《8平面向量的坐标运算实用教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《8平面向量的坐标运算实用教案(47页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、类似地,由平面向量的基本定理,对于平面上的任意向量,均可以分解为不共线的两个向量和使得在不共线的两个向量中,垂直是一种重要是情形,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。第1页/共46页第一页,共47页。我们知道,在平面直角坐标系,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?在平面上,如果选取互相垂直(chuzh)的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便。第2页/共46页第二页,共47页。ayjiO图1x(1,0)(0,1)(0,0) 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作 a=(x,y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标,y
2、叫做a 在y轴上的坐标,(x ,y)叫做向量的坐标表示。a=xi+yjxiyj第3页/共46页第三页,共47页。ayjiO图1xxiyj平移以后,向量坐标(zubio)不会改变。第4页/共46页第四页,共47页。yxOyxjA(x,y)a如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作OA=a,则点A的位置由a唯一(wiy)确定。设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是(jish)点A的坐标;反过来,点A的坐标(x,y)也就是(jish)向量OA的坐标。因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i向量一一对应有序实数对第5页/共46页第五页,共47页。已知,你能得出,
3、的坐标吗?第6页/共46页第六页,共47页。123415234xy5012341234o问题(wnt):若已知 =(1 ,3) , =(5 ,1), ab如何求+,的坐标呢?abababC(6,4)=(x1x2,y1y2)ba(x1,y1)(x2,y2)ba=(x1+y1) +(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)猜想(cixing):=(x1x2,y1y2)ba证明:=(x1,)+(,y2)=(x1+y1) +(x2+y2)第7页/共46页第七页,共47页。这就是说,两个向量和与差的坐标分别(fnbi)等于这两个向量相应坐标的和与差。已知,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a
4、+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)第8页/共46页第八页,共47页。探究 : 若已知 点A、B的坐标分别为 (1,3), (4,2),如何求 的坐标呢? AB12341返回5234xy5012341234o(3,1)的坐标可能为(x2x1,y2y1)ABB(4,2)A(1,3)(x1,y1)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y2) AB OA OB (x2 x1 ,y2 y1)(x2 ,y2) (x1,y1)结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始
5、点的坐标 第9页/共46页第九页,共47页。练习:已知表示向量(xingling)a的有向线段始点A的坐标,求它的终点B的坐标.a=(-2,1) , A(0,0); a=(1,3) , A(-1,5); (3) a=(-2,-5) , A(3,7). 第10页/共46页第十页,共47页。已知a=(x,y)和实数(shsh),那么a=(x,y)即a=(x,y)这就是说,实数与向量的积的坐标等于这个(zhge)实数乘以原来向量的相应坐标。第11页/共46页第十一页,共47页。平面向量的坐标(zubio)运算法则重点(zhngdin)第12页/共46页第十二页,共47页。例1.已知a(2,1),b(
6、3,4),求a+b,ab,3a+4b解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5)a-b=(2,1)-(-3,4)=(2+3,1-4)=(5,-3)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(32,31)+(4(-3),44)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)第13页/共46页第十三页,共47页。已知三个力 (3,4), (2,5),(x,y)的合力+=求的坐标。解:由题设+=得:(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)即: (5,1)练习(linx):第14页/共46页第十四页,共47页。拓展(tu zhn)练习第15页/共46页第十五页,共47页。
7、第16页/共46页第十六页,共47页。练习:(2009辽宁文,13)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A(-2,0), B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为 . 解析(ji x) 设D点的坐标为(x,y),由题意知 , 即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,D(0,-2). (0,-2)第17页/共46页第十七页,共47页。12345xy5012341122345CABD66例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4),求顶点D的坐标。第18页/共46页第十八页,共47页。ABCDxyO解:设点D
