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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第七章 重积分第一节 二重积分第二节 二重积分的计算第三节 二重积分的应用 第四节 三重积分27 七月 2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 第一节 二重积分2一、二重积分的概念一、二重积分的概念 1、两个引例、两个引例 2、二重积分的定义、二重积分的定义二、二重积分的性质二、二重积分的性质数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 一、二重积分的概念一、二重积分的概念定积分回顾 数学与生物信息学
2、教研室Mathematics & Bioinformatics Group 一、二重积分的概念一、二重积分的概念定积分回顾 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:1、引例、引例1.1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线(directrix) , 母线(generatrix)平行于 z 轴的柱面.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 求其体积一、二重积分的概念一、二重积分的概念数学与生物信息学教研室Mathem
3、atics & Bioinformatics Group 1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4)“取极限”令数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1.2 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域
4、 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数 ,仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求求 极限极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 两个问题
5、的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 二、二重积分的定义二、二重积分的定义定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 引例1.1中曲顶柱体体积:引例1.2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 二、二重积分的性质二、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使连续,
