(x0)g(x0)成立,即在1,e上存在一点x0,使得h(x)0.即函数h(x)xaln x在1,e上的最小值小于零.由(2)可知当a1e,即ae1时,h(x)在1,e上单调递减,所以h(x)的最小值为h(e),由h(e)ea0可得a,因为e1,所以a;当a11,即a0时,h(x)在1,e上单调递增,所以h(x)最小值为h(1),由h(1)11a0可得a2;当1a1e,即0ae1时,可得h(x)最小值为h(1a),因为0ln(a1)1,所以0aln(a1)a,所以h(1a)2aaln(1a)2,此时h(1a)0不成立.综上可得所求a的范围是(,2)