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1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！一、知识点一、知识点1导数应用的知识网络结构图：导数应用的知识网络结构图：2基本思想与基本方法：基本思想与基本方法：数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值
2、与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。的辩证关系，具有较大的实践意义。求有导数函数求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：单调区间的步骤： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。）确认并指出递增区间（或递减区间）。 求有导数的函数求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：）的极值的步骤： i）求导数）求导数f(x)； ii）求方程）求方程f(x)=0的全部实根；的全部实根； iii）检查）检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右
3、两侧的值的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。在这个根处取得极小值。证明有导数函数证明有导数函数y=f(x)在区间在区间(a，b)内的单调性：内的单调性： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）确认）确认f(x)在在(a，b)内的符号；内的符号； iv）作出判断。）作出判断。 设设y=f（x）在）在a，b上有定义，在上有定义，在(a，b)内有导数，内有导数，求求f（x）在）在a，b上的最
4、大值和最小值的步骤：上的最大值和最小值的步骤： i）求）求f（x）在（）在（a，b）内的极值；）内的极值； ii）将）将f（x）的各极值与）的各极值与f（a）、）、f（b）比较，确）比较，确 定定f（x）的最大值与最小值。）的最大值与最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。最值，不必再与端点的函数值作比较。二、例题选讲二、例题选讲例例1:1:讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. .解解: :函数的定义域为函数的定义域为当当
5、x0x1x1时时, ,故当故当x0x1x1时时, ,当当0x10x1时时, ,故当故当0x1/20x1/2时时, ;, ;当当1/2x11/2x0)-3ax+b(a0)的极大值为的极大值为6,6,极极小值为小值为2.2.(1)(1)试确定常数试确定常数a a、b b的值的值; ;(2)(2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间. .答案答案:(1)a=1,b=4.:(1)a=1,b=4. (2) (2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)(-,-1)和和(1,+).(1,+).例例2:2:已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2, ,曲线曲线y=f(x)y=
6、f(x)过点过点P(-1,2), P(-1,2), 且在点且在点P P处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x-3y=0x-3y=0垂直垂直. .(1)(1)求求a a、b b的值；的值；(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间m,m+1m,m+1上单调递增上单调递增, ,求求m m的取值范围的取值范围. .解解:(1):(1)由题意得由题意得: :(2) ,(2) ,解得解得x0x0或或x-2.x-2.故故f(x)f(x)的单调递增为的单调递增为(-,-2(-,-2和和0,+).0,+).即即m+1m+1-2-2或或m m0,0,故故m-3m-3或或m0.m0.练习练习2:2:已知函数已知
7、函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=-2/3x=-2/3与与x=1x=1处都处都 取得极值取得极值. .(1)(1)求求a a、b b的值的值; ;(2)(2)若若x-1,2x-1,2时时, ,不等式不等式f(x)cf(x)c2 2恒成立恒成立, ,求求c c的取值的取值范围范围. .答案答案:(1)a=-1/2,b=-2. :(1)a=-1/2,b=-2. (2)(2)利用利用f(x)f(x)maxmaxcc2 2, ,解得解得c-1c2.c2.例例3:3:试问试问: :曲线曲线y=xy=x6 6/3/3上哪一点的法线在上哪一点的法线在y y轴上截
8、距最轴上截距最小小?(?(所谓法线是指所谓法线是指: :过曲线上一点与以此点为切点的切过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线线垂直的直线).).解解: :在已知曲线上任取一点在已知曲线上任取一点(x, x(x, x6 6/3),/3),则过该点的切线则过该点的切线的斜率为的斜率为 , ,从而法线的斜率为从而法线的斜率为故法线方程为故法线方程为令令X=0,X=0,得法线在得法线在y y轴上的截距轴上的截距: :则则令令 , ,得得当当x-1x-1时时, , ,则则Y Y单调减小单调减小; ;当当-1x0-1x0时时, , ,则则Y Y单调增加单调增加; ;当当0x10x1x1时时, , ,
9、,则则Y Y单调增加单调增加. .故当故当 时时,Y,Y有最小值有最小值5/6,5/6,此时点此时点 为所求为所求. .练习练习3:3:若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+cx在在(-,0(-,0及及2,+)2,+)上都上都是增函数是增函数, ,而在而在(0,2)(0,2)上是减函数上是减函数, ,求此函数在求此函数在-1,4-1,4上上 的值域的值域. .答答: :由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,c=0,b=-3,从而从而f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2. .又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数所以函数f(x)f(x)在在-1,4-1,4上的上的值域是值域是-4,16.-4,16.三、小结三、小结四、作业四、作业1.1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法. .2.2.要认识导数应用的本质要认识导数应用的本质, ,强化应用意识强化应用意识. .3.3.认真梳理知识认真梳理知识, ,夯实基础夯实基础, ,善于利用等价转化善于利用等价转化, ,数形数形结合等数学思想方法结合等数学思想方法, ,发展延拓发展延拓, ,定能不断提高解题定能不断提高解题的的 灵活性和变通性灵活性和变通性. .