8、的坐标(zubio)为(x,y)解得 x=2,y=2所以顶点(dngdin)D的坐标为(2,2) 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4),求顶点D的坐标。例3.第19页/共46页第十九页,共47页。OyxABCD解法(jif)2:顶点(dngdin)D的坐标为(2,2)第20页/共46页第二十页,共47页。变式:已知平面上三点(sndin)的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解:当平行四边形为ADCB时,由得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时,得D2=(4,6)D1D2当平
9、行四边形为DACB时,得D3=(6,0)D3第21页/共46页第二十一页,共47页。规范答题:例4.(12分)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. (1)由两向量平行(pngxng)及两向量平行(pngxng)的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值. (2)由两向量平行(pngxng)及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.第22页/共46页第二十二页,共47页。解 (1)(a+kc)(
10、2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,4分k=- .6分(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,8分解题(ji t)示范第23页/共46页第二十三页,共47页。 12分 向量平行的坐标(zubio)公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标(zubio)公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用. 探究(tnji)提高解得10分第24页/共46页第二十四页
11、,共47页。知能迁移 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)且 (1)求点P在第二象限时,实数t的取值范围; (2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出相应(xingyng)的实数t;若不能,请说明理由. 解 O(0,0),A(1,2),B(4,5), =(1,2), =(4-1,5-2)=(3,3). (1)设P(x,y),则 =(x,y),若点P在第二象限, x0 y0则且(x,y)=(1,2)+t(3,3),第25页/共46页第二十五页,共47页。 x=1+3t 1+3t0 y=2+3t 2+3t0,(2)因为(yn wi) =(1,2), (3-3t,3-3t),若四边形
12、OABP为平行四边形,则 3-3t=1 3-3t=2,无解,四边形OABP不可能为平行四边形., 第26页/共46页第二十六页,共47页。 总结提高: (1)要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解,以及对坐标运算的灵活应用(yngyng).(2)向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式,更能利用代数知识解决,也是向量被广泛应用(yngyng)的基础.第27页/共46页第二十七页,共47页。小结回顾1.平面向量(xingling)坐标的加.减运算法则 =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标(
13、zubio)实数与向量相乘的运算法则3.平面(pngmin)向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2y1) =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)第28页/共46页第二十八页,共47页。4.引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式,总之问题(wnt)转化为我们熟知的领域之中。5.要把点坐标(x,y)与向量(xingling)坐标区分开来,两者不是一个概念。第29页/共46页第二十九页,共47页。作业:课本(kbn)习题2-4A组2,3题谢谢(xixie)听课第30页/共46页第三十页,共47页。基础自测一、选
14、择题1.(2008辽宁文,5)已知四边形ABCD的顶点(dngdin) A(0,2)、B(-1,-2)、C(3,1),且 = 2 则顶点(dngdin)D的坐标为() A. B. C.(3,2)D.(1,3) 解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). D(x,y), =(x,y-2), =2 , (4,3)=(2x,2y-4).x=2,y= .A第31页/共46页第三十一页,共47页。2.已知a=(4,2),b=(x,3),且ab,则x等于(dngy)( )A.9B.6C.5D.3 解析 ab,12-2x=0,x=6.3.已知两点A(4,
15、1),B(7,-3),则与 同向的单位向量是() A. B. C. D. 解析 A(4,1),B(7,-3), =(3, -4), 与 同向的单位向量为BA第32页/共46页第三十二页,共47页。4.(2008安徽理,3)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若 =(2,4), =(1,3),则 等于() A.(-2,-4)B.(-3,-5) C.(3,5)D.(2,4) 解析(ji x) 如图所示, (-1,-1), 所以 (-3,-5).B第33页/共46页第三十三页,共47页。5.(2009湖北文,1)若向量(xingling)a=(1,1),b=(-1,1), c=(4,2),则c
