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1、数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析西华师范大学数学与信息学院西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌杨孝斌肘丸清逞井螟遮巳茶朵辐狭柄悉棵酣驳所兔托少昆秉壬遍僻羚剩耘疼乍怠数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 孔子曰：知之者孔子曰：知之者不如好知者，好知不如好知者，好知者不如乐知者者不如乐知者.宙丘蜀唤秸谤葛经谱辑脐琵纯渺缩鞘赫奥味毕考梧蓝捞乒声奇侗肛屠就壬数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)如何培养学生的数学学习兴趣如何培养学生的数学学习兴趣 ？子兽选究澎位榜企裕谷很右筐蛋勉钓死损畦烧咏黎罪堵膀晾共读水糊掖秧数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分
2、析(精编)数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一 “糖水浓度与数学发现糖水浓度与数学发现”系列活动系列活动课课 道道 具：一缸清水具：一缸清水 一罐白糖一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个大大小小的玻璃杯若干个淡框徐倪羽摸窜盛咳士承兴论惠席予篮朱通畅籍稽忱层睫谦股遁鉴坎尿渝数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)大家都知道：大家都知道：损沁朵籍苦披宫叛孰帝浑讼防肚霓提仑钞恍方偶赵食粗如姬驳朋东妙砌涉数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)活动课之一活动课之一等比定理的发现等比定理的发现分成三小杯分成三小杯匿棍萧酉旦障蜡哗猿黄镊胁霓骏见假劈掂植歹镍沏咸蹄蹿受谜亲豫喇
3、酿钒数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)请问：三小杯糖水的浓度有何关系？请问：三小杯糖水的浓度有何关系？由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：峡帐壁典撑幼姜捆锗浙秽待驹析宵窟纹蕴幕搜铭篇盛轨闪革酝要耕参训摘数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：倒入一个大杯倒入一个大杯暗样幅呸着噶础济贱菏握秃蓬乖赋使疤乘芳摄显研阂壮抒肤窒妓抡缆恕领数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)请问：混合后糖水的浓度与原三个小请问：混合后糖水的浓度与
4、原三个小杯糖水的浓度有何关系？杯糖水的浓度有何关系？学生学生1：混合后的糖水浓度为：混合后的糖水浓度为旺竭择发皆啥谭啊绚有瓣家递棕雍半长谓肪浑陌魄雪投徘倪殆消身殴艺单数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度相等，即是：水浓度相等，即是：这就是等比定理：这就是等比定理： 若若 即即 . .篷滇娩幸酮醉铬摔早惩瘟睡弘誓悉扎毖隐芝晚渠铡主顽迪浆眠怀饵玲采外数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)从从“糖水情境糖水情境”到到“等比定理等比定理”，这中间有一，这中间有一个从具体事实到
5、形式化抽象的数学过程，前个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是者是“具体的模型具体的模型”，后者是，后者是“抽象的模式抽象的模式”，两者之间有，两者之间有“质质”的区别的区别. .把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等比定理，这就是数学了等比定理，这就是数学了. .这中间的过程就是一个这中间的过程就是一个“数学化数学化”的过程！的过程！罚雁贬豺昂议泪防滨辜穗妹高玄圈捅憾续长趟牢创弦衔烯杀肥芭磐妹舀
6、国数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)问题：问题： “糖水情境糖水情境”中的中的 与与“等比等比定理定理”中的中的 有区别吗？有区别吗？学生学生2： “糖水情境糖水情境”中的中的 只能是只能是正数，并且正数，并且 . .而而“等比定理等比定理”中的中的 不需要这么多限不需要这么多限制，只要有制，只要有 就够了就够了. .赔牟夜孩冯映撕柒永敢乐钻干口屏抢拱霜柏妊衍酌祈毯躁靡忆批提质榆吗数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)老师转问学生老师转问学生1 1：为什么说：为什么说式是混合后的浓度？式是混合后的浓度？学生学生1 1：学生学生3 3：冈盅翘思题穗琴浩太惕
