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1、类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量，均可以分解为不共线的两个向量和使得在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。第1页/共46页第一页，共47页。我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直(chuzh)的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。第2页/共46页第二页，共47页。ayjiO图1x（1，0）（0，1）（0，0） 我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标，y
2、叫做a 在y轴上的坐标，（x ,y）叫做向量的坐标表示。a=xi+yjxiyj第3页/共46页第三页，共47页。ayjiO图1xxiyj平移以后，向量坐标(zubio)不会改变。第4页/共46页第四页，共47页。yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一(wiy)确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是(jish)点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是(jish)向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i向量一一对应有序实数对第5页/共46页第五页，共47页。已知，你能得出，
3、的坐标吗？第6页/共46页第六页，共47页。123415234xy5012341234o问题(wnt)：若已知 =（1 ，3） ， =（5 ，1）， ab如何求+，的坐标呢？abababC（6，4）=（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1+y1） +（x2+y2）=（x1+x2）+(y1+y2)猜想(cixing)：=（x1x2，y1y2）ba证明：=（x1,）+(,y2)=（x1+y1） +（x2+y2）第7页/共46页第七页，共47页。这就是说，两个向量和与差的坐标分别(fnbi)等于这两个向量相应坐标的和与差。已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a
4、+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)第8页/共46页第八页，共47页。探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （1，3）， （4，2），如何求 的坐标呢？ AB12341返回5234xy5012341234o(3,1）的坐标可能为（x2x1,y2y1)ABB（4，2）A（1，3）（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2） AB OA OB (x2 x1 ,y2 y1)(x2 ,y2) (x1,y1)结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始
5、点的坐标 第9页/共46页第九页，共47页。练习：已知表示向量(xingling)a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.a=(-2,1) , A(0,0); a=(1,3) , A(-1,5); (3) a=(-2,-5) , A(3,7). 第10页/共46页第十页，共47页。已知a=(x,y)和实数(shsh)，那么a=(x,y)即a=(x,y)这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个(zhge)实数乘以原来向量的相应坐标。第11页/共46页第十一页，共47页。平面向量的坐标(zubio)运算法则重点(zhngdin)第12页/共46页第十二页，共47页。例1.已知a（2，1），b（
6、3，4），求a+b，ab，3a+4b解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5)a-b=(2,1)-(-3,4)=(2+3,1-4)=(5,-3)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(32,31)+(4(-3),44)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)第13页/共46页第十三页，共47页。已知三个力 (3,4), (2,5),(x,y)的合力+=求的坐标。解：由题设+=得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)即： (5,1)练习(linx)：第14页/共46页第十四页，共47页。拓展(tu zhn)练习第15页/共46页第十五页，共47页。
7、第16页/共46页第十六页，共47页。练习：（2009辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知A（-2，0）, B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为 . 解析(ji x) 设D点的坐标为（x,y）,由题意知 , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,D(0,-2). (0,-2)第17页/共46页第十七页，共47页。12345xy5012341122345CABD66例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。第18页/共46页第十八页，共47页。ABCDxyO解：设点D
8、的坐标(zubio)为（x,y）解得 x=2,y=2所以顶点(dngdin)D的坐标为（2，2） 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。例3.第19页/共46页第十九页，共47页。OyxABCD解法(jif)2：顶点(dngdin)D的坐标为（2,2）第20页/共46页第二十页，共47页。变式：已知平面上三点(sndin)的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平
9、行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3第21页/共46页第二十一页，共47页。规范答题：例4.（12分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题： （1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. （1）由两向量平行(pngxng)及两向量平行(pngxng)的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值. （2）由两向量平行(pngxng)及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程，解方程组即可得出x,y的值，从而求出d.第22页/共46页第二十二页，共47页。解 （1）（a+kc）（
10、2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,4分k=- .6分（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,8分解题(ji t)示范第23页/共46页第二十三页，共47页。 12分 向量平行的坐标(zubio)公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标(zubio)公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用. 探究(tnji)提高解得10分第24页/共46页第二十四页
11、，共47页。知能迁移 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）且 （1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应(xingyng)的实数t;若不能，请说明理由. 解 O（0，0），A（1，2），B（4，5）， =（1，2）， =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 =（x，y），若点P在第二象限， x0 y0则且(x,y)=(1,2)+t(3,3),第25页/共46页第二十五页，共47页。 x=1+3t 1+3t0 y=2+3t 2+3t0,（2）因为(yn wi) =（1，2）， （3-3t，3-3t），若四边形
