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1、下下下下回回回回停停停停一、问题的提出一、问题的提出二、中心极限定理二、中心极限定理第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的提出一、问题的提出 由上一节大数定理由上一节大数定理,我们得知满足一定条我们得知满足一定条件件的随机变量序列的算数平均值依概率收敛的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但但我们无法得知其收敛的速度我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限本节的中心极限定理可以解决这个问题定理可以解决这个问题. 在实际中在实际中, 人们发现人们发现 n 个相互独立同分布个相互独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且并且 n 越大越大,
2、近似程度越好近似程度越好. 定理定理4.8 林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理二、中心极限定理二、中心极限定理二、中心极限定理二、中心极限定理且具有数学期望与方差且具有数学期望与方差设随机变量设随机变量X1, X2, Xn相互独立相互独立, 服从同一分服从同一分布布,则随机变量则随机变量E Xi , D Xi 2 0 i=1, 2, n 的分布函数的分布函数Fn x 对于任意对于任意 x 满足满足2 注注 1 近似程度越好近似程度越好.n越大越大,3 的和近似服从正态分布的和近似服从正态分布.定理定理4.8表明表明n个相互个相互独立同分布的独立同分布的随机变量随机变量一加法器同
3、时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压Vk解解 由于由于Vk U 0, 10 , 易知易知 k=1, 2, 20 . 设它们是相互独立的随机变设它们是相互独立的随机变量量,例例例例1 1由由林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理知知近似服从标准正态近似服从标准正态分布分布N 0, 1 , 于是于是设随机变量设随机变量X1, X2, Xn相互独立相互独立, 它们具有数它们具有数学学期望与方差期望与方差若存在正数若存在正数 , 使得当使得当n时时定理定理4.9 李雅普诺夫李雅普诺夫(Liapunov)定理定理则随机变量则随机变量的分布函数的分布函数Fn x 对于任意对于任意 x
4、 满足满足注注 1 定理定理4.9是独立不同分布情形的中心极是独立不同分布情形的中心极限限定理定理, 该定理表明该定理表明: 当当n充分大时充分大时, 有有而而 2 由由定理定理4.8及及定理定理4.9可以看出可以看出, 正态随机正态随机变量的普遍性及其在概率论中所占有的重要地位变量的普遍性及其在概率论中所占有的重要地位.一份考卷由一份考卷由99个题目组成个题目组成, 并按由易到难顺序并按由易到难顺序排列排列. 某学生答对某学生答对1题的概率是题的概率是 0.99; 答对第答对第2题题的的概率是概率是0.98; 一般地一般地, 他答对第他答对第 i 题的概率是题的概率是 i=1, 2, 99
5、, 假如该学生回答各问题是相互独假如该学生回答各问题是相互独立立的的, 并且要正确回答其中并且要正确回答其中60个问题以上个问题以上(包括包括60)才算才算通过考试通过考试. 试计算该学生通过考试的概率是多少试计算该学生通过考试的概率是多少?解解 设设例例2于是于是 Xi 是两点分布是两点分布:为了使其成为随机变量序列为了使其成为随机变量序列, 我们规定从我们规定从 X100开始开始都与都与X99同分布同分布, 且相互独立且相互独立, 于于是是另一方面另一方面, 因为因为即独立随机变量序列满足即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理的条件的条件.因此随机变量因此随机变量于是于是近似服
6、从标准正态分布近似服从标准正态分布N 0, 1 .计算得计算得 此学生通过考试的可能性很小此学生通过考试的可能性很小, 大约只大约只有有而该学生通过考试的概率应为而该学生通过考试的概率应为千分之五可能性千分之五可能性.设随机变量设随机变量Yn服从二项分布服从二项分布B n, p , 则其标准则其标准化化随机变量随机变量的分布函数的极限为的分布函数的极限为定理定理4.10 棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理证证 令令X1, X2, Xn独立独立, 同时服从同时服从B 1, p 分布分布, 且且由于由于 E Xi p, D Xi p 1 p i=1, 2, n ,证毕证毕.由由定理定理4.8得