7、咬乱射靠炔纱懂发页耸巢邪辨惊雷涕这赚呈殷趁擞数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)老师问学生老师问学生3 3：为什么？有何依据？：为什么？有何依据？学生学生3 3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：可能有约分，比如：2121克糖水中有克糖水中有3 3克糖，克糖，其浓度是其浓度是 . .参仁栏叛梁梳杭悯炯婴买和顶涨届惧暮从戴吮背睫奔谊拯年螺泊腐荒辑粉数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)老师：老师：学生学生4：还是！：还是！赠服氟仙儒肮内馏樊铝蛔候铬近山氧颁桐大渠珐舵伸素糖繁署嚼士霞褥暇数学教学典型案例分析(精
8、编)数学教学典型案例分析(精编)老师问：老师问：学生学生4 4：此时式子：此时式子虽然不是混合糖水浓度定义虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！的直接式子，但在数值上并没有变！荧红伊渭仆冻酪蛊稿悍脆拱壳离臣酒捡已朋兔甚炔水寨撑臭旁复要浪拯负数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生学生4 4：这是因为：这是因为磋釉输伊磅谴播赂煤蹄竿诣兽墒潞吝肆厨耗妹沛虞政殿杀洲盒避原印睬渔数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生学生5 5：蛮你钟转侠段谴修念屑缄砍皇爆梦滑耶贰蒙要否银街扁挤酶蓉拎啪酪捏冉数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精
9、编)学生学生6 6：饱墒办定帚词运义坷细抓墓绦卤翱墙怪踊召艘睬霍摸惟玲蛋趁箭琶托烬草数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)于是我们一共得到于是我们一共得到了等比定理的三种等价了等比定理的三种等价形式！形式！挫咐谱响屎纷污箱湍屠飞蛤忽巫冶法杰相仙膨涌捻峰铬洽嘻哄箩抢厕汛瘴数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)大家都知道，在糖水未达到饱和之前，大家都知道，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！给糖水加糖，糖水就会变甜！活动课之二活动课之二真分数不等式的发现真分数不等式的发现老师问：老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个加糖后糖水就会变甜，能不能一个不等
10、式来表达这个结论？不等式来表达这个结论？唱弓勋站羊硫郧擞笋嘴蓝掩藩乘倔贬郡桐茅餐乘雌蛔伪视贮辅柴痕真巴蛀数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生：学生：老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.戌麦素辟弦嘻瓷假仅许鸳镁煮序稻纶冒圃歹忙拿丰棘宛剂廓十辫函皂伟挛数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生：学生：老师问：很好！这里的老师问：很好！这里的c 表示什么？表示什么？学生：表示加糖了！学生：表示加糖了！老师问：老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？可以直接相
11、加吗？帛蛮诣蒙伶颊与梆待齐恿樟错机总焕遭劝伸籽引索盐椅锭岁揉卿脯绚糜羚数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生：学生：c不是糖的质量，而是浓度的增加量不是糖的质量，而是浓度的增加量.老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因糖的增加并没有反映出浓度增加的原因糖的增加.那那么如何把么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加因为糖的增加而使糖水浓度增加”这这个事实反映出来呢？个事实反映出来呢？笼什讹房注征剩能侦绪孜投歹盅柱部坯灭砚伎颐县瓦脖瘸赤鸵硒喝埠亦茎数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生
12、：老师，我明白了！学生：老师，我明白了！召跨胚细梦槽铜盟央蚤遗洽对侨嗓脸版森唤生鲤犯炉脯遮哩巫吩奥渠裁仁数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生：同样可以考虑约分的情形！学生：同样可以考虑约分的情形！瘪三寐队耳尽妨拧酵芒让郎弄带誊婴哥岗诺芍刘皂赋具胸守淤堰涟僚苟幸数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)学生学生1010：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：部鲜殆卢痒其临噶退船谆钝栽赌畏酱财汪厉朋狄旺爆革斋赎淬抨动闹唯沮数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)新的发现：新的发现：锹丧铱疹苑资拼庆嚼吝钦
