二次型及其标准型

《二次型及其标准型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型及其标准型（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性1方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量2相似矩阵相似矩阵3对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化4相似矩相似矩阵及二次型及二次型二次型及其标准型二次型及其标准型5正定二次型正定二次型6第五章 相似矩阵及二次型内容概要第五章 相似矩阵及二次型 二二次次型型及及其其标标准准型型5.5教学要求教学要求1. 掌握二次型及其有关掌握二次型及其有关概念概念2.2.掌握掌握化二次型为标准型化二次型为标准型的的两种方法两种方法 正交变换法正交变换法、配方法配方法5.5 二 次 型 及 其 标 准 型引引例例对于一般的二次曲于一般的二次曲线 ，只要，只要选取适当

2、的坐取适当的坐标旋旋转变换就可将曲就可将曲线方程化方程化为标准型准型（二次（二次齐次式，只含平方次式，只含平方项） 在物理、力学及工程也有在物理、力学及工程也有类似的似的问题，且往往，且往往是不止含有两个是不止含有两个变量的二次量的二次齐次式，也可通次式，也可通过适适当的当的线性性变换，化，化为只含平方只含平方项的的标准型。准型。一一二二次次型型有有关关概概念念含有含有 n 个个变量量 的二次的二次齐次多次多项式式称称为 n 元二次型元二次型。定定义5.5 二 次 型 及 其 标 准 型二次型二次型主要主要问题寻找可逆的找可逆的线性性变换二次型的二次型的标准型准型 规范型范型作可逆作可逆变换5

3、.5 二 次 型 及 其 标 准 型一一二二次次型型有有关关概概念念 5.5 二 次 型 及 其 标 准 型A为对称矩称矩阵一一二二次次型型有有关关概概念念（1） A一定是一定是对称称阵；（4）标准型的矩准型的矩阵为对角角阵；（5）规范型的矩范型的矩阵也是也是对角角阵, （2） A 的的对角角线上的元素上的元素 恰恰为 的系数，的系数，对角元角元只能只能为1，-1或或0 。 （3） 是是 的系数的一半的系数的一半；5.5 二 次 型 及 其 标 准 型一一二二次次型型有有关关概概念念称称实矩矩阵 A 为二次型二次型 f 的矩的矩阵。 f 与与 A可建立可建立一一一一对应的关系的关系,即即给了二

4、次型了二次型 ，就可以得到，就可以得到实对称矩称矩阵 A;反之，反之，给出了一个出了一个实对称矩称矩阵 A，就可写出一个二，就可写出一个二次型次型 f 。A的秩就是二次型的秩就是二次型 f 的秩的秩。一一二二次次型型有有关关概概念念5.5 二 次 型 及 其 标 准 型将二次型将二次型写成矩写成矩阵形式形式课课堂堂练练习习答案答案，并求出，并求出 f 的秩。的秩。练习5.5 二 次 型 及 其 标 准 型二二正正交交变变换换法法前前边提到将提到将二次型二次型化化为标准型准型的主要的主要问题为：寻找可逆的找可逆的线性性变换 记得到得到标准型准型5.5 二 次 型 及 其 标 准 型若若c 为正交

5、矩正交矩阵，在正交在正交变换下下就可将就可将 f 转化化为标准型准型二二正正交交变变换换法法5.5 二 次 型 及 其 标 准 型得到得到标准型准型前前边提到将提到将二次型二次型化化为标准型准型的主要的主要问题为：寻找可逆的找可逆的线性性变换 因因为实二次型的矩二次型的矩阵 A 为实对称方称方阵，故，故对任一个任一个 n 元元实二次型二次型，一定可以找到，一定可以找到一个正交一个正交变换，使得，使得其中其中C为正交正交阵为实对称方称方阵 A 的的特征特征值。其中其中如何得如何得到到C呢呢定理定理5.5 二 次 型 及 其 标 准 型C的列向量是矩的列向量是矩阵A的两两正交的的两两正交的单位向量

6、，位向量，其中第其中第j列是列是 j对应的特征向量的特征向量二二正正交交变变换换法法求正交求正交变换将二次型将二次型 化化为标准形。准形。练习5.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习P130 例例14练习1 1 合合同同的的定定义义与与性性质质设 A和和B是是n阶矩矩阵,若有可逆矩若有可逆矩阵C，使，使 性性质，我，我们称称 A 与与 B（1） 当当 C 为正交正交阵时，因而因而正交相似正交相似变换也是也是合同合同变换。（2） A 与与 B 合同合同A，B 的特征的特征值中中正正项个数和个数和负项个数相等个数相等。定定义合同合同。5.5 二 次 型 及 其 标 准 型配配方方法法

7、 用正交用正交变换法化二次型成法化二次型成标准型，具有保持准型，具有保持 向量向量长度不度不变（设 Q为 n阶正交正交阵，y=Q x, ,则 ）的的优点点。如果不限于用正交。如果不限于用正交变换，还有很多方法，下面用配方法分两种情形来有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。配方法配方法含有平方含有平方项 xi2不含有平方不含有平方项 xi2 ，只有交叉只有交叉项 xi xj5.5 二 次 型 及 其 标 准 型 化二次型化二次型成成标准型，并求所用的准型，并求所用的变换矩矩阵。 解解 由于由于 f 中含中含变量量 x1 的平方的平方项,故把含故把含 x1 的的项 归并并起来，起来，配方配方可