7、得注注 1 定理定理4.10表明正态分布是二项分布的极表明正态分布是二项分布的极限限 3 实际应用中当实际应用中当n很大时很大时,分布分布也称为也称为“二项分布的正态近似二项分布的正态近似”.2 与与“二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似”相比较相比较, 两种两种近似近似都要求都要求n很大很大. 1 如果如果p很小而很小而np不太大时不太大时, 采用泊松近似采用泊松近似; 2 如果如果 np 5 和和 n 1 p 5 同时成同时成立时立时,采用正态近似采用正态近似.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.某车间有某车间有200台机床台机床,它们独立地工作
8、着它们独立地工作着, 开工开工解解 设设开工率均为开工率均为0.6, 开工时耗电均为开工时耗电均为1000W, 问供电所问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产保证这个车间不会因供电不足而影响生产. i=1, 2, 200,例例3问题是求问题是求r, 使使由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理, 有有所以所以 r=141.该结果表明该结果表明, 若供电若供电141KW, 那么由于供电那么由于供电不足而影响生产的可能性小于不足而影响生产的可能性小于0.001.中中心心极极限限定定理理独立
9、同分布情形独立同分布情形独立不同分布情形独立不同分布情形二项分布的正态近似二项分布的正态近似内容小结内容小结例例例例1-1 1-1 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X1 1, , X X2 2, , , X Xn n相互独立相互独立相互独立相互独立, , 且且且且 X Xi i 在区间在区间1, 1 上上服从均匀服从均匀分布分布 i=1, 2, n , 试证试证当当 n充分大时充分大时, 随机变量随机变量近似服从近似服从正态分布并指出其分布参数正态分布并指出其分布参数.证证 记记备用题备用题因为因为X1, X2, Xn相互独立相互独立, 所以所以Y1, Y2,Yn相互独立相互独立,
10、 根据根据定理定理4.8故故Zn近似服从正态分布近似服从正态分布 某汽车销售点每天出售汽车数服从参数某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为为2的泊松分布的泊松分布. 若一年若一年365天都经营汽车销售天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出求一年中售出 700辆以上汽车的概率辆以上汽车的概率.解解 记记Xi为第为第i天出售的汽车数量天出售的汽车数量, 利用利用林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理, 可可得得则一年售出则一年售出700辆以上汽车的概率近似为辆以上汽车的概率近似为0.8665.例例1-2 某餐厅每天接待某餐厅每天接待40
11、0名顾客名顾客, 设每位顾的设每位顾的消费额消费额(元元)服从服从(20, 100)上的均匀分布上的均匀分布, 且顾客且顾客的消费额是相互独立的的消费额是相互独立的. 试求试求: (1)该餐厅每天的平均营业额该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐该餐8厅每天的营业额在平均营业额厅每天的营业额在平均营业额 760元元的概率的概率.而该餐厅每天的营业额为而该餐厅每天的营业额为解解 设设Xi为第为第i位顾客的消费额位顾客的消费额,Xi U 20, 100 . 所以所以 E Xi 60, D Xi 1600 3. 例例1-3(1)该餐厅每天的营业额为该餐厅每天的营业额为(2)(2)利用利用利用利用林德贝格
12、林德贝格林德贝格林德贝格- -列维中心极限定理列维中心极限定理列维中心极限定理列维中心极限定理, , 可可可可得得得得这表明这表明:该餐厅每天的营业额在该餐厅每天的营业额在23240到到24760之间的概率近似为之间的概率近似为0.90. 某人钓鱼平均每次钓到某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差方差2.25kg2. 问问: 至少钓多少次鱼至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少才能使总重量不少200kg的概率为的概率为0.95?解解 设此人共钓设此人共钓n次次, 各次钓到的鱼各次钓到的鱼的重量为随机变量的重量为随机变量Xi , 则则 E Xi 2, D Xi 2.25.令令, 则则E Z 2n, D
13、Z 2.25n.根据根据林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理, Z近似服从近似服从N 2n, 2.25n . 例例1-4查表得查表得. 即即n满足方程满足方程解方程解方程, 得得n=113.12. 因此因此, 取取n=114即可即可. 则有则有每人每年交每人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡, 公司公司付付给家属给家属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017, 试求保险试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解解 设设 X 为一年中投保老人为一年中投保老人其中其中 n 10000, p 0.017. 且且
