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1、复习与小结复习与小结 微微积积分分 导数导数定积分定积分导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度面积面积 功功 积分定义的含义积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用微积分基本定理的应用路程路程定积分定积分概念概念微积分基微积分基 本定理本
2、定理 最优化问题最优化问题知识结构知识结构函数的平均变化率函数的平均变化率函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率导数导数变化率与导数变化率与导数基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式导数的运算法则导数的运算法则法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和( (差差) )的导数的导数, ,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和( (差差),),即即: :法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个
3、函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 , ,即即: :法则法则3:3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 , ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方. .即即: : 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x x0 0时时, ,割线割线PQPQ如果有一个极限如果有一个极限位置位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线称为曲线在
4、点在点P P处的处的切线切线. . 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为, ,那么那么当当x0x0时时, ,割线割线PQPQ的斜率的斜率, ,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜切线的斜率率. .即即: :PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T（1)1)如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在这个区间（在这个区间（a,ba,b) )内单调递增；内单调递增；（2)2)如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0f (x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.（2)2)如如果果a a是是f(x)=0f(x)=0的的一一个个根根，
5、并并且且在在a a 的的左左侧侧附附近近f(x)0f(x)0f(x)0，那那么么是是f(af(a) )函函数数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值. . 函数的极值函数的极值（1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在，在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(bf(b) )是函数是函数f(x)f(x)的一个极大值的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点注：导数等于零的点不一定是极值点x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a) )f(xf
6、(x3 3) )f(bf(b) )f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )在在闭区间闭区间a,ba,b 上的函数上的函数y=f(xy=f(x) )的图象是的图象是一条一条连续不断连续不断的曲线的曲线, ,则它则它必有必有最大值和最大值和最小值最小值. .函数的最值函数的最值x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a) )f(xf(x3 3) )f(bf(b) )f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) ) 复合函数的导数复合函数的导数注注: :y y对对x x的导数等于的导数等于y y对对u u的导的导 数与数与u u对对x x的导数的乘
7、积的导数的乘积. .复合函数复合函数y=f(g(xy=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),y=f(u),u=gu=g( (x x) )的导数间关系为的导数间关系为: :或或返回返回过过p(x0,y0)的切线的切线求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取取近近似似求求和和:任任取取x xi xi- -1, xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的
8、梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x定积分的定义定积分的定义 如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近
9、似代替-求和求和-取极限取极限得到解决得到解决.被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关，定积分的几何意义定积分的几何意义Ox yab yf (x) x a、x b与与 x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成轴所围成的曲边梯形位于的曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的负值。
10、上述曲边梯形面积的负值。 -S定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 性质性质3. 3. 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）如果如果f(xf(x) )是区间是区间a,ba,b 上的连续函数上的连续函数, ,并且并且F F (x)=f(x(x)=f(x),),则则微积分常用积分公式微积分常用积分公式由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：（1 1）画草图，求出曲线的交点坐标）画草图，求出曲线的交点坐标（3 3）确定被积函数及积分区间）确定被积函数及积分区间（4 4）计算定积分，求出面积）
11、计算定积分，求出面积（2 2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积）将曲边形面积转化为曲边梯形面积定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)(1)匀变速运动的路程公式匀变速运动的路程公式. . 做变速直线运动的物体所经过的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s s，等于其速度，等于其速度函数函数v=v(tv=v(t) (v(t)0) (v(t)0)在时间区间在时间区间a,ba,b上的定积分，上的定积分，即即 (2)(2)变力作功公式变力作功公式 一物体在变力一物体在变力F(xF(x)()(单位：单位：N)N)的作用下做直线运动，如的作用下做直线运动，如果物体沿着与果物体沿着与F F相同的方向相同的方向, ,从从x=ax=a移动到移动到x=b (ax=b (ab)(b)(单位：单位：m),m),则力则力F F所作的功为所作的功为定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用课外作业课外作业P P65-6665-66复习参考题复习参考题A A组组1-121-12P P66-6766-67复习参考题复习参考题B B组组1-71-7
