《(江苏专用)高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第21练 利用导数研究不等式问题练习 理-人教版高三数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(江苏专用)高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第21练 利用导数研究不等式问题练习 理-人教版高三数学试题(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、训练目标(1)利用导数处理与不等式有关的题型;(2)解题步骤的规范训练训练题型(1)利用导数证明不等式;(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题;(3)利用导数证明与数列有关的不等式解题策略(1)构造与所证不等式相关的函数;(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式;(3)处理恒成立问题注意参变量分离.1已知函数f(x)x2axaln x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值,求a的值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)4x.2(2016淮安模拟)已知函数f(x)ax1ln x,aR.(1)讨论函数的单调区间;(2)若函数f(x)在x1处取得极值,对x(0,),f(x)
2、bx2恒成立,求实数b的取值范围3(2016山西四校联考)已知f(x)ln xxa1.(1)若存在x(0,),使得f(x)0成立,求a的取值范围;(2)求证:在(1)的条件下,当x1时,x2axaxln x成立4设函数f(x)x2axb,g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x2时,f(x)kg(x),求k的取值范围5(2016陕西质量监测)设函数f(x)exax1.(1)当a0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)0;(2)求证:对任意的正整数n,都有1n12n13n1nn1
3、(n1)n1.答案精析1(1)解f(x)2xa,由题意可得f(1)0,解得a1.经检验,a1时f(x)在x1处取得极值,所以a1.(2)证明由(1)知,f(x)x2xln x,令g(x)f(x)3xln x,由g(x)x23x33(x1)(x0),可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,)上是增函数,所以g(x)g(1)0,所以f(x)4x成立2解(1)在区间(0,)上,f(x)a.若a0,则f(x)0,f(x)是区间(0,)上的减函数;若a0,令f(x)0得x.在区间(0,)上,f(x)0,函数f(x)是减函数;在区间(,)上,f(x)0,函数f(x)是增函数综上所述,当a0时,f(x)
4、的单调递减区间是(0,),无单调递增区间;当a0时,f(x)的单调递增区间是(,),单调递减区间是(0,)(2)因为函数f(x)在x1处取得极值,所以f(1)0,解得a1,经检验满足题意已知f(x)bx2,则x1ln xbx2,1b,令g(x)1,则g(x),易得g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,)上单调递增,所以g(x)ming(e2)1,即b1.3(1)解原题即为存在x0,使得ln xxa10,aln xx1,令g(x)ln xx1,则g(x)1.令g(x)0,解得x1.当0x1时,g(x)0,g(x)为减函数,当x1时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)ming(1)0,a
5、g(1)0.故a的取值范围是0,)(2)证明原不等式可化为x2axxln xa0(x1,a0)令G(x)x2axxln xa,则G(1)0.由(1)可知xln x10,则G(x)xaln x1xln x10,G(x)在(1,)上单调递增,G(x)G(1)0成立,x2axxln xa0成立,即x2axaxln x成立4解(1)由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4.而f(x)2xa,g(x)ex(cxdc)故b2,d2,a4,dc4.从而a4,b2,c2,d2.(2)由(1)知,f(x)x24x2,g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2,
6、则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得当x2时,F(0)0,即k1.令F(x)0,得x1ln k,x22.若1ke2,则2x10.从而当x(2,x1)时,F(x)0;当x(x1,)时,F(x)0.即F(x)在(2,x1)上单调递减,在(x1,)上单调递增故F(x)在2,)上的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立若ke2,则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时,F(x)0,即F(x)在(2,)上单调递增而F(2)0,故当x2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立若ke2,则F(
7、2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时,f(x)kg(x)不可能恒成立综上,k的取值范围是1,e25证明(1)由a0及f(x)exa可得,函数f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1,则g(a)ln a,故当a(0,1)时,g(a)0;当a(1,)时,g(a)0,从而可知g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,且g(1)0,故g(a)0.(2)由(1)可知,当a1时,总有f(x)exx10,当且仅当x0时等号成立,即当x0时,总有exx1.于是,可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1,即x,可得n1en;令x1,即x,可得n1e(n1);令x1,即x,可得n1e(n2);令x1,即x,可得n1e1.对以上各式求和可得:n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故对任意的正整数n,都有1n12n13n1nn1(n1)n1.