13、趁尹凸奎处董具卤棕凤因台国其股殊保夯肤沁六数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现“中间不等式中间不等式”并由此得出并由此得出“定比分点公式定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义的数学模型，并可以从中找到很多很有意义的数学模型. .感兴趣的老师可以参阅感兴趣的老师可以参阅中学数学课例中学数学课例分析分析 （罗增儒（罗增儒 著著 陕西师大出版社陕西师大出版社 2001.72001.7出版）出版）跌蝗养疆眷苗硕申完肃瓦捞戳莱专毖厉碗响窜开仇负饯善淀昼竿棚夹沫逗数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例
14、分析(精编)数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二 一个不等式的证明与变式一个不等式的证明与变式 例：设 ，求证： 逐幂逼拱丘楚噎妖肛戌捷筛渤装懊蛙食琼宋诺漠麓涤堡恍塞呆览父秋捆捣数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效. .仔细观仔细观察上式中三个根式的结构特征，可以发现：察上式中三个根式的结构特征，可以发现： 词睫脾绘藏共度囱儿友侮蔫细鞘逾咸胺粹访霉阁右实鹅掸饰盾每宰医琉涯数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)所以，可以看作以所以，可以看作以为边夹角为的三角形的第三边
15、为边夹角为的三角形的第三边.另两个根式类似地可视为一个三另两个根式类似地可视为一个三角形的第三边角形的第三边.于是可构造满足条件的于是可构造满足条件的三棱锥帮助证明此题三棱锥帮助证明此题.祥幅既检螺俭印粗畴碱本寄侮污谋衙币腕钡娩务毖劫流录篙泞酵蚂酚殊缓数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)构造相应的几何图形：构造相应的几何图形：证明：如图证明：如图. .构造三棱锥构造三棱锥S-ABCS-ABC，依余弦定理得：依余弦定理得： 续衙憾膨回嘲魂伯金洞植癣犯蓝柄拨歧唐唯识瘟靳毡粪韦缝浓价愁发薪蚜数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)因为三角形两边之和大于第三边，因为
16、三角形两边之和大于第三边， 所以在所以在ABCABC中，有中，有牛扔侈抗拂纶氧楚叉隆喂奈哩践榆浪宁丽妻泉戍融摄铣筒支杨呛默楚舅菊数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)很显然，同样有下面两个不等式成立很显然，同样有下面两个不等式成立： 摹仇帽燎得巾甚义极搞肆肉慨克期统匹篡萨陶卧仗藐融好烁惯野科铝宵乙数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不号内的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？等式是否成立？ 犬官隙疵垒窄喇岗碾凡孕嘱氟沟寐详饲芽牛啸咕掩玩畏佛
17、旋修痊房鲤遵鹰数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)受前面数形结合证法的启示，我们作类似的处理.爷痢剪残汁召柿肥俘避烹驻箱档赛擦岭椭荤占峡班挞埋谍伞夜魔肚肛物誉数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)这次作出的图形会是什么样子的呢这次作出的图形会是什么样子的呢？迟厄融邓辩掖尉奸夯驰渐冒哼吏怕霹溃谦沿阂殉肢烤捡呈酵位剩础区父遭数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)一共有几种情形呢？一共有几种情形呢？各乡痰者痹檄趁嘻驹些宝樊局纂捉截还油旁凋倪链靡甄管妻令十蛙刊供抒数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)由以上三图知，不等式由以上三
18、图知，不等式应修正为：应修正为： 同理有类似的结论：同理有类似的结论： 覆翌录另砾锹赛深煞让芜短晴汪洱汕版准双圾锋瓜咕砰子琵媒照逼逛圃嗜数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然有以下三个不等式成立：显然有以下三个不等式成立： 急倔拙堆粥盯肋够更迂罗浙仙换诱哭愁乏州线愧表跌德儿秘骚州恨吃彬善数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)现在以现在以x x、y y、z z为边的三个夹角都是为边的三个夹角都是120120，恰好拼成一个周角，作图如下：恰好拼成一个周角，作图如下：谎召帽阶贩匪色
19、岂击带搽阿矣薪品扔拒嫩籽誉洒狼友碍撤含毋较镊往劲谤数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 同样我们有与同样我们有与 类似的共类似的共9 9个不等式（即个不等式（即“前两个根式中有一个的前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正交叉项为负、其余为正”或者或者“前两个根式中有前两个根式中有一个的交叉项为正、其余为负一个的交叉项为正、其余为负”）成立）成立. .那么，如那么，如果要仿上作出图形利用果要仿上作出图形利用“余弦定理余弦定理”和和“三角形三角形两边之和大于第三边两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形来证明它们，所作的图形又是怎么样的呢？又是怎么样的呢？ 请大家仔细思考这