16、=() A.3a+bB.3a-b C.-a+3bD.a+3b 解析 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1), 4=x-y, x=3. 2=x+y. y=-1.B故c=3a-b.第34页/共46页第三十四页,共47页。6.若a=(2cos ,1),b=(sin ,1),且ab,则 tan 等于(dngy) () A.2B. C.-2D. 解析 ab,2cos 1=sin .tan =2.A第35页/共46页第三十五页,共47页。7.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若 uv,则实数(shsh)k的值为() A.-1B. C. D.1 解析
17、 u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k), v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又uv, 13=2(2+k),得k= .B第36页/共46页第三十六页,共47页。8.(2009重庆文,4)已知向量(xingling)a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是() A.-2B.0C.1D.2 解析 a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与4b-2a平行,则4x-2=2(1+x),x=2.D第37页/共46页第三十七页,共47页。9.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), = (m+1,m-2),若点A、B、C能构成(guchng
18、)三角形,则实 数m应满足的条件是() A.m-2B.m C.m1D.m-1 解析 若点A、B、C不能构成(guchng)三角形,则只能共线. (2,-1)-(1,-3)=(1,2), (m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1). 假设A、B、C三点共线, 则1(m+1)-2m=0,即m=1. 若A、B、C三点能构成(guchng)三角形,则m1.C第38页/共46页第三十八页,共47页。10.已知O为原点,A、B是两定点, =a, =b,且点P关 于点A的对称点为Q,Q关于点B的对称点为R,则 等 于 ( ) A.a-bB.2(a-b) C.2(b-a)D.b-a 解析(ji x) 设
19、 =a=(x1,y1), =b=(x2,y2), 则A(x1,y1),B(x2,y2). 设P(x,y),则由中点坐标公式可得 Q(2x1-x,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). (2x2-2x1,2y2-2y1) =2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2(b-a).C第39页/共46页第三十九页,共47页。二、填空题11.(2009广东(gung dng)理,10)若平面向量a,b满足|a+b|=1, a+b 平行于x轴,b=(2,-1),则a= . 解析 |a+b|=1,a+b平行于x轴,故a+b=(1,0)或(-1,0),a=(1,0)-(2,-1)=(-
20、1,1)或a(-1,0) -(2,-1)=(-3,1).12.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若ab,则实数 x的值等于. 解析 由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x= .(-1,1)或(-3,1)第40页/共46页第四十页,共47页。13.已知向量(xingling)集合M=a|a=(1,2)+ (3,4), R,N=b|b=(-2,-2)+ (4,5), R, 则MN= . 解析 由(1,2)+ 1(3,4)=(-2,-2)+ 2(4,5), MN=(-2,-2).(-2,-2)第41页/共46页第四十一页,共47页。14.已知向量(xingling)a=(8,
21、x),b=(x,1),其中x0,若(a- 2b)(2a+b),则x的值为 . 解析 a-2b=(8-2x, x-2),2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)(2a+b),显然2a+b0,故有(8-2x, x-2)= (16+x,x+1) 8-2x= (16+x) x-2= (x+1)4x=4 (x0).第42页/共46页第四十二页,共47页。三、解答(jid)题15.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3), 以 , 为一组基底来表示 . 解 =(1,3), =(2,4), =(-3,5), =(-4,2), =(-5,1), (-3,5)+(-4,2)+(
22、-5,1)=(-12,8).第43页/共46页第四十三页,共47页。根据平面向量(xingling)基本定理,必存在唯一实数对m,n使得(-12,8)=m(1,3)+n(2,4). -12=m+2n, 8=3m+4n,得m=32,n=-22.第44页/共46页第四十四页,共47页。16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b, =c,且 =3c, =-2b, (1)求:3a+b-3c; (2)求满足(mnz)a=mb+nc的实数m,n. 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3
23、(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1.解得第45页/共46页第四十五页,共47页。谢谢(xixie)大家观赏!第46页/共46页第四十六页,共47页。内容(nirng)总结知识点1:平面向量的正交分解。(0,0)。我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作。点O为起点作OA=a,则点A的位。设OA=xi+yj,则向量OA的坐标。向量平行的坐标公式实质是把向量问题转。1.平面向量坐标的加.减运算(yn sun)法则。2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算(yn sun)法则。5.要把点坐标(x, y)与向量坐标区分开来,。假设A、B、C三点共线,。若A、B、C三点能构成三角形,则m1.。谢谢大家观赏第四十七页,共47页。