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1、第六章 动态系统的最优控制方法Page: 2现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory第六章 动态系统的最优控制方法 6-1 一般概念 6-2 最优控制中的变分法 6-3 无约束条件的泛函极值问题 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题 6-5 变分法求解最优控制问题 6-6 极小值原理 6-7 线性二次型问题的最优控制Page: 3现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory 最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。 所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达
2、到最优。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。6-1 一般概念最优控制：在系统的状态方程和约束给定的情况下，寻找最优控制律，使 系统的性能指标达到最优。一、概述一、概述Page: 4现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-1 一般概念一般概念2.2.初态和终态：初态和终态：最优控制的四个要素：最优控制的四个要素：1.1.状态方程：状态方程：3.3.容许控制容许控制 ：目标集目标集二、问题的提出Page: 5现现代代控控制制理理论论 Modern Control TheoryL L为状态控制过程中
3、对工作品质的要为状态控制过程中对工作品质的要求求一般表示一般表示:对终端状态的要求对终端状态的要求4.性能指标性能指标 ：6-1 一般概念一般概念三三. .性能指标的类型性能指标的类型积分型性能指标积分型性能指标:末值型性能指标末值型性能指标:Page: 6现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory复合型性能指标：四四. .主要数学方法主要数学方法 解析法 数值法 梯度型法6-1 一般概念Page: 7现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-2 最优控制中的变分法一一. .泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念1.泛函与变分的基本概念
4、 ( (1)泛函(2)2)函数的变分函数的变分Page: 8现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory(3)泛函的连续性：(4)(4)线性泛函：线性泛函：6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page: 9现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory(5)泛函的变分6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page: 10现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory泛函变分的求法定理：定理：性质：性质：6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page: 11现现代代控控制制理理论论 M
5、odern Control Theory5.例例解解:6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page: 12现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法二、泛函的极值Page: 13现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 -横截条件横截条件定理：设设- 欧拉方程Page: 14现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 (1) 固定始端和终固定始端和终端端则横截横截条件为：tx( (t)
6、 )tft0Page: 15现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 (4)自由始端和自由终端自由始端和自由终端(3)自由始端和固定终端自由始端和固定终端横截横截条件为：横截横截条件为：(2)固定始端和自由终固定始端和自由终端端则横截横截条件为：tx( (t) )tft0tx( (t) )tft0Page: 16现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 (4)自由始端和自由终端自由始端和自由终端横截横截条件为：tx( (t) )tft0Page: 17现现代代控控制制理理论论
7、 Modern Control Theory例例 已知已知解：解：求求6-3 无约束条件的泛函极值问题 Page: 18现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题定理：设欧拉方程欧拉方程Page: 19现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory横截条件横截条件例已知: : 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题Page: 20现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory设设解解: : 6-4 6-4 有约束条件下
8、的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题则：则：Page: 21现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory为常数为常数 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题解得：解得：这里这里由由得：得：Page: 22现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory由边界条件：由边界条件： 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题由由得：得：即：即：Page: 23现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题设状态方程其中，求构造构造Ha
9、rmilton函数：函数：式中：式中：拉格朗日乘子分量拉格朗日乘子分量Page: 24现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题下面分两种情况进行讨论:对于最优控制问题对于最优控制问题一、末端时刻一、末端时刻固定固定,任意任意(终端自由终端自由)求最优解的必要条件求最优解的必要条件. .下面分两种情况进行讨论:Page: 25现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory定理定理: :对于最优控制问题对于最优控制问题一、末端时刻一、末端时刻固定固定,任意任意(终端自由终端自由)最优解的必要条件最优解的必要条件: :正
10、则方程满足1.6-5 变分法求解最优控制问题Page: 26现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题其中：Harmilton函数函数2.2.边界条件边界条件横截条件横截条件3.3.极值条件Page: 27现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题证明证明:构造增广泛函Page: 28现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题Page: 29现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最
11、优控制问题Page: 30现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory例设系统试求使6-5 变分法求解最优控制问题其中给定，求解：解：Page: 31现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题Page: 32现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题当Page: 33现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory二、末端时刻二、末端时刻固定固定,受受约束约束定理：对于min（终端受约束）终端受约束）其中正则方程1.满足其中：6-5 变分法
12、求解最优控制问题Page: 34现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory2.边界条件：横截条件：3.极值条件：6-5 变分法求解最优控制问题Page: 35现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-6 极小值原理 例一阶系统 极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于19561956年提出，它年提出，它由变分法引申而来。由变分法引申而来。定理：设定常系统只要求：固定时，求的必要条件：Page: 36现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory1.正则方程正则方程其中其中定理：设定常系统只
13、要求：固定时，求的必要条件：6-6 极小值原理 Page: 37现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory2.横截条件横截条件3.极小值条件极小值条件边界条件边界条件6-6 极小值原理 已知系统求：例Page: 38现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory解：线性定常系统， 固定， 自由， 受约束6-6 极小值原理 由协态方程使Hmin得：得：Page: 39现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-6 极小值原理解得：Page: 40现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory由由当当
14、 求出求出 时时 的初态的初态6-6 极小值原理Page: 41现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制一一.问题的提出问题的提出设系统设系统其中其中其中Page: 42现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制二次型二次型指标中各项的物理含义：指标中各项的物理含义：表示对过程的要求，对每个状态分量的要求由Q阵来控制表示对控制能力的要求，即在整个控制过程中，消耗能量最少表示对终点状态的要求，对每个状态分量的要求由F阵来控制Page: 43现现代代控控制制理理论论 Modern
15、Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制 线性二次型最优控制问题指：线性系统，性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的积分及二次型末值项状态调节器：状态调节器：输出调节器：输出调节器：输出跟踪调节器：输出跟踪调节器：Page: 44现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory二二.有限时间时变状态调节器有限时间时变状态调节器 (tf 固定固定 )设设线性时变系统状态空间描述为：线性时变系统状态空间描述为：6-7 6-7 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制性能泛函性能泛函式中式中Page: 45现现代代控控制制理理论论 Modern C
16、ontrol Theory最优性能指标其中满足下列黎卡提矩阵微分方程边界条件最优轨迹满足：6-7 6-7 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制Page: 46现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory三.无限时间最优状态调节器 （ ）系统常数阵A，B要求（A，B）能控，常值阵Q，R寻求最优控制tf + 6-7 6-7 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制Page: 47现现代代控控制制理理论论 Modern Control Theory最优性能指标：定理：存在，且唯一。其中其中为为对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程6-7 6-7 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制