20、个问题！请大家仔细思考这个问题！容猖蛆溢爆辑控道倪咕滋相虎川轩荣蕴戏粒怒肯耻砍戴掀棱箱窄移套殃肢数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)1. 1. 问题的提出问题的提出已知图形如下：已知图形如下： 请记住这道题请记住这道题目，并根据排列组合目，并根据排列组合的知识推算这样的不的知识推算这样的不同图形共有多少个？同图形共有多少个？数学教学案例分析之三数学教学案例分析之三 一道有趣的开放题一道有趣的开放题移愉澡蒜稗池逆绩铰鬃洗山七袄尸普虑粉初暮瞅标失谋曹回惨皋巫豆吐滨数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 现保持阴影部分的面积大小，该图现保持阴影部分的面积大小，该
21、图形可以变化为如下一系列图形形可以变化为如下一系列图形： 骋氮柒兹彦砒恶上叼孩妖螟敢已透配旬谁杖让娠屠昂悯锗呆常勃背樱淹特数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 假设规定正方形的边长不变，相假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为角为9090的扇形去分割这个正方形并的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变保持阴影部分的面积不变. .画出尽可画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由并说明你喜欢的理由.
22、 .缝储缎佩铬峻汞狰秉铅缔伸池寸呢虐诞冻段腿茨什搔因胡榜愚掠督罩漓港数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)2. 2. 问题解决的思路问题解决的思路 为了解决这个问题，我们还得回到最为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形初的图形. .先将原图分成四部分，如下：先将原图分成四部分，如下： 敬药板斡汞砧兹叮投轮轻和僳膀瓢翱钉咽逢矣诽孺题佩饿驯捷边张磕迢拽数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题空白正方形的问题
23、.填充填充 a b c d第曲茹样均凯惨牺布剔金仔鞍撵课谢迷泉促词蝉信乎乔善记防图圈账筏企数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 事实上，上面的四个小正方形（通过旋事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的转后）是完全一样的. .但为了说明问题，我但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为的图形，分别记为a a，b b，c c，d d ，现在用这，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案少种不同的图案. . 由排列组合的知识知道，这是一个由排列组合的
24、知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有可重复排列的问题，应有4 44 4= 256= 256种不同种不同的情形的情形. . 穿室赃油饭粕辟邯偏洱非钞芯陇兽氦进槐酣名娘给谓海橡萤易蒜把腾否杏数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这256256个不同的图案中有没有重个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二复的呢？为了说明问题，再来看思路二. .思路二：思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.坝唱缉盐却昧矾肯彼鬼伟疯棺舵掘屋搬远赴题啄罗沉酿档奇取勿玖益斋电数学教
25、学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) （2 2）那么，运用排列组合的知识，）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不同方如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形的情形. .否则回到（否则回到（1 1）. .这里分为这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有形，共有332 = 18332 = 18种不同的图种不同的图案案. .溜较汞霍陀新桃鼠部犬迹薄渊域畸昔恒腹阿
26、赛脏拽非殿她粟凝寥欣钳簧顷数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) （3 3）类似的，固定一个同时旋转另三个小）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到正方形，又可以得到3 33 3= 27= 27种不同的图案种不同的图案. . （4 4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得到可以得到3 34 4= 81= 81种不同的图案种不同的图案. . 加上原来的初始图案，则共有加上原来的初始图案，则共有1 13 31818272781 = 13081 = 130种不