8、得可得不再含不再含x1继续配方配方，可得，可得例例 15.5 二 次 型 及 其 标 准 型配配方方法法 化二次型化二次型令令即即就把就把 f 化成化成标准型（准型（规范型）范型）所用的所用的变换矩矩阵为5.5 二 次 型 及 其 标 准 型成成标准型，并求所用的准型，并求所用的变换矩矩阵。例例 1配配方方法法 解解 由于由于 f 中中不含平方不含平方项, 含含 x1 x2 的乘的乘积项 ， 故令故令代入可得代入可得再配方再配方，得，得令令5.5 二 次 型 及 其 标 准 型配配方方法法成成规范范型，并求所用的型，并求所用的变换矩矩阵。化二次型化二次型例例 2令令即即就把就把 f 化成化成规

9、范型范型5.5 二 次 型 及 其 标 准 型配配方方法法成成规范范型，并求所用的型，并求所用的变换矩矩阵。化二次型化二次型例例 2因因为 x=c1y=c1c2z , 故故所用的所用的变换矩矩阵为5.5 二 次 型 及 其 标 准 型配配方方法法成成规范范型，并求所用的型，并求所用的变换矩矩阵。化二次型化二次型例例 2小小结结 二次型的二次型的标准型准型显然然不是唯一的不是唯一的，只是，只是标准型准型中所含的中所含的项数（系数数（系数0）确定（即是二次型的）确定（即是二次型的秩秩 。 在限定在限定变换为实变换时，标准型中准型中正系数的个数正系数的个数是不是不变的的（负系数的个数也不系数的个数也

10、不变）。）。这与与选择的的线性性变换无关无关。5.5 二 次 型 及 其 标 准 型求一可逆求一可逆变换将将该二次型化成二次型化成标准形，并求出准形，并求出规范形。范形。练习2 25.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习练习2 25.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习练习2 25.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习所用的所用的可逆可逆变换为练习2 2 方程方程在空在空间直角坐直角坐标系下系下表示什么曲面表示什么曲面？5.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习练习3 3解：由解：由练习1（P130，例，例14）的的标准型准型为故故 在空在

11、空间直角坐直角坐标系下系下表示表示单页双双曲面曲面 设二次型二次型 试求求 a ，b 及及经正交正交变换 化成化成 ，5.5 二 次 型 及 其 标 准 型课课堂堂练练习习练习4 4经正交正交变换 化成化成 ，解：二次型解：二次型 f 正交正交阵Q 。意味着意味着 f 的矩的矩阵A的特征的特征值为0,1,2惯惯性性定定理理 设有有二次型二次型 ，它的秩，它的秩为 r 有两个有两个中中正数的个数正数的个数相等。相等。惯性定理性定理可逆可逆变换及及使使及及则中正数的个数与中正数的个数与正正惯性指数性指数负惯性指数性指数从而从而负数的个数也数的个数也相等。相等。 设二次型二次型 f 的的正正惯性指数

12、性指数为 p ,秩秩为 r, ,则 f 的的规范型范型可确定可确定为5.5 二 次 型 及 其 标 准 型的秩的秩为正正惯性指数性指数为负惯性指数性指数为 正（正（负）惯性指数性指数等于等于 矩矩阵正（正（负）特）特征征值的个数，即的个数，即标准形中正（准形中正（负）平方）平方项的的个数。个数。 正（正（负）特征）特征值的的个数个数与与正（正（负）惯性指数性指数有有什么关系？什么关系？211思考思考5.5 二 次 型 及 其 标 准 型惯惯性性定定理理练习5 5思考思考1. 设 经正交正交变换化化为 ，求，求，。想一想解：二次型解：二次型 f 意味着意味着 f 的矩的矩阵A的特征的特征值为0,

13、1,2经正交正交变换 化成化成 ，5.5 二 次 型 及 其 标 准 型思考思考 2. 设二次型二次型 (b 0)，其，其中中 f 的矩的矩阵 A的特征的特征值之和之和为 1，特征，特征值之之积为12，（1） 求求 a, b的的值。（2） 用正交用正交变换化化 f 为标准型，并写出所用的正交准型，并写出所用的正交 变换及及对应的正交矩的正交矩阵。想一想解：解：5.5 二 次 型 及 其 标 准 型思考思考3. 已知已知 的的秩秩为2，求（，求（1）c及及 A的特征的特征值 （2）指出指出 f = 1表示何种曲面表示何种曲面。想一想解：解：的的秩秩为2，意味着，意味着 A的行列式等于的行列式等于0 由此求出由此求出 c =3 , A的特征的特征值为0,4,9表示表示椭圆柱面。柱面。5.5 二 次 型 及 其 标 准 型思考思考4. 已知已知 的秩的秩为2， （1）求）求 a 的的值； （2）求正交）求正交变换 X = QY，把，把 f 化化为标准形准形; （3）求）求方程方程 f (x1, x2, x3) = 0的解的解。想一想(3)(1) a =0 , A的特征的特征值为0,2,2解：解：5.5 二 次 型 及 其 标 准 型谢谢