14、的死亡数的死亡数, 则则 X B n, p 例例3-1 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,保险公司亏本的概率为保险公司亏本的概率为由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理知知遭受了遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次已知每遭受一次海浪的冲击海浪的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶若船舶解解 将船舶每遭受一次海浪的将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验冲击看作一次试验, 并假设并假设各各次试验是独立的次试验是独立的. 在在90000
15、次次波浪冲击中纵摇角大于波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X, 则则X是是一个随机变量一个随机变量, 且且 X B 90000, 1/3 . 分布分布律为律为次纵摇角次纵摇角大于大于 3 的概率是多少？的概率是多少？例例3-2所求概率为所求概率为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理解解 令令X表示同时要外线的表示同时要外线的电话机数电话机数, 则则 XB 1000, 0.05 , 且且 np 50, np(1p) 47.5.根据根据棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理, X近似服近似服N 50,47.5 . 假定安装假定安装 k 条外线条
16、外线, 可使可使 某单位有某单位有1000部内线电话部内线电话, 每部电话打每部电话打外线的概率为外线的概率为0.05, 问需要装多少外线问需要装多少外线, 才能保才能保证每部电话打外线时证每部电话打外线时, 即时接通的概率不小于即时接通的概率不小于0.95?例例3-3查表得查表得 1.645 0.95. 由单调性由单调性, 应有应有解得解得 k 61.3. 因此因此, 安装安装62条外线即可条外线即可.则有则有假设对于一个学生而言假设对于一个学生而言, 来参加家长会的来参加家长会的家长人数是一个随机变量家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长和名家长和2名家长来
17、参加的概率分别为名家长来参加的概率分别为 0.05、0.8和和0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布.(1) 求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过 450 的概率的概率;(2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解 (1) 以以 Xk k=1, 2, 400 记记第第k个个学生来参加会议的家长数学生来参加会议的家长数.例例3-4则则Xk的分布律为的分布律为由由林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理知知
18、近似服从正态分布近似服从正态分布N 0, 1 . 于是于是(2) 以以Y记有记有1名家长来参加会议的学生数名家长来参加会议的学生数, 则则Y B 400, 0.8 . 由由棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定拉普拉斯定理理知知棣莫佛棣莫佛(Abraham de Moivre)主要的贡献是在一般分布与主要的贡献是在一般分布与概率论上概率论上, 包括斯特林公式包括斯特林公式以及棣莫佛以及棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理.法国数学家法国数学家.发现了棣莫佛公式发现了棣莫佛公式, 将复数与将复数与三角学联系起来三角学联系起来.1667-1754李雅普诺夫李雅普诺夫( Aleksandr Mikhailovich
19、Lyapunov)俄国数学家、力学家俄国数学家、力学家, 是切比是切比谢夫创立的彼得堡学派的杰谢夫创立的彼得堡学派的杰出代表出代表. 1857-1918在概率论方面在概率论方面, 创立了的特征创立了的特征函数方法函数方法, 实现了概率论极限实现了概率论极限理论在研究方法上的突破理论在研究方法上的突破.是常微分方程运动稳定性理论是常微分方程运动稳定性理论的创始人的创始人.拉普拉斯拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)法国著名的天文学家和数学家法国著名的天文学家和数学家,天体力学的集大成者天体力学的集大成者.1749-1827因著名杰作天体力学被誉因著名杰作天体力学被誉为是法国的牛顿为是法国的牛顿.首次提出首次提出“天体力学天体力学”这一学科名称这一学科名称.是现在广泛应用于各个领域的是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者的发现者.