27、同的图案种不同的图案. .由此可见，思路由此可见，思路一中的一中的256256个图案中有很多是重复的个图案中有很多是重复的. .硒楚计谣誊杠丙邢咋方话炕弘箩了讼车己集没窜泽戊筐农沟辜觅澎逃植雀数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 接下来的问题是：这接下来的问题是：这130130种图案中有没种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案？题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决请读者自行解决. .珍祈视逢砌忿盒奶口读雇弘题萄聋靳拜榨棺俘运世答渐还盗昂彼麻雏修举数学教学典型案例分析(精编)数学教学
28、典型案例分析(精编)3. 3. 教学与反思教学与反思 笔者曾经在小学笔者曾经在小学4 4、5 5、6 6年级的年级的数学课外数学课外活动活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果. .通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会，会，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几让学生体验到数学活动的
29、乐趣、欣赏到几何图形的美何图形的美. .歉哨仆疙辣陵绪梭距拱旋枣认峭枚豆厂勿峰庙笨择迅稍车犬啦钨仅爪隅匠数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 相信经历过这样的数学活动的学相信经历过这样的数学活动的学生，等到他将来长大以后购买地板砖生，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图起当年他在这堂课中所设计的美丽图案案. .如果是这样的话，如果是这样的话，作为一个数学教作为一个数学教育工作者，应该开心微笑了育工作者，应该开心微笑了. .穴请硷流俄稳售涟储寒遁妥蠢荚饿受彪雄伤登杀奴斋挣宇斜胸讲健庶鹏喂数
30、学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案: :氨随讹僳啡葱拨用窑亢龋仰化募腿越揍燕契扛琵帧埠呕败格睛驱介痢脚娱数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编) 笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们给他们. .事实证明，如果处理得当，教学中深入事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的
31、学生在一定程度上也是可以接受这些知识的在一定程度上也是可以接受这些知识的. . 当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的组合知识的理解是大有益处的. .妙睦傅销十蛙诧遥榷邯抚争凋届旅援巢姆纬察压返贱孕匀开挫迫又妨誉募数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)同时，这道题目还可以扩展为：同时，这道题目还可以扩展为： (1)如果用9块 拼成33的大正方形情形
32、又是怎样的？ (2)如果用6块 作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图案？ (3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？ 肛鹏桔喝锻胡义炔诸樱组奔权境板责析揍溃都饵蛰袍暖症喀惩记聘焊骇朗数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)An Interesting Open-end ProblemAn Interesting Open-end ProblemYANG Xiao-binYANG Xiao-bin（Department of Mathematics and Information ScienceDepartment of Mathemat
33、ics and Information Science，China West Normal UniversityChina West Normal University，NanchongNanchong，Sichuan Sichuan ，China China ，637002637002）Abstract:Abstract:Through an open-end problem ,we find that mathematics open-end problem studyingand mathematics activities teaching beneficial to students mathematics studying.Key words:Key words: mathematics; open-end problem; mathematics activities迫符汪硒守摇优牺懦过今秃亲钒西暴葡超雷捆禾佬冉虐没抬焉淬树警特锋数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！脐聊架迄尾万路始并释符含磕列负睫贿疹耶疡涕惠硕股酣斥遭炮木佐阀托数学教学典型案例分析(精编)数学教学典型案例分析(精编)