12、OABP为平行四边形，则 3-3t=1 3-3t=2,无解，四边形OABP不可能为平行四边形., 第26页/共46页第二十六页，共47页。 总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用(yngyng).（2）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用(yngyng)的基础.第27页/共46页第二十七页，共47页。小结回顾1.平面向量(xingling)坐标的加.减运算法则 =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标(
13、zubio)实数与向量相乘的运算法则3.平面(pngmin)向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2y1) =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)第28页/共46页第二十八页，共47页。4.引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题(wnt)转化为我们熟知的领域之中。5.要把点坐标(x,y)与向量(xingling)坐标区分开来，两者不是一个概念。第29页/共46页第二十九页，共47页。作业：课本(kbn)习题2-4A组2,3题谢谢(xixie)听课第30页/共46页第三十页，共47页。基础自测一、选
14、择题1.（2008辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点(dngdin) A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且 = 2 则顶点(dngdin)D的坐标为（） A. B. C.(3,2)D.(1,3) 解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). D（x，y), =(x,y-2), =2 , (4,3)=(2x,2y-4).x=2,y= .A第31页/共46页第三十一页，共47页。2.已知a=(4,2),b=(x,3),且ab，则x等于(dngy)（ ）A.9B.6C.5D.3 解析 ab，12-2x=0，x=6.3.已知两点A（4，
15、1），B（7，-3），则与 同向的单位向量是（） A. B. C. D. 解析 A（4，1），B（7，-3）， =（3， -4）， 与 同向的单位向量为BA第32页/共46页第三十二页，共47页。4.（2008安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 等于（） A.（-2，-4）B.（-3，-5） C.（3，5）D.（2，4） 解析(ji x) 如图所示， （-1，-1）， 所以 （-3，-5）.B第33页/共46页第三十三页，共47页。5.（2009湖北文，1）若向量(xingling)a=(1,1),b=(-1,1), c=(4,2),则c
16、=（） A.3a+bB.3a-b C.-a+3bD.a+3b 解析 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1), 4=x-y, x=3. 2=x+y. y=-1.B故c=3a-b.第34页/共46页第三十四页，共47页。6.若a=(2cos ,1),b=(sin ,1),且ab，则 tan 等于(dngy) （） A.2B. C.-2D. 解析 ab，2cos 1=sin .tan =2.A第35页/共46页第三十五页，共47页。7.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b，若 uv，则实数(shsh)k的值为（） A.-1B. C. D.1 解析
17、 u=（1，2）+k（0，1）=（1，2+k）， v=（2，4）-（0，1）=（2，3），又uv， 13=2（2+k），得k= .B第36页/共46页第三十六页，共47页。8.（2009重庆文，4）已知向量(xingling)a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（） A.-2B.0C.1D.2 解析 a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与4b-2a平行，则4x-2=2(1+x),x=2.D第37页/共46页第三十七页，共47页。9.已知向量 =（1，-3）， =（2，-1）， = （m+1，m-2），若点A、B、C能构成(guchng
18、)三角形，则实 数m应满足的条件是（） A.m-2B.m C.m1D.m-1 解析 若点A、B、C不能构成(guchng)三角形，则只能共线. (2，-1)-（1，-3）=(1，2)， （m+1，m-2）-（1，-3）=（m，m+1）. 假设A、B、C三点共线， 则1(m+1)-2m=0,即m=1. 若A、B、C三点能构成(guchng)三角形，则m1.C第38页/共46页第三十八页，共47页。10.已知O为原点，A、B是两定点， =a， =b，且点P关 于点A的对称点为Q，Q关于点B的对称点为R，则 等 于 （ ） A.a-bB.2（a-b） C.2（b-a）D.b-a 解析(ji x) 设
19、 =a=（x1，y1）， =b=（x2，y2）， 则A（x1，y1），B（x2，y2）. 设P（x，y），则由中点坐标公式可得 Q（2x1-x,2y1-y）,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). (2x2-2x1,2y2-2y1) =2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2（b-a）.C第39页/共46页第三十九页，共47页。二、填空题11.（2009广东(gung dng)理，10）若平面向量a,b满足|a+b|=1, a+b 平行于x轴，b=(2，-1),则a= . 解析 |a+b|=1,a+b平行于x轴，故a+b=(1,0)或（-1，0）,a=(1,0)-(2,-1)=(-
20、1,1)或a(-1,0) -（2，-1）=（-3，1）.12.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3)，若ab，则实数 x的值等于. 解析 由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x= .(-1,1)或（-3，1）第40页/共46页第四十页，共47页。13.已知向量(xingling)集合M=a|a=（1，2）+ （3，4）， R，N=b|b=（-2，-2）+ （4，5）， R， 则MN= . 解析 由(1,2)+ 1(3,4)=(-2,-2)+ 2(4,5), MN=(-2,-2).(-2,-2)第41页/共46页第四十一页，共47页。14.已知向量(xingling)a=（8,
21、x），b=(x,1)，其中x0，若(a- 2b)(2a+b)，则x的值为 . 解析 a-2b=（8-2x, x-2），2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)(2a+b),显然2a+b0，故有（8-2x, x-2）= (16+x,x+1) 8-2x= (16+x) x-2= (x+1)4x=4 (x0).第42页/共46页第四十二页，共47页。三、解答(jid)题15.已知A(1,-2),B（2，1），C（3，2）,D（-2,3）, 以 ， 为一组基底来表示 . 解 =(1，3)， =(2，4)， =(-3，5)， =（-4，2）， =（-5，1）， （-3，5）+（-4，2）+（
22、-5，1）=（-12，8).第43页/共46页第四十三页，共47页。根据平面向量(xingling)基本定理，必存在唯一实数对m,n使得（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）. -12=m+2n, 8=3m+4n,得m=32，n=-22.第44页/共46页第四十四页，共47页。16.已知A(-2，4),B（3，-1）,C（-3，-4）.设 =a， =b， =c，且 =3c， =-2b， （1）求：3a+b-3c； （2）求满足(mnz)a=mb+nc的实数m,n. 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3
23、(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1.解得第45页/共46页第四十五页，共47页。谢谢(xixie)大家观赏！第46页/共46页第四十六页，共47页。内容(nirng)总结知识点1：平面向量的正交分解。（0，0）。我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标，记作。点O为起点作OA=a，则点A的位。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标。向量平行的坐标公式实质是把向量问题转。1.平面向量坐标的加.减运算(yn sun)法则。2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算(yn sun)法则。5.要把点坐标(x, y)与向量坐标区分开来，。假设A、B、C三点共线，。若A、B、C三点能构成三角形，则m1.。谢谢大家观赏第四十七页，共47页。
