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1、振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等)在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 第第 7 章章 振振 动动 力力 学学 基基 础础机机械械振振动动电电磁磁振振动动傅立叶级数傅立叶级数 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动7-1 7-1 简谐振动简谐振动一、一、简谐振动简谐振动 表达式表达式 x(t)=Acos( t+
2、) 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T )( (运动学部分运动学部分) )二、描述二、描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和频率和频率 v = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相xo振动的圆频率或角频率振动的圆频率或角频率利用相位描述运动状态：利用相位描述运动状态：唯一性唯一性周期性周期性 t + + =0=0 t + + = = /2 xoxo三、三、 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由
3、由 x=Acos( t+ )已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知A、T、 表达式表达式2. 曲线法曲线法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法 t+ oxxt = tt = 0 x = A cos( t + ) 四、相位差四、相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,
4、), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相 超超 前前 和和 落落后后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。领先、落后以领先、落后以 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A a2. 加速度加速度也是简谐振动也是简谐振动 x=Acos( t+ )7-2 简谐振动简谐振动( (动力学部分动力学部分) )一、一、 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程1. 受力
5、特点受力特点: : 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 动力学方程动力学方程 (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)kxmxo取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点3. 固有固有( (圆圆) )频率频率弹弹簧簧振振子子:固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质单单 摆摆 :4. 由初始条件求振幅和相位由初始条件求振幅和相位 二、简谐振动的能量二、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1.1.简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点(1) 动能动能已知已知 x=Acos( t+ )(2) 势能势能情况同动能。情况同动能。(3) 机械能机械能简谐振动系统
6、机械能守恒简谐振动系统机械能守恒2. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅xtTEEpEk(1/2)kA2o三、简谐振动的动力学解法三、简谐振动的动力学解法1.1.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程)2. 由分析能量出发由分析能量出发(将将能量能量守恒式对守恒式对t求导求导)例例 如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。AmAmyyO解：解：设：比重计截面设：比重计截面S 质量质量m 液体比重液体比重 不考虑粘滞力不考虑粘滞力例振动曲线如图，写出振动式。例振动曲线如图，写出振动式。解：解：例光滑斜面例光滑斜面轻弹簧轻弹簧物体物体如图，
7、取平衡位置为原点，设如图，取平衡位置为原点，设（）写出振动方程（）写出振动方程（）求系统总势能（）求系统总势能解平衡位置解平衡位置压缩量压缩量任一位置任一位置ox例已知例已知求周期求周期(桌面光滑，以平衡位置为原点）桌面光滑，以平衡位置为原点）弹簧弹簧2之伸长量之伸长量ox例例 质量为质量为m的刚体可绕固定水平轴的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心摆动。设刚体重心C到到轴轴o的距离为的距离为b，刚体对轴，刚体对轴o的转动惯量为的转动惯量为J。试证刚体小幅。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆称作复摆这样的摆称作复摆)。oC bmg
8、可见：可见：(1)此此刚体的自由摆动是简谐振动；刚体的自由摆动是简谐振动； mgbJ = ( )1/2解：力对轴解：力对轴o的力矩的力矩 M = - mgb sin由由M = J小角度时小角度时 sin (2)角频率角频率 7-4 平行简谐振动的合成振动频率平行简谐振动的合成振动频率一、同频率平行简谐振动的合成一、同频率平行简谐振动的合成ox二、不同频率平行简谐振动的合成拍二、不同频率平行简谐振动的合成拍讨论：讨论：同相同相反相反相夹角夹角设合振幅：合振幅：拍频：单位时间里加强或减弱的次数拍频：单位时间里加强或减弱的次数合振幅t应用：应用：xtx2tx1t1. 一个周期性振动可分解为一系列一个
9、周期性振动可分解为一系列 频率分立的简谐振动频率分立的简谐振动若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: 0, 2 0, 3 0, (基频基频 , 二次谐频二次谐频 , 三次谐频三次谐频 , ) xot锯齿波锯齿波A 03 05 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析方方波波的的分分解解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx02.2.一个非周期性振动可分解为无限一个非周期性振动可分解为无限xot阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A多个频率连续变化的简谐振动多个频率连续变化的简谐振动7-
10、5 垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成一、同频率垂直简谐振动的合成一、同频率垂直简谐振动的合成oxyRW 左左旋旋yoxRPoxyWQy方向振动超前方向振动超前x方向方向右旋右旋y方向振动落后方向振动落后x方向方向二、不同频率垂直简谐振动的合成二、不同频率垂直简谐振动的合成2. 当两振动频率恰成整数比，得封闭稳定轨道当两振动频率恰成整数比，得封闭稳定轨道称为称为Lissajou图形图形看成看成 ，但周相差缓慢变化但周相差缓慢变化例：例：xy7-6阻尼振动阻尼振动减幅振动减幅振动txxtT临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼7-7 受迫振动共振受迫振动共振强迫力：强迫力：位移共振位移共振速度共振速度共振
